24.1.2-垂直于弦的直径-优质精品公开课.pptx

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24.1.2垂直于弦的直径1.1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明能初步应用垂径定理进行计算和证明.2.2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力的能力.3.3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并激发学生对数学的热爱激发学生对数学的热爱学习目标学习目标学习重点学习重点：

理解圆的轴对称性，掌握垂径理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理等结论定理及其推论，学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明、计算和作图问题。

解决一些有关证明、计算和作图问题。

学习难点学习难点：

垂径定理及其推论。

垂径定理及其推论。

自学指导认真看书认真看书81-83页，独立完成以下问题，看页，独立完成以下问题，看谁做得又对又快？

谁做得又对又快？

1、结合、结合81探究，同学们动手操作，你发现探究，同学们动手操作，你发现了什么？

你得到什么结论？

你会证明你的了什么？

你得到什么结论？

你会证明你的结论吗？

结论吗？

2、什么是垂径定理？

它的推论是什么？

、什么是垂径定理？

它的推论是什么？

3、你知道解例、你知道解例2的每步依据吗？

的每步依据吗？

问题：

你知道赵州桥吗？

它是问题：

你知道赵州桥吗？

它是13001300多年前我国隋代多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为为37.4m37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

一、一、情境导入情境导入想一想：

将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆想一想：

将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？

会有什么关系？

【解析解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.二、二、先学环节先学环节教师释疑教师释疑观察右图，有什么等量关系？

观察右图，有什么等量关系？

AO=BO=CO=DOAO=BO=CO=DO，OO已知：

在已知：

在OO中，中，CDCD是直径，是直径，ABAB是弦，是弦，CDABCDAB，垂足，垂足为为E.E.求证：

求证：

AEAEBEBE，垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条分弦，并且平分弦所对的两条弧弧.垂径定理垂径定理【证明猜想证明猜想】判断下列图形，能否使用垂径定理？

判断下列图形，能否使用垂径定理？

【解析解析】定理中两个条件（直径、垂直于弦）缺一不可，定理中两个条件（直径、垂直于弦）缺一不可，故前三个图均不能，仅第四个图可以！

故前三个图均不能，仅第四个图可以！

【定理辨析定理辨析】例例11：

如图，已知在圆：

如图，已知在圆OO中，弦中，弦ABAB的的长为长为88，圆心，圆心OO到到ABAB的距离为的距离为33，求圆求圆OO的半径的半径.EOAB【解析解析】根据题意得，根据题意得，AE=4cmOEABOE=3cmAE=4cmOEABOE=3cm在在RtOEARtOEA中，根据勾股定理得：

中，根据勾股定理得：

AOAO22=OE=OE22+AE+AE22=3=322+4+422=25=25，AO=5cm.AO=5cm.【例题】【例题】变式变式11：

ACAC，BDBD有什么关系？

有什么关系？

变式变式22：

ACACBDBD依然成立吗？

依然成立吗？

变式变式33：

EAEA_,EC=_._,EC=_.FDFDFBFB变式变式44：

_，AC=BD.AC=BD.OA=OBOA=OB变式变式55：

_，AC=BD.AC=BD.OC=ODOC=OD【归纳】【归纳】如图，如图，PP为为OO的弦的弦BABA延长线上一点，延长线上一点，PAPAABAB22，POPO55，求求OO的半径的半径.MPBO关关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线非常重要的辅助线.【解析解析】提示作提示作OMOM垂直于垂直于PBPB，连接，连接OA.OA.答案：

答案：

A【跟踪训练】【跟踪训练】三、后教环节三、后教环节突出重点突出重点突破难点突破难点CDAB,AB是是O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.你你能能发发现现图图中中有有哪哪些些等等量量关关系系?

与与同同伴伴说说说说你你的想法和理由的想法和理由.过点过点M作直径作直径CD.O右图是轴对称图形吗右图是轴对称图形吗?

如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?

图中有图中有:

CD由由CD是直径是直径AM=BM可推得可推得AC=BC,AD=BD.MAB（11）平分弦（不是直径）的直径）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；条弧；（22）弦的垂直平分线经过圆心，）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；并且平分弦所对的两条弧；（33）平分弦所对的一条弧的直径，）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧一条弧.【推论【推论11】如图，如图，CDCD为为OO的直径，的直径，ABCDABCD，EFCDEFCD，你能，你能得到什么结论？

得到什么结论？

圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.FOBAECD【推论【推论22】3.3.（安徽（安徽中考）如图，中考）如图，OO过点过点BB，C.C.圆心圆心OO在等腰直在等腰直角角ABCABC的内部，的内部，BACBAC9090，OAOA11，BCBC66，则，则OO的半径为（的半径为（）A.B.C.D.A.B.C.D.【解析解析】选选D.D.延长延长AOAO交交BCBC于点于点DD，连接，连接OBOB，根据对称性知根据对称性知AOBCAOBC，则，则BD=DC=3.BD=DC=3.又又ABCABC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，BACBAC9090，则则AD=3,OD=3-1=2,AD=3,OD=3-1=2,OB=OB=【解析解析】连接连接OBOB，则，则OB=5,OD=4,OB=5,OD=4,利用勾股定理求得利用勾股定理求得BD=3,BD=3,因为因为OCOCABAB于点于点DD，所以，所以AD=BD=3,AD=BD=3,所以所以AB=6.AB=6.答案：

答案：

664.4.（毕节（毕节中考）如图，中考）如图，ABAB为为OO的弦，的弦，OO的半径为的半径为55，OCABOCAB于点于点DD，交，交OO于点于点CC，且，且CDCDll，则弦，则弦ABAB的的长是长是2.2.（湖州（湖州中考）如图，已知中考）如图，已知OO的直径的直径ABAB弦弦CDCD于点于点EE，下列结论中一定正确的是（，下列结论中一定正确的是（）AAAEAEOEOEBBCECEDEDECECECCOEOEDDAOCAOC6060BB1.1.（绍兴（绍兴中考）已知中考）已知OO的半径为的半径为5,5,弦弦ABAB的弦心距的弦心距为为3,3,则则ABAB的长是的长是（）（）A.3B.4C.6D.8A.3B.4C.6D.8DD四、当堂检测四、当堂检测巩固新知巩固新知22、已知：

如图，在以、已知：

如图，在以OO为圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦心的两个同心圆中，大圆的弦ABAB交小圆于交小圆于CC，DD两点两点.求证：

求证：

ACACBD.BD.证明：

证明：

过过OO作作OEABOEAB，垂足为，垂足为EE，则则AEAEBEBE，CECEDE.DE.AEAECECEBEBEDE.DE.所以，所以，ACACBDBDEE.AACCDDBBOO通过本课时的学习，需要我们：

通过本课时的学习，需要我们：

11理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明能初步应用垂径定理进行计算和证明.22掌握垂径定理的推论掌握垂径定理的推论,明确理解明确理解“知二推三知二推三”的意义的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.五、课堂小结五、课堂小结六、家庭作业六、家庭作业1、必做p89页2题90页9题2、选作p89页1题