激光原理课程设计自再现模的迭代法.docx
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激光原理课程设计自再现模的迭代法
摘要
激光器谐振腔内的模式计算是提高激光器输出光束质量和应用自适应光学系统校正腔内像差的前提和基础。
在理论分析的基础上,着重采用数值迭代解法（Fox-Li方法即福克斯和厉鼎毅迭代法）计算平行平面腔（F-P腔）在初始光场三阶梯分布条件下,自再现模的光场振幅的分布。
用数学软件MATLAB建模编写计算程序，计算结果表明,在经过260次渡越后,归一化的振幅分布实际上已不再发生变化,则已找到光腔的一个自再现模式或横模分布。
关键词:
数值迭代法；光场振幅分布；MATLAB数值模拟
2理论分析
1引言
谐振腔是激光器的主要构造之一，使激光通过增益物质，实现光的自激振荡。
在激光器出光的过程中,谐振腔内存在许多扰动因素,如腔镜失调、增益介质不均匀、热效应、腔镜变形等,这些腔内扰动因素都会引起不同程度的腔内像差,带来光束质量的下降和光束能量的降低。
目前采用自适应光学系统对腔内像差进行校正,定量得到腔内像差扰动对输出光束模式的影响,通过适当的控制算法对像差波前进行实时地校正,而腔内模式计算是这一过程的前提。
平行平面腔（又称为F—P腔）它由两块平行平面反射镜组成，在激光发展史上最先被采用。
目前，在中等以上功率的固体激光器和气体激光器中仍常常采用它。
其主要优点是，光束方向性极好、模体积较大、比较容易获得单横模振荡等。
谐振腔的经典理论仅给出了部分简单腔型的模式解析解。
对于平行平面腔以及在激光器的不断发展过程中所涌现的许多新型结构谐振腔通常是没有解析结果的,必须采用各种数值模拟方法进行求解。
所以本文基于平行平面腔，研究初始光场三阶梯分布条件下,自再现模的光场振幅。
由于平行平面腔振荡模所满足的自再现积分方程：
v（x,y）=γ
至今尚得不到精确的解析解，因此本文致力于研究平面腔模的迭代解法（Fox-Li方法）。
Fox-Li方法是一种模式数值求解中普遍适用的一种方法,只要取样点足够多,它原则上可以用来计算任何形状开腔的自再现模,并且,还可以计算诸如腔镜的倾斜、镜面的不平整性等因素对腔内模式造成的扰动.
2理论分析
2.1原理
所谓迭代法：
用变量的旧值不断递推出新值解决问题的方法，通常用于数值计算。
对于开放式光腔，镜面上稳态场分布的形成可以看成是光在两个界面间往返传播的结果。
因此，两个界面上的场必然是互相关联的：
一个镜面上的场可以视为由另一个镜面上的场所产生，于是求解镜面上稳态场的分布问题就归结为求解一个积分方程。
本文基于初始光场三阶梯分布条件下，分析自再现模的光场振幅分布。
利用迭代公式
（1.1）
（1.2）
其中，（1.2）式称为积分方程的核，可直接进行计算。
首先，假设在某一个镜面上存在一个初始场分布
，将它代入上式，计算在腔内经第一次渡越而在第二个镜面上生成的场
，然后再将所得的
代入（1.1）式，计算在腔内经第二次渡越而在第一个镜面上生成的场
。
如此反复运算并注意经过足够多次以后，在腔面上能否形成一种稳态场分布。
在对称开腔的情况下，当j足够大时，有数值计算得出的
，
，
，能否满足下式关系
，
…
式中，γ为复常数。
如果直接数值计算得出了这种稳定的场分布，则可认为找到了腔的一个自再现模或横模。
原理示意图如下：
2.2平行平面腔迭代法的算法实现
以对称条状腔为例，分析平行平面腔中自再现模的形成。
考察镜的宽度为2a，腔长为L的对称条状腔。
其中
所以整理得：
该条状腔的模式迭代方程应为
这里以一列均匀平面波作为第一个镜面上的初始激发波。
由于重要的只是振幅的相对分布，因此，可以取
即认为整个镜面为等相位面，且镜面上各点波的振幅为1。
代入迭代方程数值计算求出
，然后将
归一化，即取
然后继续迭代运算。
3MATLAB数值模拟
3.1程序原代码
clear,clc
globalstepsLkalamda
lamda=input（'波长lamda='）;
L=input（'腔长L='）;
a=input（'镜长a='）;
N=input（'渡越次数N='）;
k=2*pi/lamda;
steps=500;
x=linspace（-a,a,steps）;
u_=ones（1,steps）;
form=1:
N
formm=1:
steps
u0（mm）=QR（x（mm）,u_）;
end;
u_=u0/max（abs（u0））;
end
subplot（2,1,1）
plot（x,abs（u0）/abs（u0（steps/2）））
xlabel（'x'）;ylabel（'相对振幅'）;
angle_u0=angle（u0）/pi*180;
angle_u0=angle_u0-angle_u0（steps/2）;
functiony=QR（x,u）
globalstepsLkalamda
x_=linspace（-a,a,steps）;
step_length=2*a/（steps-1）;
y=sqrt（1i/L/lamda*exp（-1i*k*L））*sum（exp（-1i*k/2/L*（-x_+x）.^2）.*u）*step_length;
3.2数值模拟结果
图
（1）是迭代1次后的运算结果
其中a=25λ，L=100λ，N=
/（L*λ）
输入如下：
波长lamda=0.0000006328
腔长L=0.00006328
镜长a=0.00001582
渡越次数N=1
图
（2）是迭代100次后的运算结果
波长lamda=0.0000006328
腔长L=0.00006328
镜长a=0.00001582
渡越次数N=100
图（3）是迭代300次后的运算结果
波长lamda=0.0000006328
腔长L=0.00006328
镜长a=0.00001582
渡越次数N=260
3.3结果分析
从图上可以看出，均匀平面波经过第一次渡越后起了很大的变化，场
的相对振幅随腔面的变化而急剧地起伏。
对随后的几次渡越，情况也是一样，每一次渡越都将对场的分布发生明显的影响。
但随着渡越次数的增加，每经过一次渡越后场分布的变化越来越不明显，振幅与相位分布曲线上的起伏越来越小，场的相对分布逐渐趋向某一稳定状态。
在经过260次渡越以后，归一化振幅曲线已经不再发生变化了，这样我们就得到了一个自再现模。
这种稳态场分布的特点是：
总的说来，在镜面中心处振幅最大，从中心到边缘振幅逐渐降落，整个镜面上的场分布具有偶对称性。
我们将具有这种特征的横模称为腔的最低阶偶对称模或基模。
4总结
Fox-li数值迭代法的基本物理原理在于:
将初始场分布视为由无数多个本征函数以一定比例叠加的结果。
不同的本征函数对应不同的模式,在腔内往返渡越过程中,不同模的衍射损耗不同,经过足够多次往返渡越后,衍射损耗大的模受到的衰减程度比衍射损耗小的模大得多,当损耗大的模的贡献与损耗小的模的贡献相比可以忽略时,剩下的便是小损耗模的稳定场分布。
初始任意光波场在两腔镜间往返渡越至形成自再现模这一过程可以编写MATLAB程序进行数值模拟仿真,每次迭代计算相当于场的一次渡越过程。
经过多次渡越，从而得出结果。
迭代法的重要意义在于，首先，它用逐次近似计算直接求出了一系列自再现模，从而第一次证明了开腔模式的存在性。
其次，迭代法能够加深对模的形成过程的理解，因为它的数学运算过程与波在腔中往返传播而最终形成自再现模这一物理过程相对应，而且用迭代法求出的结果使我们具体地，形象地认识了模的各种特征。
第三，迭代法虽然比较繁杂，但却具有普遍的适用性，原则上可以用来计算任何形状的开腔中的自再现模，而且还可以计算诸如平行平面腔中腔镜的倾斜、不平整性等对模的扰动。
【参考文献】
[1]周炳坤高以智等编著.《激光原理》.第六版.国防工业出版社.2009
[2]张德丰编著.《MATLAB数值计算》.机械工业出版社.2010
[3]薛山编著.《MATLAB基础教程》.清华大学出版社.2011
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