五年级奥数期.docx
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五年级奥数期
五
年
级
奥
数
第1章因数和倍数
（一）
1.因数和倍数
（1）
2.因数和倍数
（2）
3.奇数和偶数
（1）
4.奇数和偶数
（2）
5.专题
（1）
第2章因数和倍数
（二）
1、2.5的倍数的特征
2、2.5和3的倍数的特征
3、数的整除
（1）
4、质数与合数
5、专题
（2）
第3章因数和倍数（三）
1、分解质因数
2、分解质因数的运用
（1）
3、分解质因数的运用
（2）
4、数的整除
（2）
5、专题（3）
第五周长方体和正方体
（一）
第1章因数和倍数
（一）
1.因数和倍数
（1）
背景：
学习因数，我们可以掌握数字的很多特性。
例题1求80和144的因数各有多少个？
思维点拨寻找的时候，要依次序，才不会漏掉。
所以
因此，80的因数有
同理144
所以，144的因数有
举一反三
1.求60和90的因数各是多少个？
2.求196的因数有多少个？
3.甲数的2倍等于乙数，乙数的3倍等于丙数，丙数的4倍等于96，求甲数。
拓展提高
一个数是5个2,3个3,2个5,1个7的连乘积，这个数当然有许多因数是两位数，这些两位数的因数中，最大的是几？
思维点拨经过思考，我们发现，应该把一位数因数化为两位数因数，所以
所以，最大的两位数因数是96
奥赛训练
4.把316表示成两个数的和，其中一个是13的倍数，另一个是11的倍数，求这两个数。
5.小明去鱼店买了以下几种鱼：
青花鱼，每条130元；竹荚鱼，每条170元；沙丁鱼，每条78元；秋刀鱼，每条104元。
每种鱼都多于1条，正好花了3600元。
请问：
小明买了几条竹荚鱼？
6.有50张卡片，分别写着1到50这50个数，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝。
某班有50名学生，老师把50张卡片中蓝色的一面都朝上摆在桌上，对同学说：
“请你们按学号顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：
凡是卡片上的数是自己学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻成红，红翻成蓝。
”那么当每个学生都翻完以后，红色朝上的卡片有几张？
2.因数和倍数
（2）
背景：
根据问题的要求，寻找因数的个数
例题1
，在括号内填上适当的数，使等式成立，共有多少种不同的填法？
思维点拨根据除法的定义，我们知道应该先用被除数减去余数，就可以使整除，即29-5=24，所以
24的因数为：
所以，共有4种不同的填法。
举一反三
1.
在括号内填上适当的数，使等式成立，共有多少种不同的填法？
2.在括号里填上合适的数，共有多少种不同的填法？
3.面积是165平方厘米的形状不同且边长是自然数的长方形，共有多少种？
拓展提高
一只盒内共有96个棋子，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿出的个数相等，最后一次正好拿完，那么，共有多少种不同的拿法？
思维点拨由题意，我们知道，96等于每次拿的个数与拿的次数的乘积，所以
所以，一共有
拿法
奥赛训练
4.自然数
，那么，
的值可能是多少？
5.一只筐内共有120个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完。
那么，共有多少种不同的拿法？
6.小明用48元钱按零售价买了若干练习本，如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本，问：
零售价每本多少元？
3.奇数和偶数
（1）
背景：
众所周知，相邻的两个奇数或者偶数相差2。
例题：
三个连续偶数的和24，它们分别是多少？
思维点拨由于是三个连续的偶数，相邻两个相差是2，所以我们假设中间的偶数是a,那么前一个是（a-2），后一个是（a-2），所以
所以另外两个数是6和10
举一反三
1.三个连续奇数的和是27，它们分别是多少？
2.五个连续的奇数的和是65，它们分别是多少？
3.四个连续偶数的和是52，它们是多少？
拓展提高
三个连续奇数的和是15，它们的积是多少？
思维点拨，利用中间的奇数，求出其他奇数，然后求积，所以
所以它们的积为：
奥赛训练
4.三个连续偶数的和是18，它们的积是多少？
5.五个连续奇数的和是35，这5个奇数中最大的一个是多少？
6.有三个不同的自然数组成一个等式：
这三个数中最多有多少个奇数？
4.奇数和偶数
（2）
背景：
我们总结了奇数与偶数运算后得值奇偶性
例题：
的和奇数还是偶数？
思维点拨我们先把奇数和偶数分开，然后相加，所以经过分析得：
它们的和是偶数
举一反三
1.
的和是奇数还是偶数？
2.
的结果是奇数还是偶数？
3.
的和是奇数还是偶数？
拓展提高
有12张卡片，其中3张卡片上面写着1,3张卡片上面写着3,3张卡片上写着5,3张卡片上面写着7，能否从中选出5张卡片，使它们上面的数字之和等于20？
为什么？
思维点拨不能。
由于选出的卡片上面全是奇数，所以由“奇数个奇数相加是奇数”得，不可能是奇数。
奥赛训练
4.在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和，这样继续操作下去，最后得到44,66,110.那么，原来写的三个数能否为1,3,5？
5.在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和减1，这样继续操作下去，最后得到17,1967,1983.那么，原来写的三个数能否为2,2,2？
5.专题
（1）
背景：
继续学习奇数和偶数的性质。
例题19只杯子全部杯口朝上放着,每次“翻动”其中的4只杯子，能否经过若干次的“翻动”，使9只杯子的杯口全部朝下？
思维点拨每次翻动都是4的倍数，然而4的倍数是偶数，9个杯子是奇数，所以不能使9只杯子的杯口全部朝下。
举一反三
1.8只杯口朝下的杯子，每次翻动6只杯子，能否经过若干次翻动，使杯口全部朝上？
2.桌子上有7只茶杯，全部是杯口朝上，请你每次翻动4只茶杯，称为“一次翻动”，能否经过若干次翻动，使这7只茶杯的杯口全部朝下？
3.桌子上放着7枚正面朝上的硬币，每次翻动其中的3枚硬币，能否经过若干次翻动，使硬币正面全部朝下，反面全部朝上？
拓展提高
A、B、D、E、F、C、G七盏灯各自装有开关，开始时都是暗的。
一个调皮的小朋友按A到G，再从A到G的顺序不停地按开关，一共按了2008次。
这个时候哪几盏灯是亮的？
思维点拨跟翻杯子一样，如果按一次，电灯变亮；按两次，电灯变暗；按三次，电灯又变亮······因此，如果按的次数是奇数，那么该盏灯就会改变原有状态；如果按的是偶数次，那么该盏灯就会保持原有状态。
接下来，我们先看看每盏灯各按了多少次。
A、B、D、E、F六盏灯的开关各被按了287次，G灯的开关被按了286次。
所以，最后亮着的灯是A、B、D、E、F。
奥赛训练
4.甲、乙、丙、丁四盏灯各自装有开关，开始时都是亮的。
一个调皮小朋友从甲按到丁，再从甲到丁的顺序不停地按开关，一共按了2007次。
这个时候哪几盏灯是暗的？
5.A、B、C、D、E、F、G七盏灯各自装有开关，开始时只有A是亮的。
一个调皮小朋友从A按到G，再从A到G的顺序不停地按开关，一共按了2008次。
问：
此时哪几盏灯是亮的？
6.在
的正方形棋盘上每格都装有一盏灯和一个按钮，按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态（即由亮变为不亮，不亮变为亮）。
如果原来每盏灯都是不亮的，问最少需要按多少次按钮才能使等全部变亮？
第2章因数和倍数
（二）
1.2、5的倍数的特征
背景：
个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数，因此，我们可以发现：
一个数既是2的倍数又是5的倍数，那么它的个位数字必须是0.
例题1下次的这些数中，哪些数是2的倍数又是5的倍数？
46638039105120772310
思维点拨由于“一个数既是2的倍数又是5的倍数，那么它的个位数字必须是0”，所以，只有80,120,2310既是2的倍数又是5的倍数。
举一反三
1.下面的这些数中，哪些数既是2的倍数又是5的倍数？
3088932005110410709650
2.判断下面个数哪些是4的倍数？
100326127825684
3.判断下面各数哪些是8的倍数？
126531239048
拓展提高
在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别是5和8的倍数。
符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？
思维点拨由于8的倍数的特征：
一个数的末三位数是8的倍数，这个数就是8的倍数。
所以最小的一个是865000
奥赛训练
4.在257后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别是2和25的倍数，符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？
5.在318后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别是2和25的倍数。
符合这些条件的六位数中，最大的一个是多少？
6.两个整数，它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30.那么在1,2，···，16这六个整数中，有“好数”多少对？
2.2、5和3的倍数的特征
背景：
一个数各位上的数和是3的倍数，这个数就是3的倍数；一个数的各位上的数字之和是9的倍数，那么它就是9的倍数；一个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）是11的倍数，那么它就是11的倍数。
例题1既是2和5的倍数，又是3的倍数的最大两位数是多少？
思维点拨首先找到2和5的最大两位数倍数，然后找到3的倍数，所以最大两位数是90.
举一反三
1.既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是多少？
2.既是2和5的倍数，又是3的倍数的最大三位数是多少？
3.既是3的倍数，又是5的倍数的最小四位数是多少？
拓展提高
在865后面补上是哪个数字，组成一个六位数，使它分别是3,4和5的倍数。
符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？
思维点拨由于5的倍数的特征比较简单，应从5的倍数下手。
由于这个数需要尽可能地小，所以百位和个位的数都应选0.又因8+6+5+0+0=19，所以要使它是3的倍数，最小为2，又因为要是4的倍数，所以2应该在十位。
所以最小的一个数是865020
奥赛训练
4.四位数6A2B能被2,3,5整除，这样的四位数有多少个？
5.在973后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3，4,5整除，且使这个数尽量小。
这个六位数是多少？
6.一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数。
这样的三位数中，最大是几？
3.专题
（2）
背景：
继续学习比较复杂的因数和倍数问题。
例题1在358后面补上三个数字组成一个六位数，使它分别能够被3,4,5整除。
符合这些条件的六位数中最小的一个是多少？
思维点拨能被4整除的数的特征是该数的末两位能被4整除，4又是一个偶数，由于能被5整除的特征，所以个位应为0；又因3+5+8+0=16，所以最小的为358020.
举一反三
1.在368后面补上三个数字组成一个六位数，使它分别能够被3,4,5整除。
符合这些条件的六位数中最小的一个是多少？
2.在（）内填上适当的数，使五位数59（）4（）能被3整除，也能被4整除。
3.某个七位数1993（）（）（）能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？
拓展提高
只修改970405的某一个数字，就可使修改后得六位数能被225整除。
修改后得六位数是多少？
思维点拨由于
，能被25整除的数的后两位一定能被25整除，所以，这个六位数只能是970400,970425或970475；又因为要被9整除，所以只有970425.
奥赛训练
4.新学期开学了，学校为了使同学们有一个更加方便的读书环境，新买了18个书架，可是，会计员不小心把发票给弄污了，单价只剩下2个数字“2（）（）0元”，总价也是剩下2个数字“（）4（）8（）元”。
你能帮忙算出单价和总价吗？
5.已知十位数87654321（）（）能被36整除，那么这个十位数的末两位最小应填多少？
6.六位数2003（）（）能被99整除，它的最后两位数是多少？
第4章解决实际问题
1.过桥问题
（1）
背景：
火车过桥的问题，其实，火车的路程应该是桥的长度加上列车的长度。
例题1一列火车长320米，每分钟行400米，全车通过一座长1370米的大桥需要几分钟？
思维点拨由于火车要完全过桥，行程为“火车的长度+桥的长度”，所以
举一反三
1.一列火车长190米，每秒行9米，全车通过一座长368米的大桥需要多少时间？
2.南京长江大桥长6700米，一列长100米的客车，以每分钟400米的速度通过大桥，需要多少时间？
3.“胜利号”高速列车长141米，每秒钟行38米，全车通过429米长的一条隧道，需要多少时间？
拓展提高
一辆长150米的列车，以每秒12米的速度行驶，它通过一个隧道用了42秒，这个隧道多少米？
思维点拨根据“（隧道长+车长）÷速度=时间”，所以
隧道长
奥赛训练
4.一列火车长360米，每秒行15米，它通过一个山洞需40秒。
这个山洞长多少米？
5.一列火车长285米，每秒行20米，它通过一座需要17秒，这座桥长多少米？
6.两列相向而行的火车恰好在某道口相遇，如果甲列车长225米，每秒行驶25米，乙列车每秒行驶20米，甲、乙两列车错车时间是9秒。
求：
（1）乙列车长多少米？
（2）甲列车通过这个道口用多少秒？
（3）坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？
2.过桥问题
（2）
背景：
继续学习比较复杂的过桥问题。
例题1赵叔叔站在铁路边，一列火车从他身边经过用了9秒，这列火车以同样的速度通过一座468米的大桥用了35秒。
那么，这列火车有多长？
思维点拨由第一个条件可知，
；又由“（隧道长+车长）÷速度=时间”得，经过桥的时间为35-9=26秒，因为桥长468米，求出火车的速度，再求出火车长，所以
举一反三
1.某列车经过一座有信号灯的电杆用了7秒，通过448米长的大桥用了35秒。
这列火车的长度是多少米？
2.一列列车通过一座长500米的斜拉索大桥需要34秒，用同样的速度通过一条长1700米的隧道需要94秒。
求这列列车的速度和长度。
3.一列火车驶过路旁的一棵大树，用了0.25分钟，同样的速度通过长约6780米的大桥用了2.51分钟。
求这列火车的长度。
拓展提高
一列火车从车头到隧道口算起，用4秒时间全部驶进一个隧道，21秒后全部驶离隧道。
已知隧道全长476米，求火车的速度和火车的长度。
思维点拨由第一个条件得，跑一个火车的长度需要4秒，又由第二个条件得，火车通过隧道需要21-4=17秒，所以
（米/秒）
（米）
奥赛训练
4.一列火车，从车头到桥头算起，用5秒时间全部驶上一座大铁桥，26秒后全部驶离大铁桥。
已知大铁桥全长525米，求火车过桥的速度和火车的长度。
5.一座铁路桥长1080米，一列火车从车头上桥至车尾离桥，用了100秒，整个火车完全在桥上的时间是80秒。
求火车速度及车长。
6.快、慢两列列车相向而行，快车的车长为50米，慢车的车长为80米，快车的速度是慢车速度的2倍。
如果坐慢车的人看见快车驶过窗口的时间是5秒，那么坐快车的人看见慢车驶过窗口的时间是多少秒？
3.流水问题
（1）
背景：
顺水速度=静水中的速度+水速，逆水速度=静水速度—水速
例题1一艘客轮在静水中的速度是每小时22千米，如果它在长江顺水航行120千米，水速是每小时2千米，那么，这艘客轮需要航行多少小时？
思维点拨根据“顺水速度=静水中的速度+水速”，可以得到顺水速度，然后再求时间，所以
举一反三
1.一艘货轮在静水中的速度是每小时25千米，如果它顺水航行78千米，水速是每小时1千米，那么这艘货轮需要航行多少小时？
2.一架飞机的时速可以达到540千米，由于本次飞行任务是逆风飞行，风的速度是每小时50千米，该飞机飞行3430千米需要多少小时？
3.王叔叔顺风骑摩托车2小时行了100千米，风速是每小时5千米，那么这辆摩托车逆风行驶的速度是多少千米？
拓展提高
A、B两地相距357千米，一艘轮船从A地到B地是顺水航行，船在静水中的速度是每小时19千米，水流的速度是每小时2千米。
这艘轮船往返一次需要多少小时？
思维点拨分开计算，一次顺水、一次逆水，所以
奥赛训练
4.甲、乙两地相距120千米，一艘轮船从甲地到乙地是顺水航行，船在静水中的速度是每小时22千米，水流的速度是每小时2千米。
这艘轮船在甲、乙两地之间往返一次需要多少小时？
5.轮船在静水中的速度是每小时15千米，水流速度是每小时3千米，船从上游A港到下游B航行了12小时。
从B港返回A港需要多少小时？
6.一轮船从甲地开往乙地，顺水而行每小时行28千米，到达乙地后又逆水返回到甲地，逆水比顺水多行2小时。
已知水流速度是每小时4千米，问甲、乙两地相距多少千米？
4.流水问题
（2）
背景：
，
例题1“世博号”游轮顺水航行336千米，需要6小时，水流速度是每小时4千米。
那么这艘游轮逆水航行的速度是多少千米？
按原路返回需要航行多少小时？
思维点拨根据静水速度与顺水速度的关系，所以
逆水速度
航行时间
举一反三
1.一艘船以30千米的速度在176千米的河中逆水而行，用了11小时。
这艘船返回原处要用多少小时？
2.某船在静水中的速度是每小时18千米，它从上游甲地开往下游乙地共用了5小时，水速是每小时3千米。
那么从乙地返回甲地需要多少小时？
3.一艘船顺水行100千米需要3小时，水流速度是每小时6千米，那么这艘船逆水每小时行多少千米？
拓展提高
A、B两港间的水路长240千米，一只船从A港开往B港，顺水航行8小时到达；从B港返回A港，逆水航行12小时到达。
求船在静水中的速度和水流的速度.
思维点拨根据顺水速度和逆水速度的关系，所以
静水速度
水速
奥赛训练
4.一艘轮船在一条河里顺水航行190千米要10小时，逆流而上行130千米也要用10小时。
这艘轮船在静水中航行280千米需要多少小时？
5.一名短跑选手，顺风跑90米，用了10秒钟；在同样风速下，逆风跑70米，用了10秒钟。
在无风的时候，他跑100米要用多少秒？
6.一艘轮船在两港之间航行，水流速度每小时10千米，顺水要4小时，逆水要6小时。
那么两港口距离多少千米？
5.专题（3）
背景：
两列火车同向运行，甲火车要超过乙火车是超车问题，所需时间为：
（甲车身长+乙车身长）÷（甲车速-乙车速）；两列火车相向运行，甲、乙火车从车头相遇到车尾相离是错车问题，所需时间是：
（甲车身长+乙车身长）÷（甲车速+乙车速）
例题1一列慢车的车身长233米，车速是每秒18米；一列快车的车身长175米，车速是每秒21米，慢车在前面行驶，快车从后面追上到完全超过需要多少秒？
思维点拨本题为追击问题，所以根据关系得
（秒）
举一反三
1.一列慢车的车身长120米，车速是每秒15米；一列快车的车身长160米，车速是每秒20米。
两车在双轨道上相向而行，从车头相遇到车尾相离要用多少秒？
2.一列慢车车身长是155米，车速是每秒18米；一列快车车身长是135米，车速是每秒23米。
慢车在前面行驶，快车从后面追上到完全超过需要多少秒？
3.一列客车长200米，一列货车长250米，两车分别以每秒22米和23米的速度相向行进。
在某段双轨铁路上，从车头相遇到车尾相离共需多少时间？
拓展提高
两个码头相距157.5千米，一只船往返一次需要8小时，去时比回来时多1小时，那么水流速度是多少？
思维点拨根据“一只船往返一次需要8小时，去时比回来时多1小时”，可以计算出顺水和逆水时间，然后根据“水速=（顺水速度-逆水速度）÷2”，所以
逆水速度
（千米/时）
顺水速度
（千米/时）
水速
（千米/时）
奥赛训练
4.一艘船在静水中的速度是每小时35千米，一条河水的水流速度是每小时5千米，这艘船往返于甲、乙两港之间，共用了7小时。
问：
甲、乙两港相距多少千米？
5.一架飞机所带的燃料，最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞1500千米，飞回时逆风，每小时可以飞1200千米。
这架飞机最多飞出多少千米就需要往回飞？
6.游艇顺流而下，每小时前进7千米，逆流而上每小时前进5千米。
两条游艇同时从同一个地点出发，一个顺流而下，然后返回；一个逆流而上，然后返回。
结果，一小时后它们同时回到出发地点。
问：
在这一小时内有多少时间这两条游艇的前进方向相同？
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