《数学教育心理学》教学案例 2.docx

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《数学教育心理学》教学案例2

案例1

在数学教学中怎样提高学生提出问题的能力

教学案例及分析

1教材分析

 “正弦定理”是全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下）的第五章第九节的主要内容之一，既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。

本次课是“正弦定理”教学的第一节课，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。

因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

为什么要解斜三角形?

解斜三角形必须要用正弦定理和余弦定理吗?

正弦定理和余弦定理是怎样发现的?

其证明方法是怎样想到的?

还有别的证法吗?

这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。

2设计思路

为了回答上述问题我想到了“情境一问题”教学模式，即构建一个以情境为基础，提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境一问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。

根据上述精神，笔者具体做出了如下设计:

①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景;②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题时需要使用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。

然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题:

己知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边.解决这两个问题需要先回答目标问题:

三角形中两边与它们的对角之间有怎样的关系?

③为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后引导学生使用计算器对猜想进行验证，进而引导学生对猜想进行严格的逻辑证明。

证明时，关键在于启发、引导学生明确如何将向量关系转化成数量关系，同时将3项的关系式转化为只有2项的关系式，以揭示引入单位向量和使用向量的数量积运算的合理性。

④由学生独立使用己证明的结论去解决②中所提出的问题。

3教学过程

一、设置情境

利用投影展示:

如图1，一条河的两岸平行，河宽d=1km。

因上游暴发特大洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及留守人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1km的码头C处。

己知船在静水中的速度||=5km/h，水流速度||=3km/h.  

二、提出问题

 师:

为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将题纸交给老师后，老师筛选了几张有代表性的题纸通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的5个问题:

（1）船应开往B处还是C处?

（2）船从A开到B,C分别需要多少时间?

（3）船从A到B,C的距离分别是多少?

（4）船从A到B,C时的速度大小分别是多少?

（5）船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B,C?

师:

大家讨论一下，应该怎样解决上述问题?

大家经过讨论达成如下共识:

要回答问题

（1），需要解决问题

（2），要解决问题

（2），需要先解决问题（3）和（4），问题（3）用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题（4），问题（4）与问题（5）是2个相关问题，因此，解决上述问题的关键是解决问题（4）和（5）。

师:

请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。

生1:

船从A开往B的情况如图2，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小|v|及与的夹角:

生2:

船从A开往C的情况如图3,,,易求得它们的角度都为，还需求及v。

我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未解过类似的问题。

师:

请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么?

部分学生:

在三角形中，己知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。

   师:

请大家讨论一下，如何解决这两个问题?

   生3:

在己知条件下，若能知道三角形中两条边与其对角这4个元素之间的数量关系，则可以解决上述问题，求出另一边的对角。

生4:

如果另一边的对角已经求出，那么第三个角也能够求出.只要能知道三角形中两条边与其对角这4个元素的数量关系，则第三边也可求出。

生5:

在已知条件下，如果能知道三角形中三条边和一个角这4个元素之间的数量关系，也能求出第三边和另一边的对角。

   师:

同学们的设想很好，只要能知道三角形中两边与它们的对角间的数量关系，或者三条边与一个角间的数量关系，则两个问题都能够顺利解决。

下面我们先来解答问题:

三角形中，任意两边与其对角之间有怎样的数量关系?

三、解决问题

师:

请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的?

众学生:

先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。

直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。

 图4直角三角形  

师:

如图4，请各小组研究在中，任意2边及其对个元素间有什么关系?

多数小组很快得出结论:

师:

在非 中是否成立?

众学生:

不一定，可以先用具体例子检验。

若有一个不成立，则否定结论;若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

   师:

这是个好主意。

请每个小组任意做出一个非，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器作为计算工具，具体检验一下，然后报告检验结果。

几分钟后，多数小组报告结论成立，只有个别小组因测量和计算误差，得出否定的结论。

教师在引导学生找出失误的原因后指出:

此关系式在任意△ABC中都能成立，请大家先考虑一下证明思路。

生6:

想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。

生7:

因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。

师:

在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢?

学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值:

①三角形的面积不变;

②三角形同一边上的高不变;

③三角形外接圆直径不变。

在教师的建议下，学生分别利用这3种关系作为基础得出了如下3种证法:

图5非直角三角形

图6直角三角形

证法一:

证法二:

证法三:

师:

据我所知，从出发，也能证得结论，请大家讨论一下。

生8:

要想办法将向量关系转化成数量关系。

生9:

利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。

生10:

还要想办法将有三个项的关系式转化成两个项的关系式。

生11:

因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑选一个与三个向量中的一个向量（如向量AC）垂直的向量与向量等式的两边分别作数量积。

师:

请大家具体试一下，看还有什么问题?

众学生:

向量与AB,CB的夹角与△ABC是锐角三角形还是钝角三角形有关，所以应分两类情况分别证明。

教师让学生通过小组合作完成了如下证明。

 证法四:

四、反思应用

师:

同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。

正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，请大家考虑一下，正弦定理能够解决哪些问题?

众生:

知三求一，即已知三角形的两边与一边的对角，可求另一边的对角;已知三角形的两角与一角的对边，可求另一角的对边;已知三角形中两边与它们的对角4个元素中的两个元素，可研究另外两个元素的关系。

师:

请同学们用正弦定理解决本节课开始时大家提出的问题。

4教学反思

本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者’，，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。

创设数学情境是“情境一问题”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。

从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。

“正弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。

在进行教学设计时，笔者曾考虑以“直角三角形”作为情境，考虑到学生据此不易形成目标问题，而且问题缺乏向量背景，不容易想到用向量方法解决问题，故未采用这个方案。

“情境一问题”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体。

如何引导学生提出问题是教学成败的关键。

教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。

因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。

要引导学生对所提的问题进行分析、整理，筛选出有价值的问题，注意启发学生揭示问题的数学实质，将提问引向深入。

本课中，在教师的启导下，学生首先提出的问题是:

船应开往B处还是C处?

答案取决于船从A到达B,C的时间;船从A到达B,C的时间，又取决于船从A到达B,C的距离和船的速度的大小;而船能否到达B,C，又取决于船的航向.这些都是具有实际意义的问题，去掉问题的实际意义得出过渡性数学问题，抓住过渡性问题的数学实质，将其上升为一般性数学问题，即目标问题。

学生还提出了一个超前性问题:

三角形中3条边与一个角之间有什么关系?

这是笔者在设计教案时未想到的，笔者除了对提出此问题的学生给予表扬和肯定外，还要求同学们课后认真研究这个问题，这个问题己经自然地成为教学“余弦定理”的情境。

使用计算器处理复杂、烦琐的数字运算是新教材的一个重要特点。

本课中通过使用计算器，使“正弦定理在非直角三角形中是否成立”的探究性试验成为可能。

这说明计算器在探索、检验规律方面也能发挥重要作用。

在启导学生证明正弦定理时，笔者没有限制学生的思路，使学生通过自己的努力发现了多种证法，其中每一种证法都比教材上给出的证法要简单。

但没有能够自然地启发、引导学生发现和选择向量方法，是一个遗憾。

案例一三角函数中的结构思想

▪定义：

任意角α与单位圆的交点为P（x，y），则x=cosα，y=sinα，对应关系明确，函数的意义直观而具体；

▪三角函数性质：

正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述，例如

（1）P（x，y）在单位圆上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函数的值域为[－1，1]；

（2）|OP|2=sin2α+cos2α=1；

（3）对于圆心的中心对称性

sin（π+α）=－sinα，cos（π+α）=－cosα；

（4）对于x轴的轴对称性

sin（－α）=－sinα，cos（－α）=cosα；

（5）对于y轴的轴对称性

sin（π－α）=sinα，cos（π－α）=－cosα；

（6）对于直线y=x的轴对称性

sin（－α）=cosα，cos（－α）=sinα；

7）sinα的单调性

α：

－0π

y：

－1010－1

（8）圆的旋转对称性：

和（差）角公式

圆的反射对称性：

和（差）化积公式

案例五教学目标的陈述

例1掌握一元二次方程根的判别式。

——对“掌握”的内涵作具体界定。

重要概念要考虑作适当分解：

（1）在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，掌握判别式的结构和作用；

（2）能用判别式判断一个一元二次方程是否有解；

（3）能用判别式讨论一个含字母系数的一元二次方程的解；

（4）能灵活应用判别式解决其他情境中的问题。

例2理解函数单调性概念。

这一陈述中，需要对“理解”的含义作具体界定，以使我们能准确把握学生是否已经达到“理解”。

实际上，“理解”的基本含义是学生能用概念作出判断。

因此可以改述为：

能给出增函数、减函数的具体例证和图象特征；能用函数单调性定义判断一个函数的单调性。

案例六“不等式基本性质”中的提问

▪不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而得到启发。

▪你能回忆一下等式的基本性质吗？

▪考察等式的基本性质的基本思想是什么？

（“运算中的不变性”）

▪类似的，不等式有哪些基本性质呢？

案例七正、余弦定理的推导

▪三角形有各种几何量，如三边长、三个内角的角度、面积、外经、内径等。

“解三角形”就是给定三角形的若干几何量，求其余几何量。

你认为至少给定几个量就可以求出其余量？

（从定性到定量）

▪特殊化：

解直角三角形（利用勾股定理、两个锐角互余、锐角三角函数等）。

▪推广：

能否将上述结论推广到一般三角形？

▪在已有结果的基础上，探索新的证明方法，如：

▪三角形面积与正弦定理

▪垂直投影与余弦定理

▪用余弦定理推导正弦定理

▪借助于外接圆证明正弦定理

▪……

案例八平行线分线段成比例定理的概括

▪先行组织者：

研究平行线的性质，就是探究在一组直线平行的条件下可以得出哪些结论。

▪特例1一组等距平行线截另一组平行直线，结果如何？

▪特例2一组等距平行线截另一组任意直线，结果如何？

——平行线等分线段定理、三角形和梯形的中位线定理。

▪特例3已知距离的不等距平行线截另一组直线，结果如何？

▪平行线分线段成比例定理。

高中数学情境教学案例简析

情境教学，即构建一个以情境为基础，学生在学习中成为提出问题和解决问题的主体，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。

“正弦定理”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本）数学第一册（下）的教学内容之一，既是初中“解直角三角形”内容的直接延伸，也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。

本次课的主要任务是引入并证明正弦定理，我们希望通过本课题探索情境教学在高中数学教学中的应用方法和效果。

一、教学设计

1、创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；

2、启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题时需要使用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。

然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：

已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。

解决这两个问题需要先回答目标问题：

在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？

3、为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后引导学生对猜想进行验证。

二、教学过程

1、设置情境

利用投影展示：

如图1，一条河的两岸平行，河宽d=1km，因上游突发洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1km的码头C处。

已知船在静水中的速度∣vl∣=5km∕h，水流速度∣v2∣=3km∕h。

BC

A

图1

2、提出问题

师：

为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将题纸交给老师后，老师筛选几张有代表性的题纸通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的5个问题：

（l）船应开往B处还是C处？

（2）船从A开到B、C分别需要多少时间？

（3）船从A到B、C的距离分别是多少？

（4）船从A到B、C时的速度大小分别是多少？

（5）船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？

师：

大家讨论一下，应该怎样解决上述问题？

大家经过讨论达成如下共识：

要回答问题（l），需要解决问题

（2），要解决问题

（2），需要先解决问题（3）和（4），问题（3）用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题（4），问题（4）与问题（5）是两个相关问题，因此，解决上述问题的关键是解决问题（4）和（5）。

师：

请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。

生：

船从A开往B的情况如图2，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小∣v∣及vl与v2的夹角θ：

生：

船从A开往C的情况如图3，∣AD∣=∣v1∣=5，∣DE∣=∣AF∣=∣v2∣=3，易求得∠AED=∠EAF=450，还需求θ及v。

我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未解过类似的问题。

BCBC

DEDE

v1θvv1θv

Av2FAv2F

图2图3

师：

请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么？

部分学生：

在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。

师：

请大家讨论一下，如何解决这两个问题？

生：

在已知条件下，若能知道三角形中两条边与其对角这4个元素之间的数量关系，则可以解决上述问题，求出另一边的对角。

生：

如果另一边的对角已经求出，那么第三个角也能够求出。

只要能知道三角形中两条边与其对角这4个元素的数量关系，则第三边也可求出。

生：

在已知条件下，如果能知道三角形中三条边和一个角这4个元素之间的数量关系，也能求出第三边和另一边的对角。

师：

同学们的设想很好，只要能知道三角形中两边与它们的对角间的数量关系，或者三条边与一个角间的数量关系，则两个问题都能够顺利解决。

下面我们先来解答问题：

三角形中，任意两边与其对角之间有怎样的数量关系？

3、解决问题

师：

请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？

众学生：

先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。

直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。

师：

请各小组研究在Rt△ABC中，任意两边及其对角这4个元素间有什么关系？

多数小组很快得出结论：

a／sinA=b／sinB=c／sinC。

师：

a／sinA=b／sinB=c／sinC在非Rt△ABc中是否成立？

众学生：

不一定，可以先用具体例子检验。

若有一个不成立，则否定结论；若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

师：

这是个好主意。

请每个小组任意做出一个非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器作为计算工具，具体检验一下，然后报告检验结果。

几分钟后，多数小组报告结论成立，只有一个小组因测量和计算误差，得出否定的结论。

教师在引导学生找出失误的原因后指出：

此关系式在任意△ABC中都能成立，请大家先考虑一下证明思路。

生：

想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。

生：

因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。

师：

在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？

学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：

1、三角形的面积不变；2、三角形同一边上的高不变；3、三角形外接圆直径不变。

师：

据我所知，从AC+CB=AB出发，也能证得结论，请大家讨论一下。

生：

要想办法将向量关系转化成数量关系。

生：

利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。

生：

还要想办法将有三个项的关系式转化成两个项的关系式。

生：

因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑选一个与三个向量中的一个向量（如向量AC）垂直的向量与向量等式的两边分别作数量积。

师：

同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。

正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，请大家留意身边的事例，正弦定理能够解决哪些问题。

三、教学总结

在本课的教学中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

创设数学情境是这种教学模式的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。

这种教学模式主张以问题为连线组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，因此，如何引导学生提出问题是教学成败的关键。

教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。

因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。

教师还要积极引导学生对所提的问题进行分析、整理，筛选出有价值的问题，注意启发学生揭示问题的数学实质，将提问引向深入。

《正弦定理》教学案例

一、教学内容：

本节课主要通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证明，最后进行简单的应用。

二、教材分析：

1、教材地位与作用：

本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书.数学必修5》第一章中，是在学生学习了三角等知识之后安排的，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“类比--猜想--证明”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。

2、教学重点和难点：

重点是正弦定理的发现和证明；难点是三角形外接圆法证明。

三、教学目标：

1、知识目标：

掌握正弦定理，理解证明过程。

2、能力目标：

（1）通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

（2）增强学生的协作能力和数学交流能力。

（3）发展学生的创新意识和创新能力。

3、情感态度与价值观：

（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。

（2）通过实例的社会意义，培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。

四、教学设想：

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。

让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

设计思路如下：

五、教学过程：

（一）创设问题情景

课前放映一些有关军事题材的图片，并在课首给出引例：

一天，我核潜艇A正在某海域执行巡逻任务，突然发现其正东处有一敌艇B正以30海里/小时的速度朝北偏西40°方向航行。

经研究，决定向其发射鱼雷给以威慑性打击。

已知鱼雷的速度为60海里/小时，问怎样确定发射角度