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数学第一轮复习知识点

数学第一轮复习_知识点

高中数学一轮复习知识点

第一章-集合

考试内容：

集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种

命题．充分条件和必要条件．

考试要求：

（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和

全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和

符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种

命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．

§01. 集合与简易逻辑知识要点

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易

逻辑三部分：

二、知识回顾：

（一） 集合

1. 基本概念：

集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的

使用.

数学第一轮复习_知识点

2. 集合的表示法：

列举法、描述法、图形表示法.

集合元素的特征：

确定性、互异性、无序性.

集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为；

②空集是任何集合的子集，记为；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果，同时，那么 A = B.

如果.

[注]：

①Z= {整数}（√）

②已知集合 S xxA 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.

（×）（例：

S=N； A=，则 CsA= {0}）

③ 空集的补集是全集.

④若集合 A=集合 B，则 CBA = ， CAB=CS（CAB）= D（ 注 ：

CAB= ）.

3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}：

坐标轴上的点集.

②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R：

二、四象限的点集.

③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} ：

一、三象限的点集.

数学第一轮复习_知识点

[注]：

①对方程组解的集合应是点集.

例：

解的集合{（2，1）}.

②点集与数集的交集是. （例：

A ={（x，y）| y =x+1}B={y|y

=x2+1}则 A∩B =）

4. ①n 个元素的子集有 2n 个.②n 个元素的真子集有 2n －1

个.③n 个元素的非空真子集有 2n－2 个.

5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题

逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.

例：

①若应是真命题.

解：

逆否：

a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为

真.

②.

解：

逆否：

x + y =3x = 1 或 y = 2.

故是的既不是充分，又不是必要条件.

⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.

3. 例：

若.

数学第一轮复习_知识点

4. 集合运算：

交、并、补.

交：

AB ⇔ {x | x ∈ A, 且x ∈ B}

并：

AB ⇔ {x | x ∈ A或x ∈ B}

补：

C A ⇔ {x ∈U , 且x ∉ A}

U

5. 主要性质和运算 xx

（1） 包含关系：

（2） 等价关系：

（3） 集合的运算 xx：

交换律：

结合律:

分配律:

.

0-1xx：

等幂律：

求补 xx：

A∩CUA=φA∪CUA=U CUU=φ CUφ =U

反演 xx：

CU（A∩B）= （CUA）∪（CUB）CU（A∪B）=

（CUA）∩（CUB）

6. 有限集的元素个数

数学第一轮复习_知识点

定义：

有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为 card（ A）

规定 card（φ） =0.

基本公式：

（1）card （ AB） = card （ A） + card （B） - card （ AB）

（2）card （ ABC ） = card （ A） + card （ B） + card （C ）

- card （ AB） - card （ BC ） - card （C

A）

+ card （ ABC ）

（3） card（UA）= card（U）- card（A）

（二）含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根轴法（零点分段法）

①将不等式化为 a0（x-x1）（x-x2）…（x-xm）>0（<0）形式，并将各因

式 x 的系数化“+”；（为了统一方便）

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？

）；

④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在 x 轴

上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在 x 轴下方的区

间.

数学第一轮复习_知识点

x

3

x

m-3

+

m-1

m

+

x

（自右向左正负相间）

则不等式的解可以根据各区间的符号确定.

特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论；②一元二次不等式

ax2+bx+c>0（a>0）解的讨论.

∆> 0∆= 0∆< 0

二次函数

y = ax 2 + bx + c

（ a > 0 ）的图象

一元二次方程

有两相异实根      有两相等实根

ax 2 + bx + c = 0

（a > 0 的根

x , x （ x < x ）

1 2 1 2

x = x =-

1 2

b

2a

无实根

ax 2 + bx + c > 0

（a > 0）的解集

{ x < x 或x > x }

1         2

⎧       b ⎫

⎨x x ≠ -  ⎬

⎩ 2a ⎭

R

ax 2 + bx + c < 0

1

< x < x

2

}

∅

∅

2.分式不等式的解法

（1）标准化：

移项通分化为>0（或<0）； ≥0（或≤0）的形式，

（2）转化为整式不等式（组）

3.含绝对值不等式的解法

数学第一轮复习_知识点

（1）公式法：

与型的不等式的解法.

（2）定义法：

用“零点分区间法”分类讨论.

（3）几何法：

根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）

（1）根的“零分布”：

根据判别式和 xx 定理分析列式 xx.

（2）根的“非零分布”：

作二次函数图象，用数形结合思想分

析列式 xx.

（三）简易逻辑

1、命题的定义：

可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联

结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、

“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：

p 或 q（记作“p∨q” ）；p 且 q（记作

“p∧q” ）；非 p（记作“┑q” ） 。

3、“或”、“且”、“非”的真值判断

数学第一轮复习_知识点

（1）“非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相反；

（2）“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真，其他情况

时为假；

（3）“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况

时为真．

4、四种命题的形式：

原命题：

若 P 则 q；逆命题：

若 q 则 p；

否命题：

若┑P 则┑q；逆否命题：

若┑q 则┑p。

（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆

否命题．

5、四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：

（原命

题逆否命题）

①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

数学第一轮复习_知识点

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知 pq 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要

条件。

若 pq 且 qp,则称 p 是 q 的充要条件，记为 pq.

（

7、反证法：

从命题结论的反面出发（假设），引出 与已知、公

理、定理…）矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法

叫做反证法。

高中数学第二章-函数

考试内容：

映射、函数、函数的单调性、奇偶性．

反函数．互为反函数的函数图像间的关系．

指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．

对数．对数的运算性质．对数函数．

函数的应用．

考试要求：

（1）了解映射的概念，理解函数的概念．

（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单

调性、奇偶性的方法．

（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一

些简单函数的反函数．

（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指

数函数的概念、图像和性质．

数学第一轮复习_知识点

（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、

图像和性质．

（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简

单的实际问题．

§02. 函数知识要点

一、本章知识网络结构：

定义F:

AB

反函数

映射

一般研究               图像

性质

函数

二次函数

具体函数

指数    指数函数

对数      对数函数

二、知识回顾：

（一）映射与函数

1. 映射与一一映射

2.函数:

函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对

应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到

确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函

数.

3.反函数:

反函数的定义:

设函数的值域是 C，根据这个函数

xxx,y 的关系，用 y 把 x 表示出，得到 x=（y）. 若对于 y 在 Cxx 的任

数学第一轮复习_知识点

x

何一个值，通过 x=（y）， 在 Axx 都有唯一的值和它对应，那么，x=（y）

就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数，这样的函数 x=（y） （yC）

叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成

（二）函数的性质

⒈函数的单调性

定义：

对于函数 f（x）的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变

量的值 x1,x2,

⑴若当 x1

增函数；

⑵若当 x1f（x2）,则说 f（x） 在这个区间上是

减函数.

若函数 y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f（x）

在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f（x）的单

调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

2.函数的奇偶性

数学第一轮复习_知识点

正确理解奇、偶函数的定义。

必须把握好两个问题：

（ 1 ）定义域在数轴上关于原点对称是函数f （ x ） 为奇

函数或偶函数的必要不充分条件；（ 2 ） f （ - x ） = f （ x ） 或

f （ - x ） = - f （ x ） 是定义域上的恒等式。

2 ．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数

的图象关于y 轴成轴对称图形。

反之亦真，因此，也

可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。

3. 奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增

减性相反 .

4 ．如果 f （ x ） 是偶函数， 则 f （ x ） = f （| x |） ，反之亦成立。

若奇函数在x = 0 时有意义，则f （0 ） = 0 。

7. 奇函数，偶函数：

⑴偶函数：

设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.

偶函数的判定：

两个条件同时满足

①定义域一定要关于轴对称，例如：

在上不是偶函数.

②满足，或，若时，.

⑵奇函数：

设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.

数学第一轮复习_知识点

奇函数的判定：

两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称，例如：

在上不是奇函数.

②满足，或，若时，.

8. 对称变换：

①y = f（x）

②y =f（x）

③y =f（x）

9. 判断函数单调性（定义）作差法：

对带根号的一定要分子有

理化，例如：

在进行讨论.

10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.

例如：

已知函数 f（x）= 1+的定义域为 A，函数 f[f（x）]的定

义域是 B，则集合 A 与集合 B 之间的关系是.

解：

的值域是的定义域，的值域，故，而 A，故.

11. 常用变换：

①.

证：

数学第一轮复习_知识点

②

证：

12. ⑴熟悉常用函数图象：

例：

→关于轴对称.→→

▲

▲                        ▲

（2,1）

（0,1）

x

x

→关于轴对称.

x

⑵熟悉分式图象：

例：

定义域，

值域→值域前的系数 xx.

（三）指数函数与对数函数

指数函数的图象和性质

a>10

数学第一轮复习_知识点

a>10

图

4.5

4

4.5

4

象

3.5                                                                                                                                                                                                       3.5

3                                                                                                                                                                                                         3

2.5                                                                                                                                                                                                       2.5

2                                                                                                                                                                                                         2

1.5

1

0.5

y=1

1.5

1

0.5

y=1

-4-3-2-1

1                   2                   3                   4                                -4

-3                  -2                  -1                                       1                   2                   3                   4

性

质

-0.5                                                                                                                                                                                                       -0.5

-1                                                                                                                                                                                                        -1

（1）定义域：

R

（2）值域：

（0，+∞）

（3）过定点（0，1），即 x=0 时，y=1

（4）x>0 时，y>1;x<0 时，0

（5）在 R 上是增函数

（4）x>0 时，01.

（5）在 R 上是减函数

对数函数 y=logax 的图象和性质:

图

象

数学第一轮复习_知识点

y                  y=log    ax     a>1

O                                                                   x

x=1

a<1

性

质

（4）

（1）定义域：

（0，+∞）

（2）值域：

R

（3）过点（1，0），即当 x=1 时，y=0

x ∈ （0,1） y < 0   x ∈ （0,1） y > 0

时

x ∈ （1,+∞ ） x ∈ （1,+∞ ） y < 0

时 y>0 时

（5）在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）上是减函数

⑴对数运算：

log （M ⋅ N ） = log M + log N 

（1）

aaa

log

a

M

N

= log M - log N

a a

）

log M n = n log （± M 12）

aa

log

a n M =

1

n

log M

a

a log a N = N

换底公式：

log N =

a

log N

b

log a

b

推论：

log b ⋅ log c ⋅ log a = 1

abc

a1

⇒ loga ⋅ log

2

a2 a3 ⋅ ... ⋅ log

an -1 an = log a1 a

n

数学第一轮复习_知识点

（以上）

注⑴：

当时，.

⑵：

当时，取“+”，当是偶数时且时，，而，故取“—”.

例如：

xxx＞0 而 xxx∈R）.

⑵（）与互为反函数.

当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.

（四）方法总结

⑴.相同函数的判定方法：

定义域相同且对应法则相同.

⑵.函数表达式的求 xx：

①定义 xx；②换元 xx；③待定系数 xx.

⑶.反函数的求法：

先解 x,互换 x、y，注明反函数的定义域（即原

函数的值域）.

⑷.函数的定义域的求法：

xx 使函数有意义的自变量的不等关系

式，求解即可求得函数的定义域.xx 涉及到的依据为①分母不为 0；

②偶次根式中被开方数不小于 0；③对数的真数大于 0，底数大于零

且不等于 1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意

义等.

⑸.函数值域的求法：

①配方法（二次或四次）；②“判别式法”；

③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.

数学第一轮复习_知识点

⑹.单调性的判定法：

①设 x,x 是所研究区间内任两个自变量，且

x＜x；②判定 f（x）与 f（x）的大小；③作差比较或作商比较.

⑺.奇偶性的判定法：

首先考察定义域是否关于原点对称，再计算

f（-x）与 f（x）之间的关系：

①f（-x）=f（x）为偶函数；f（-x）=-f（x）为

奇函数；②f（-x）-f（x）=0 为偶；f（x）+f（-x）=0 为奇；③f（-x）/f（x）=1

是偶；f（x）÷f（-x）=-1 为奇函数.

⑻.图象的作法与平移：

①据函数表达式，列表、描点、xx 光滑

曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函

数的图象与对称性描绘函数图象.

高中数学 第三章数列

考试内容：

数列．等差数列及其通项公式．等差数列前 n 项和公式．

等比数列及其通项公式．等比数列前 n 项和公式．

考试要求：

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递

推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几

项．

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项

和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌

握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，xx 解决简单的实际问

题．§03. 数 列知识要点

数列

数列的定义

数列的有关概念

数列的通项

项

项数

通项

数学第一轮复习_知识点

等差数列

等差数列的定义

等差数列的通项

等差数列的性质

等差数列的前 n 项和

等差数列

等比数列

等比数列

等比数列的定义

等比数列的通项

等比数列的性质

等比数列的前 n 项和

定义

a

n+1 - a n = d

a

n+1 = q（q ≠ 0）

a

n

递推公

式

a = a

n

n-1

+ d ； a = a

n

m-n + md

a = a

n

n-1

q ； an = a m q