现代鲁棒控制(吴敏)完整课件.pptx

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,1,鲁棒控制理论及应用（研究生课程）,吴敏,中南大学信息科学与工程学院，长沙，410083,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,2,课程的目标了解鲁棒控制研究的基本问题；掌握鲁棒控制的基础知识和基本概念；明确鲁棒控制问题及其形式化描述；掌握几种鲁棒稳定性分析与设计方法；掌握状态空间H控制理论；了解鲁棒控制系统的分析与综合方法；初步了解非线性系统鲁棒控制方法。

2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,3,涉及课程及参考书涉及课程:

线性系统理论（LinearSystemTheory）最优控制（OptimalControl）参考书:

吴敏,桂卫华,何勇:

现代鲁棒控制（第2版）.中南大学出版社,2006ZhouK,DoyleJCandGloverK.RobustandOptimalControl.PrenticeHall,1996,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,4,课程名称、授课形式和考试方式课程名称:

鲁棒控制理论及应用RobustControlTheoryandApplications授课方式:

集中授课，主要是采取讲授方式，可适当针对某一问题进行讨论。

考试方式:

考试的目的笔试。

2007年10月9日,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,5,课程的主要内容共分为七讲：

第一讲鲁棒控制研究的基本问题第二讲基本知识与基本概念第三讲鲁棒控制问题第四讲鲁棒稳定性理论第五讲状态空间H控制理论第六讲鲁棒控制系统的分析与综合第七讲非线性系统鲁棒控制,2007年10月9日,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,6,鲁棒控制研究的基本问题,鲁棒控制理论及应用第一讲：

控制器,控制对象,2007年10月9日,吴敏,7,鲁棒控制理论及应用基本的反馈控制系统,控制器,控制对象,r,u,中南大学信息科学与工程学院d,y,v传感器nr目标输入，y控制对象输出，u控制输入v传感器输出，n传感器噪声，d外部扰动,控,制,理,论,模建模,型,控,实施,制,器,制实,对际,象控,2007年10月9日,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,8,鲁棒控制理论及应用控制系统设计与不确定性,设计方法,控制理论,制实对际象控,模型控制器,需要考虑的不确定性：

来自控制对象的模型化误差；,来,自,控,制,系,统,本,身,和,外,部,的,扰,动信号。

2007年10月9日,吴敏,9,鲁棒控制理论及应用控制系统设计的基本要求,C,P,r,e,y,u,中南大学信息科学与工程学院d,稳定性（Stability）动态特性（DynamicPerformance）静态特性（StaticPerformance）：

lime（t）=0t鲁棒性（Robustness）,2007年10月9日,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,10,鲁棒控制理论及应用控制系统的动态特性,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,11,控制系统的鲁棒性鲁棒控制系统（RobustControlSystem）：

在某一类特定的不确定性条件下具有使稳定性、动态特性和稳态特性保持不变的特性，即这一反馈控制系统具有承受这一类不确定性影响的能力。

鲁棒性（Robustness）：

鲁棒稳定性在一组不确定性的作用下仍然能够保证反馈控制系统的稳定性。

鲁棒动态特性通常称为灵敏度特性，即要求动态特性不受不确定性的影响。

鲁棒稳态特性在一组不确定性的影响下仍然可以实现反馈控制系统的渐近调节功能。

2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,12,反馈控制理论的发展阶段经典控制（ClassicalControl）：

频域法，传递函数，PID控制现代控制（ModernControl）：

时域法，状态空间模型，能控能观概念，LQG控制先进控制（AdvancedControl）鲁棒控制：

频域法+时域法传递函数+状态空间模型H最优控制，分析与综合,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,13,PID控制PID（Proportion-Integration-Differentiation）控制,de（t）dt,u（t）=KPe（t）+KIe（t）dt+KD0,C,P,r,e,y,u,+KDs,1s,C（s）=KP+KI,+KDs）E（s）,1s,U（s）=（KP+KI,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,14,Re,=0,=,（1,j0）,基于奈魁斯特稳定性设计思想开环频率特性:

是否围绕（1,j0）点Im,在保持稳定性的前提下，改善中频段的特性，从而提高系统的性能。

鲁棒控制理论2007年10月9日,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,15,维纳滤波器方法的基本思想,d:

可以用某种随机过程来表示的外界扰动把反馈控制问题变成数学上的某些优化问题卡尔曼-布西滤波器（Kalman-BucyFilter）理论现代控制理论,C,P,r,e,y,u,d,滤波器,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,16,鲁棒控制理论及应用LQG控制器,控制问题的解（分离原理）：

设计卡尔曼-布西滤波器，获得x的估计值；设计基于x的估计值的状态反馈增益矩阵K。

上述均是基于黎卡提方程的解进行设计。

2007年10月9日,K,P,y,u,d,-,卡尔曼-布西滤波器,x,2007年10月9日,吴敏,17,鲁棒控制理论及应用鲁棒控制研究的基本问题不确定系统的鲁棒控制,C,0,P0+P,r,e,y,u,中南大学信息科学与工程学院d,不确定性系统的描述方法；鲁棒性分析和设计方法；鲁棒控制的应用领域。

P0,P0+Pd（s）D（s）,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,18,模型不确定性的描述公称模型表示不确定性的摄动及其与公称模型的关系摄动的最大值PA（s）=P（s）+（s）（j）W（j）,RUA=P（s）+（s）:

（j）W（j）,R2007年10月9日,US=2,:

aamin,amax,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,19,系统不确定性非结构不确定性（UnstructuredUncertainty）H控制,P0,P0+P,结构不确定性（StructuredUncertainty）分析与综合,P0,1s+as+1,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,20,C（s）,（s）,P（s）,鲁棒控制理论及应用鲁棒性分析和设计方法PA（s）,-,z,w,Tzw（j）W（j）C（s）1+P（s）C（s）,1,R2007年10月9日,Tzw（j）（j）Tzw（s）=,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,21,鲁棒性设计的内容保证控制系统的鲁棒性意味着：

对于公称模型，可以保证控制系统的稳定性和期望的性能；,对于考虑了不确定性的集合模型，能够保证控制系统,的鲁棒稳定性，并可以达到期望的性能。

鲁棒性设计的基本内容：

控制器的设计方法；控制器存在的充分与必要条件；设计算法和实施过程。

G21（s）G21（s）,2007年10月9日,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,22,鲁棒控制理论及应用鲁棒控制研究框图,（）,w,z,G（ss）K（ss）,（）,u,y,x=Ax+B1w+B2uG（s）:

z=C1x+D11w+D12uy=C2x+D21w+D22u,&,B2G11（s）G12（s）D12=D22,B1D11D21,AG（s）=C1C2,Gij（s）=Ci（sIA）Bj+Dij,Tzw（s）=Fl（G,K）=G11+G12K（IG22K）1G21,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,23,鲁棒控制的应用领域鲁棒控制其存在的条件应指出：

模型不确定性或外界扰动不确定性的范围。

在应用中要解决的问题：

实际控制问题如何转换成鲁棒控制问题；鲁棒控制器在实际应用中的条件、实现方法和应用效果等。

2007年10月9日,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,24,基本知识与基本概念,鲁棒控制理论及应用第二讲：

x&=Ax+Bu,y=Cx+Du,x=ex（0）+e,At,e=I+At+,G（s）=C（sIA）B+D=A,B,C,D=,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,25,G,u,y,状态空间模型与传递函数状态空间模型,t0,Bu（）d,A（t）,+L,+,3,2,（At）3!

（At）2!

At,At,BD,1AC,状态空间模型,LC=eBBedt,+,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,26,能控性（Controllability）分析定义:

存在一个输入u（t），使x（t）从任意的初始状态出发，在有限时间内达到原点，则（A，B）是能控的。

定理:

下述条件是等价的。

（A，B）是能控的；rankBABA2BAn-1B=n；存在实数矩阵F，使A+BF具有任意指定的n个对称于实的复数特征根；对于任意的复数，有rankI-AB=n。

能控性格拉姆（Gramian）矩阵:

0,AtTATt,LO=eCTCeAtdt,+,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,27,能观性（Observability）分析定义:

任意的初始状态，可以由有限时间内的输出y（t）和输入u（t）来唯一决定，则（C，A）是能观的。

定理:

下述条件是等价的。

（C，A）是能观的；rankCCACA2CAn-1T=n；存在实数矩阵H，使A+HC具有任意指定的n个对称于实的复数特征根；对于任意的复数，有rankI-ACT=n。

能观性格拉姆矩阵:

ATt02007年10月9日,C,C,AT,CD=T,C,=,ABD1C,1,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,28,传递函数的性质及运算相似变换不改变系统的传递函数传递函数的两个最小实现可以用相似变换进行相互转换,BD,A,BA=D,CTDT,TABB,*,BD,ATBT,A,CTTD,1,=1DC,BD1D,BD,AC,G1（s）=,AB1A2,C,D1C2,G2（s）=,0,C1C2,D12,C,C,A22,=0,C11212,CABD,D12112,2007年10月9日,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,29,鲁棒控制理论及应用两个传递函数的运算,C1D1,A2C2,1,B1,A1B1+,B2D2,1,B2D2B2+D,A0=A2,A20B2=B12112CCDD,11,1,B2D2,A1,B1A2D12,ABC2B1D2BDCDD,G（s）=,K（s）=,Fl（G,K）=BkELC2Ak+BkFLD22Ck,C1+D12FLDkC2,k,ID22D,IDkD22,2007年10月9日,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,30,G（ss）,（）,w,z,K（ss）,（）,u,y,鲁棒控制理论及应用下线性分式变换,G11（s）G12（s）G21（s）G21（s）Gij（s）=Ci（sIA）Bj+Dij,BkDk,AkCk,B1+B2FLDkD21BkELD21D11+D12FLDkD21,Tzw（s）=Fl（G,K）=G11+G12K（IG22K）1G21A+B2FLDkC2B2FLCkD12FLCk,1,EL=,1,FL=,M（s）=,C,C2,D22,=,Fu（M,）=BEUC1A+BFUD11C,C2+D21FUDC1,ID11D,IDD11,2007年10月9日,吴敏,31,M（ss）,（）,鲁棒控制理论及应用上线性分式变换（ss）,（）,w,z,u,y,中南大学信息科学与工程学院M11（s）M12（s）M21（s）M22（s）,B1D11D21,AM=1,B2D12,BD,AC,B2+B1FUDD12BEUD12D21FUDD12+D22,Tzw（s）=M22+M21（IM11）1M12Fu（M,）=M22+M21（IM11）1M12A+B1FUDC1B1FUCD21FUC,1,EU=,1,FU=,Z12Z221,Z11Z12Z221Z21,Z22Z21,G12G11G211G22,G211G22,G11G211,G211,2007年10月9日,吴敏,32,K,Z,zw,鲁棒控制理论及应用HM变换,中南大学信息科学与工程学院Tzw（s）=（Z11K+Z12）（Z21K+Z22）1,HM（Z,K）=Fl（G,K）,HM（Z,K）=（Z11K+Z12）（Z21K+Z22）1HMZ1,HM（Z2,K）=HM（Z1Z2,K）G=11Z22,Z=,Si=lim,2007年10月9日,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,33,鲁棒控制理论及应用灵敏度函数,f（a1,a2,L,an）当ai变化时，若函数f的变化大，则称f对ai变化的灵敏度大。

相反，即使ai发生变化，f也不怎么改变，则称对变化的灵敏度小。

设ai变化了ai，则f变化了：

if（a1,a2,L,an）=f（a1,a2,L,ai+ai,L,an）f（a1,a2,L,ai,L,an）f对ai变化的灵敏度定义为：

ai0,if（a1,a2,L,an）/f（a1,a2,L,an）ai/ai,aif,Si=,fai,=,=,2007年10月9日,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,34,鲁棒控制理论及应用控制系统的灵敏度函数,C,P,e,y,u,d,T（s）=,P（s）C（s）1+P（s）C（s）,T（s）=,P（s）+P（s）C（s）1+P（s）+P（s）C（s）,P（s）C（s）1+P（s）C（s）,=,P（s）C（s）1+P（s）+P（s）C（s）1+P（s）C（s）,P（s）T（s）1+P（s）+P（s）C（s）P（s）,T（s）/T（s）1P（s）/P（s）1+P（s）+P（s）C（s）,11+P（s）C（s）,S=,当d=0时，由r到y的闭环传递函数：

r,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,35,T（s）=,P（s）C（s）1+P（s）C（s）,11+P（s）C（s）,S=,控制系统的补灵敏度函数灵敏度函数：

补灵敏度函数：

灵敏度函数与补灵敏度函数之间的关系：

T（s）=1S（s）,在d=0时，由r到e的闭环传递函数；在r=0时，由d到y的闭环传递函数。

2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,36,多输入输出控制系统的灵敏度函数输入端和输出端得开环传递函数：

灵敏度函数和补灵敏度函数：

灵敏度函数与补灵敏度函数之间的关系：

Li（s）=C（s）P（s）,L0（s）=P（s）C（s）,Si（s）=I+Li（s）1S0（s）=I+L0（s）1,Ti（s）=I+Li（s）1Li（s）T0（s）=I+L0（s）1L0（s）,Si（s）+Ti（s）=I,S0（s）+T0（s）=I,G（s）=C（sIA）B+D,x&=Ax+Bu,y=Cx+Du,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,37,控制系统的稳定性外部稳定性:

输入输出（BIBO）稳定性，基于G（s）进行分析。

内部稳定性:

内部状态的收敛性，基于系统矩阵A进行分析。

（A的特征根具有负实部）,G,u,y,1,2007年10月9日,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,38,鲁棒控制理论及应用外部稳定性（SISO）,定义：

若一个控制系统对有界的输入u（t）:

u（t）k1+,tt0,+）,可以产生有界的输出y（t）:

y（t）k2+,tt0,+）则称这个控制系统是外部稳定的，或称为有界输入-有界输出稳定系统，简记为BIBO（BoundedInput-BoundedOutput）稳定。

充要条件:

单输入单输出系统为BIBO稳定的充要条件是:

系统的脉冲响应函数g（t）为绝对可积的，即g（t）满,足:

+0,g（t）dtk+,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,39,外部稳定性（MIMO）充要条件:

多输入多输出系统为BIBO稳定的充要条件是系统的脉冲响应矩阵G（t）中每个元素gij（t）均满足绝对可积条件,gij（t）dt+,+0,其中:

i=1,2,p;j=1,2,m,多输入多输出系统为BIBO稳定的充要条件是系统的传递函数矩阵G（s）中每个元素gij（s）均具有负实部的极点。

2007年10月9日,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,40,&y,t,内部稳定性定义：

在由x=Ax+Bu，=Cx+Du描述的线性时不变不变系统中，若u时的状态x（t）对于任意的初始值x（0）=x0有limx（t）=0，则称该系统是内部稳定的。

充要条件：

矩阵A为稳定的充要条件是A的所有特征值具有负实部，即,Rei（A）0,其中：

i1,2,n,与外部稳定性的关系：

若线性时不变系统A,B,C,D是内部稳定的，则其必定是BIBO稳定的但系统的BIBO稳定性并不能够保证其内部稳定性。

能控性能观性：

内部稳定性,外部稳定性,，C（s）=s1时，T,2007年10月9日,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,41,鲁棒控制理论及应用闭环控制系统的稳定性,C（SS）,（）,P（SS）,（）,r,y,由r到y的闭环传递函数为:

1,1s1,当P（s）=,s+2,1s+3,yr（s）=,外部稳定，但内部不稳定,Tyv（s）=P（s）,I+P（s）C（s）,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,42,鲁棒控制理论及应用内部稳定性的讨论,v,（SS）,（）,P（SS）,（）,r,e,u,y,引入假想扰动的闭环控制系统,1,=,s+2（s+3）（s1）,由v到y的闭环传递函数是不稳定的为了禁止不稳定的零极点对消，要对Tyv（s）的稳定性提出要求。

2007年10月9日,u=（P,C）v,（P,C）=,（I+PC）1,P,=,（I+CP）1,（P,C）=,QIQP,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,43,鲁棒控制理论及应用内部稳定性的条件er,1,（I+PC）1P,IC,IC（I+PC）1,定义：

若（P,C）存在，而且其中的四个传递函数都是稳定的，则闭环控制系统是内部稳定的。

充要条件:

若P（s）是稳定的，则内部稳定性的充要条件为Q（s）是稳定的。

2007年10月9日,若Q（s）=C（I+PC）,-1则,IPQ（IPQ）P,C=IQPQ,2007年10月9日,吴敏,44,鲁棒控制理论及应用稳定化控制器Q=C（I+PC）1,中南大学信息科学与工程学院1,结论:

若P（s）是稳定的，则控制器C（s）闭环控制系统是内部稳定的充要条件是存在一个稳定的Q（s）。

这时，稳定化控制器为C（s）=IQ（s）P（s）1Q（s）这样，使控制系统内部稳定的控制器采用Q（s）进行参数化，其中Q（s）是自由参数。

2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,45,可稳定性定义:

对于线性时不变系统A,B,C,D，进行状态反馈u=Fx,若闭环控制系统对于任意的初始状态x（0）=x0有满足,limx（t）=0t,的解,（A+BF）t则该系统是稳定的，即（A,B）是可稳定的。

结论:

下述三个条件是等价的。

a）（A,B）是可稳定的；b）存在使A+BF渐近稳定的矩阵F；c）对于任意Res0有ranksI-AB=n,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,46,可检测性定义:

对于线性时不变系统A,B,C,D，如果（AT,CT）为可稳定的，则系统是可检测的，即（C,A）是可检测的。

结论:

下述三个条件是等价的。

a）（C,A）是可检测的；b）存在使A+HC渐近稳定的矩阵H；c）对于任意Res0有ranksI-ACT=n,ATLo+LoA=CC,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,47,李雅普诺夫方程假设ARnn,QRnn,Q=QT0，则PA+ATP=Q是关于PRnn的李雅普诺夫方程。

当Q为对称矩阵时，解P也是对称矩阵。

解P存在的而且唯一的充要条件：

i（A）+j（A）0,i,j=1,2,n对于能控性和能观性格拉姆矩阵C和，则ALc+LcAT=BBT,T,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,48,李雅普诺夫方程与稳定性矩阵为稳定的充要条件是李雅普诺夫方程PA+ATP=Q对于任意正定的矩阵Q存在正定解P0。

下述三个结论成立：

a）若A是稳定的，则方程存在唯一的对称解P0；b）对于Q=CTC,方程具有唯一对称解P0的充要条件是（C,A）为能观测的，具有唯一对称解P0的充要条件是（C,A）为可检测的；c）若方程当Q=CTC时具有解P0，并且（C,A）为能观测的，则A是稳定的；若此时具有解P0，而且（C,A）为可检测的，则A也是稳定的。

2007年10月9日,2007年10月9日,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,49,鲁棒控制理论及应用哈密顿矩阵与黎卡提方程,设,A,Q,RRnn，而且,Q=QT,R=RT，即Q和R对称的，,则哈密顿（Hamilton）矩阵定义为：

ARQAT关于XRnn的矩阵方程T称为黎卡提（Riccati）方程。

X1X1,H,XZ,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,50,哈密顿矩阵的性质如果哈密顿矩阵H在虚轴上没有特征值，则当是H的特征值时，也是H的特征值假设在es上有n个特征根1,2,L,n，则X1对应的特征向量构成了一个2nn维矩阵X2，即=X222007年10月9日,a）X是黎卡提方程XA+AXXRX+Q=0的解,H（ARX）,=,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,51,1,哈密顿矩阵与黎卡提方程之间的联系如果X1是非奇异的，则X=X2X1Rnn是对称的，而且Tb）下述等式成立IIXX2007年10月9日,特征值的特征向量基X满足式,X1X1,HZ,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,52,定义:

若哈密顿矩阵H在虚轴上没有特征值，对应于稳定,，其中X1是,X=Ric（H）和dom（Ric）的定义TT的稳定化解，用XRic（H）表示。

=,X2X2,X12非奇异的，则Hdom（Ric）。

H=,dom（Ric）,XRic（H）0。

A,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,53,有关哈密顿矩阵和黎卡提方程的结论结论1:

若Hdom（Ric），XRic（H），则a）XXT；b）XAATXXRXQ0；c）ARX是稳定的。

结论2:

如果H在虚轴上没有特征值，R是半正定的或半负定的对称矩阵，而且（A，R）是可稳定的，则Hdom（Ric）。

结论3:

若（A,B）是可稳定的,（C,A）是可检测的,则哈密顿矩阵,当（C,A）为能观测时，则XRic（H）0成立。

2007年10月9日,BBTT,ACCT,2007年10月9日,鲁棒控制理论及应用,中南大学信息科学与工程学院,吴敏,54,函数空间设W是一个非空集合，若对于任意的一对元素x，yW，均对应着一定值d（x，y），它满足d（x，y）0当且仅当xy时，d（x，y）0三角不等式d（x，y）d（x，z）d（y，z），zW称d（x，y）是x与y之间的距离，W按距离成为距离空间，记为（W，d），W中的元素