版高中数学第二章圆锥曲线与方程11椭圆及其标准方程学案含答案北师大版选修11.docx

版高中数学第二章圆锥曲线与方程11椭圆及其标准方程学案含答案北师大版选修11.docx

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版高中数学第二章圆锥曲线与方程11椭圆及其标准方程学案含答案北师大版选修11

1．1　椭圆及其标准方程

学习目标

　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．

知识点一　椭圆的定义

思考1　给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？

思考2　在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖（动点）满足的几何条件吗？

梳理　把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于____________________的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．

知识点二　椭圆的标准方程

思考1　椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？

思考2　椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|?

梳理　

焦点在x轴上

焦点在y轴上

标准方程

＋

＝1（a>b>0）

＋

＝1（a>b>0）

图形

焦点坐标

a，b，c的关系

类型一　求椭圆的标准方程

命题角度1　焦点位置已知求椭圆的方程

例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝

；

（2）经过点（3，

），且与椭圆

＋

＝1有共同的焦点．

反思与感悟　用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：

首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程（组），再解方程（组）求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程．

跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0,2），并且椭圆经过点（－

，

）；

（2）焦点在x轴上，且经过两个点（2,0）和（0,1）．

命题角度2　焦点位置未知求椭圆的方程

例2　求经过（2，－

）和

两点的椭圆的标准方程．

反思与感悟　如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：

一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上设出椭圆的标准方程，再解答；二是设出椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1（A>0，B>0，A≠B），再解答．

跟踪训练2　求经过A（0,2）和B（

，

）两点的椭圆的标准方程．

类型二　椭圆方程中参数的取值范围

例3　“方程

＋

＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是（　　）

A．1

B．1

C．2

反思与感悟　

（1）利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．

（2）

＋

＝1表示椭圆的条件是

表示焦点在x轴上的椭圆的条件是

表示焦点在y轴上的椭圆的条件是

跟踪训练3　已知x2sinα＋y2cosα＝1（0≤α≤π）表示焦点在x轴上的椭圆．求α的取值范围．

类型三　椭圆定义的应用

例4　如图所示，点P是椭圆

＋

＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．

引申探究　

在例4中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连接BF2，其他条件不变，求△BPF2的周长．

跟踪训练4　

已知椭圆的方程为

＋

＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°（如图）．求△PF1F2的面积．

1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是（　　）

A．椭圆B．直线

C．圆D．线段

2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是（0,1），则实数k的值是（　　）

A．1B．2C．3D．4

3．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2

，则此椭圆的标准方程为________．

5．已知椭圆

＋

＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.

1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．