哥德巴赫猜想.docx

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哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想

哥德巴赫本来是普鲁士派往俄罗斯的一位公使。

后来，他成了一名数学家。

哥德巴赫和费尔马一样，很喜欢和别人通信讨论数学问题。

不过，他在数学上的成就和声望，远远不如费尔马，有的人甚至认为他不是数学家。

其实，有资料说，他是彼得堡科学院院士。

哥德巴赫与另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉经常通信。

他们有15年以上的通信历史，经常讨论的是数学问题。

1742年6月7日，哥德巴赫写信告诉欧拉，说他想冒险发表一个猜想：

“大于5的任何数是三个素数的和。

”

这里要顺便交待一句，有一个时期，人们把1看成是特殊的素数；后来，才像今天这样，把1与素数严格区别开来。

同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说，他认为：

“每一个偶数都是两个素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的。

”

　　这就是著名的哥德巴赫猜想．

后来，它被归纳为：

命题甲：

每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和；

命题乙：

每一个大于或者等于9个奇数，都可以表示为三个奇素数的和。

这就是今天我们所说的哥德巴赫猜想，实际上，应该是哥德奇巴赫——欧拉猜想。

当然，如果（甲）成立，则（乙）必成立．这是因为

2n+1=2（n-1）+3

而（甲）成立，有两个奇素数p1，p2，使2（n-1）=p1+p2．再把奇素数3记为p3，则奇数N奇=2n+1=p1+p2+p3．因偶数2（n-1）≥6，故奇数2n+1≥9．（*）

这就指明了：

若（甲）成立，则（乙）成立；但若（乙）成立，则反推不出（甲）成立．这说明（甲）命题是最本质的．

整个19世纪结束时，哥德巴赫猜想的研究没有任何进展．有人作了具体的验证，得到6=3+3，8=3+5，…，18=11+7，…，一直算到33×106（三千三百万）以内的偶数都是对的，而相应的奇数也有同样的结论．问题是较大的偶数怎么样？

1900年，希尔伯特（Hilbert）在第二届国际数学会上发表了著名的二十三个难题中，哥德巴赫问题被列为第八个问题的一部分．由于问题艰难，有的数学家散布悲观的论调．1912年，德国数学家朗道（Landau）在国际数学会的报告中说：

“即使要证明下面较弱的命题：

任何大于4的正整数，都能表成C个素数之和（C为某常数），这也是现代数学力所不能及的．”

1921年，英国数学家哈代（Hardy）在一次数学会上也谈到：

“哥德巴赫猜想，可能是没有解决的数学问题中最困难的一个．”

就在一些著名数学家作出悲观预言和感到无能为力的时候，那些勇于探索真理的人们，并没有被困难所吓倒，而是一步一个脚印地努力拼搏，从前人研究所走过的道路上去挖掘与发现解决哥德巴赫猜想可能取得成果的潜在思想，开始从不同的方向取得了为以后证明提供基础的重大突破．这就是：

1920年前后，英国数学家哈代、李特伍德（Littlewood）和印度数学家拉马努扬（Ramanu-jan）所提出的“圆法”；1920年前后，挪威数学家布龙（Brun）所提出的“筛法”；以及1930年前后，苏联数学家史尼尔里曼（Schnirelmann）所提出的“密率”．在不到50年的时间里，沿着这三个方向对哥德巴赫猜想的研究取得了十分惊人的丰硕成果，同时也有力地推进了数论和其他一些数学分支的发展．迄今得到的最好结果是：

（1）1937年，苏联数学家维诺格拉托夫（Vinogradov）证明了：

每一个充分大的奇数都是三个奇素数的和；

（2）1966年我国数学家陈景润证明了：

每一个充分大的偶数都可以表为一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和．这是两个十分杰出的成就．

求解的思路

人们遇到一些困难的理论问题时，往往有两种方式去进行求解：

一是直接地去求证本题的结论，即把诸如（*）这类式子理解为一个方程式，当p1，p2，p3限制在素数范围内时，解答个数I（依赖于N）是否大于零呢？

这就引出了对I进行估算的问题——猜想（乙）；二是将问题削弱一点，然后逐步逼近而力争解决——猜想（甲）．

最早对I（N）进行研究的是英国的哈代及李特伍德，他们采用分析方法引进“圆法”来研究数论，他们利用“圆法”及一个未经证实的猜测——黎曼猜测证明了任一充分大的奇数都是三素数之和．因此，人们常称：

这两位教授有战斗之功，无胜利之果．（有战斗之功指吹响了向哥德巴赫问题冲锋的进军号，无胜利之果是指证明过程中使用了一个未经证明的“猜想”．）1937年，苏联数学家维诺格拉托夫利用“圆法”及他自己创造的“三角和法”基本上证明了问题（乙）．

巴雷德金（Borozdkin）算过，当奇数

（此数共4008600位）大约400万位时，就能表示成三个奇素数之和，换句话说，除掉适合于

的有限多个奇数外，命题（乙）都成立．但目前已知最大素数为M756839=2756839-1共227832位，它比

小得多，可见小于维氏常数

的一切奇数是否满足命题（乙），还没有办法验证，所以说是基本上证明了命题（乙）．尽管如此，维氏的结果仍是十分杰出的．

在维诺格拉托夫的重要工作之后，我国数学家华罗庚在1938年证明了下面重要的定理：

几乎全体偶数都能表示成两个素数之和，即N偶=p1+p2k（p1，p2为素数，k≥1为自然数）．

由于研究哥德巴赫问题的方法一般需要数论中很复杂而深入的知识，下面只对“圆法”和“筛法”的基本思想作简要说明．

（1）圆法

对于哥德巴赫猜想来说，圆法的思想是这样的：

设m为整数，因为积分

所以哥德巴赫方程

N偶=p′+p″，p′，p″∈P（P为素数集合）（3．2）

的解数I（N偶）可表为积分

其中S（α，N）=∑e（αp），（e（x）=e2πix）（3．4）而S（α，N）称为素变数的三角和．所谓哥德巴赫猜想（甲）就是要证：

对于所有的偶数N偶≥6，都有I（N偶）＞0．

所谓哥德巴赫猜想（乙）就是要研究积分

如果对任何N奇≥9均有T（N奇）＞0，就是猜想（乙）成立，即（*）成立．

要证T（N奇）＞0（或I（N偶）＞0，确实是件很困难的事，因为我们对被积函数中的三角和

S（α，N）=∑e（αp）

的性质很不熟悉．如果性质搞清楚了，其积分的值也就求出来了．那它有什么性质呢？

他们猜测有如下性质：

当α在[0，1]上跑过时，在分母“较小”的既约分数“附近”时，S（α，N）就取“较大”的值；当α在分母“较大”的既约分数“附近”时，S（α，N）就取“较小”的值．这样我们就可把积分区间分为两部分，其中一部分，是积分的主要项，要计算出来；另一部分，是积分的次要项，相对前一部分，可忽略不计．

如何实现上述想法？

下面再作简要说明．

设Q，τ为二整数，

1≤Q≤τ≤N

考虑法莱（Ferey）数列

以及

易证，满足条件

时，所有的小区间E（q，a）是两两不相交的．我们称E1为基本区间，E2为余区间．如果一个既约分数的分母不超过Q，我们就说它的分母是“较小”的，否则就说是“较大”的．如果两个点之间的距离不超过，τ-1，我们就说它们是“较近”的．显然，当α∈E1时，它就和一分母“较小”的既约分数“接近”；当α∈E2时，可以证明，它一定和一分母“较大”

一区间对原积分的数值并无影响．这样一种区间的分割称为法莱分割．那么有

其中

“圆法”就是要计算I1（N偶）、T1（N奇）,且证明它们为I（N偶）,T（N奇）的主要项,而I2（N偶）,T2（N奇）分别为次要项．

如果不加任何条件限制，难以计算I（N偶），T（N奇）的渐近式．这样一来，先把问题范围缩小，加上一些前提条件，得到带有假设性的结果，然后再考虑如何取消这个前提条件得到满意结果，这也是我们很自然的想法．1923年，哈代、李特伍德他们在广义黎曼（Riemann）猜想成立的前提下证明其结论．这里所谓黎曼猜想，是指黎曼ζ-函数

他们证明了：

对于充分大的奇数，一定可以表为三个奇素数之和，且有渐近公式

对于偶数又怎样呢？

他们猜测有

哈代、李特伍德所创造的“圆法”为人们攻克哥德巴赫猜想指明了一个有成功希望的研究方法．后来，1937年苏联数学家维诺格拉托夫在“圆法”的基础上，再加上他独创的“三角和的方法”，去掉了广义弱型黎曼猜想前提证明了：

每一个充分大的奇数都是三个奇素数之和，且有渐近式（3．8）成立．他的这一结果称为哥德巴赫—维诺格拉托夫定理——三素数定理．

1941年，我国数学家华罗庚对维氏“三角和方法”作了非常深刻的研究和改进，并对维氏定理作了重要推广，他证明了：

每一个充分大的奇数N奇，都可表为三个奇素数的k次方的和：

N奇=p1k+p2k+p3k（k为任意正整数）

当k=1时，就是维式定理．

这里还应提到一点，1977年，我国著名数学家潘承洞的弟弟潘承彪教授，对维氏定理给出了一个十分简化的证法（原来的证明很繁难）．

（2）筛法

在提出“圆法”的同时，为了研究哥德巴赫猜想（甲），对“筛法”的研究也开展起来．要解决猜想（甲）实在太困难，人们想用逐次逼近的方法一步一步地突破．先将偶数N写成两个自然数之和N偶=n1+n2而n1与n2里的素因数个数记为a与b，简记为{a，b}或写成{a+b}．这样的问题也可以说是“殆素数问题”，即问：

是否每一个充分大的偶数都可以表示成两个殆素数之和？

所谓“殆素数”就是指素因数的个数很少，其中a是一个不超过a个素因子的数，b是一个不超过b个素因子的数．如果能证明对于每一个偶数N，总有a=b=1，也即有{1+1}结果的话，那么哥德巴赫猜想就成立了．

到目前为止，对研究关于偶数的哥德巴赫猜想最为有效且获得最好结果的方法正是“筛法”．那么，“筛法”是怎样与“哥德巴赫猜想（甲）”联系起来的呢？

大家知道“筛法”是寻求素数的一个古老的方法．这个方法是两千多年前古希腊学者爱拉托士散纳（Eratosthenes）创造的，称为爱拉托士散纳筛法．我们的素数表基本上按此法编制的．例如，我们用此法编1-100间的素数表如下：

100以内的合数一定能被10以下的某一素数即2，3，5，7之一整除．因此，我们依次把能被2除尽的数、能被3除尽的数、能被5除尽的数、能被7除尽的数都划去，留下的正好是10到100之间的所有素数，这样就得到从1—100间的素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97共25个素数．

在这里，2，3，5，7这四个数好像组成了一个“筛子”，凡是能被这“筛子”中的一个数除尽的数就要被“筛”掉，而不能被除尽的数就留下．通过这个“筛”，筛出10—100间的素数．

在一般情况下，“筛子”可由满足一定条件的有限个素数组成，我们记作B．被“筛”选的对象可以是一个由有限多个整数组成的数列，我们记作A．如果把数列A经过“筛子”B筛选后所留下的数列记作C，那么简单地说，“筛法”就是用来估计数列C中整数个数多少的一种方法．

随着数学的发展，“筛法”也得到了发展，特别是对猜想（甲）的研究，“筛法”理论及应用比以前更加深刻与广泛．因此，我们用现代数学语言来描述它：

A表示一个满足一定条件的由有限多个整数组成的集合（元素可重复），B表示一个满足一定条件的无限多个不同的素数组成的集合，z≥2为任一正数．令

我们以S（A，B，z）表示集合A中所有与P（z）互素的元素的个数，即

这里P（z）就起到一个“筛子”的作用，凡是和它不互素的都被“筛掉”，而与它互素的数都留下．所谓“筛法”的含义也正是如此．“筛子”的大小是与集合B与z有关．z愈大，筛子就愈大，被筛掉的数就愈多．S（A，B，z）是集合A经过筛子P（z）筛选后所剩下的元素的个数．我们称S（A，B，z）为筛函数．显然，使用“筛法”对筛函数必须深刻理解．因此，研究筛函数的性质、作用及计算成为最基本的任务，其中最重要的就是估计筛函数S（A，B，z）的上界和正的下界．

如果你想用筛法解决数论某一问题，首先必须把归结的问题与筛函数建立联系．现在是用筛法去研究猜想{a，b}，那么筛函数与{a，b}的内在联系如下：

设N为一大偶数，取集合

A=A（N）＝{n（N-n），1≤n≤N}

那么显然证明了{a，a}，这里

那么我们就相应地得到了一个大偶数表为二个素数因子个数不超过a个的数之和的表法个数的上界．

如果我们取集合

C=C（N）={N-p、p≤N}

能证明

么也就相应地得到了偶数表为一个素数与一个素因子不超过a个数之和的表法的上界．

从上面所述，命题{a，b}和求筛函数的上界和正下界紧密相关．同“圆法”一样，也要计算主项和估计余项，并证明相对于主项来说余项是可以忽略的．在证明以上命题{a，b}时，余项的估计是初等的，比较简单的．1920年前后，挪威数学家布龙（Brun）对古典筛法作了改进，用新的筛法证明了命题{9，9}，开辟了用“筛法”研究猜想（甲）及其他数论问题的新途径．1950年前后，谢尔伯格（Selberg）对古典筛法又作了改进，他利用求二次型极值方法创造了新的筛法，它比布龙方法更简单且结果又好．接着，1941年库恩（Kuhn）也提出“加权筛法”……．之后便是接二连三的改进工作．

特别是我国一些年轻数学家，成功地应用“筛法”及“三角和方法”相结合的新解析数论方法，在50年代到60年代期间，作出了一系列重要的改进：

首先是王元1957年在黎曼假设下证得{1，5}成立；不需任何假设证得{1，5}应归功于1962年潘承洞所发表的成果，这个结果第一次定量地而且是低纪录地向{1，1}挺进．1963年，1965年相继出现了{1，4}，{1，3}的重要成就．此时，在估计余项上出现了Bombieri－Vinogradov定理所不能克服的困难，即证明下面一类新的均值定理：

1966年，我国年轻数学家陈景润由于他提出了新的加权筛法，证明了命题{1，2}．1973年发表了他的很有创造性的命题{1，2}的全部证明，立即在国际数学界引起强烈反响，公认是一个十分杰出的结果，是筛法理论的卓越应用．到目前为止还是世界领先的成果．

关于这方面的研究进展情况如下表所示：

正确认识“猜想”的研究

人们对“猜想”一般有两种看法：

一是认为研究它没什么实用价值，何必大书特书？

二是前几年经过作家徐迟写陈景润同志刻苦钻研，努力攀登“哥德巴赫猜想”研究的高峰的动人事迹后，“猜想”变得家喻户晓．每个中国人为此感到骄傲与自豪，这证明中国人的智力并不比外国人差，大长中国人的志气．在我国大、中、小学里曾掀起一股“数学热潮”．但他们之中，有的认为不需要什么高深数学，企图用初等数论的方法解决这类世界难题．

第一种看法是片面的，一个数学问题的解决，其意义应分两方面考察．不但要看它的实际意义，也要看它的理论价值．我们在这一章的开始就引用了华罗庚教授的话：

“通过研究创造深刻的方法对硬分析有用．”这里硬分析指的是精密精细的估计．前面我们已经讲到，由于研究它所产生的“圆法”、“筛法”及某些指数和的估计方法大大推动数论及邻近学科的发展；并通过对此问题的研究达到深刻掌握解析数论方法，也是培养这方面人才的好途径．

第二种想法是好的，但还需要严谨的科学态度．正如陈景润教授所指出的：

“首先需要学习许多非常高深的数论论文，还要经过多年刻苦钻研，然后才有可能从事这方面的研究工作．我认为在最近几十年，关于哥德巴赫猜想、费尔马大定理等世界著名难题是不可能只用初等数论方法而得到证明的．”从上面所列的表中看到，我国年轻数学家所取得的巨大成就，每个中国人感到由衷的高兴．我们进一步要问：

他们如何能取得这样的成就呢？

一方面是他们不畏劳苦、努力拼搏的精神，另一方面也是老一辈数学家华罗庚、闵嗣鹤等对他们精心培育和从严要求的结果．他们每一个都具备了雄厚的高等数学基础知识和熟练的运算技巧．他们形成了一个互相学习，要求上进的战斗集体．这里我摘录几段华罗庚的学生回忆往事的真实记录：

“即使对最好的学生，华罗庚也从不放松要求．当时年轻人一听到走廊里响起华所长的皮鞋声，心里就有些发紧，因为所长随时可能推门进来“考”上几个问题，闹不好就会“挂黑板”，走麦城．严师出高徒，学生们因此普遍培养出一丝不苟的过硬功夫，日后都成为我国数学界的栋梁之才．”

“……有句成语叫‘班门弄斧’，华罗庚却反其意而用之，提倡‘弄斧必到班门’，号召青年人用高标准要求自己．”（中国科学院数学研究所学术委员会主任、研究员陆汝钤）

这里还特别值得一提的是，被数学界传为佳话的是闵嗣鹤教授对陈景润的热情支持与指导，学生对老师虚心请教的动人故事：

“1966年春，《科学通报》第十七卷第九期（5月15日出版）上发表了陈景润的著名论文——《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数乘积之和》——的简报．陈景润一拿到这期通报，首先想到的是他的闵老师，他在杂志的封面上恭恭敬敬地写上了：

敬爱的闵老师：

非常感谢您对学生的长期指导，特别是对本文的指导．

学生陈景润敬礼

1966．5．19．

并立即跑去送给最关心、最支持他的老师．他们之间的联系大约始于1963年，陈景润经常去先生家请教，热烈讨论问题，师生之间亲密无间，使陈获益匪浅．尤其是先生正直的为人，严谨的学风，不分亲疏乐于助人的精神，使陈景润对他十分钦佩和无比信任．陈景润不断地改进和简化他的定理的证明，于1972年寒假送去了他自己数年心血的结晶——厚厚的一叠原稿，请他最信任的老师审阅．当时先生的身体已经很不好了，原来想好好休息一下，但他知道陈的论文是一项极重要的工作，如果对了，将是对解析数论的一个历史性的重大贡献．因此，他放弃了休息，不顾劳累与经常发作的心脏病，逐步地细心校阅．当他最后判定陈的证明是正确的时，高兴极了，他看到在激烈的竞争中，新中国自己培养出来的年轻数学家，在解析数论的一个最重要的问题——哥德巴赫猜想的研究上终于又一次夺回了世界领先地位．陈景润的著名文章终于在1973年的《中国科学》上全文发表了．然而，先生又冷静而正确地指出：

“要最终解决哥德巴赫猜想还要走很长的一段路．”（《闵嗣鹤论文选集》序，迟宗陶，严士健，潘承洞，邵品琮，李忠，潘承彪．）

正如上面闵先生所指出的：

“要最终解决哥德巴赫猜想还要走很长的一段路．”最后这句话意味深长，他是对陈景润讲的，也是对青年们讲的，希望寄托在青年人身上．人们对哥德巴赫猜想的研究，真是呕心沥血为之奋斗了两个世纪，还差一步之远，但也是最艰难的一步．在人类即将跨入21世纪的时候，希望我国青年特别是有志攻克这一科学堡垒的青年，努力从“严”打好高、初等数学基础，不畏劳苦努力拼搏，才可能有希望达到光辉的顶点．