高考数学专题函数与方程及函数的应用.docx

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高考数学专题函数与方程及函数的应用

第2讲　函数与方程及函数的应用

（建议用时：

60分钟）

一、选择题

1．（2013·湖南卷）函数f（x）＝2lnx的图象与函数g（x）＝x2－4x＋5的图象的交点个数为（　　）．

A．3　B．2　

C．1　D．0

解析　由已知g（x）＝（x－2）2＋1，所以其顶点为（2,1），又f

（2）＝2ln2∈（1,2），可知点（2,1）位于函数f（x）＝2lnx图象的下方，故函数f（x）＝2lnx的图象与函数g（x）＝x2－4x＋5的图象有2个交点．

答案　B

2．“a>3”是“函数f（x）＝ax＋3在（－1,2）上存在零点”的（　　）．

A．充分不必要条件　B．必要不充分条件

C．充要条件　D．既不充分也不必要条件

解析　由于“函数f（x）＝ax＋3在（－1,2）上存在零点”⇔f（－1）f

（2）<0⇔（－a＋3）（2a＋3）<0⇔a<－

或a>3，则“a>3”是“函数f（x）＝ax＋3在（－1,2）上存在零点”的充分不必要条件．

答案　A

3．已知函数f（x）＝

则函数f（x）的零点为（　　）．

A.

，0　B．－2,0　

C．

　D．0

解析　当x≤1时，由f（x）＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f（x）＝1＋log2x＝0，解得x＝

，又因为x>1，所以此时方程无解．综上，函数f（x）的零点只有0，故选D.

答案　D

4．函数f（x）＝

x－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为（　　）．

A．1　B．2　

C．3　D．4

解析　在同一坐标系内作出函数y＝

x及y＝sinx在[0,2π]上的图象，发现它们有两个交点，即函数f（x）在[0,2π]上有两个零点．

答案　B

5．设函数f（x）＝

x－lnx（x>0），则y＝f（x）（　　）．

A．在区间

，（1，e）内均有零点

B．在区间

，（1，e）内均无零点

C．在区间

内有零点，在区间（1，e）内无零点

D．在区间

内无零点，在区间（1，e）内有零点

解析　法一　因为f

＝

·

－ln

＝

＋1>0，f

（1）＝

－ln1＝

>0，f（e）＝

－lne＝

－1<0，∴f

·f

（1）>0，f

（1）·f（e）<0，故y＝f（x）在区间

内无零点（f（x）在

内根据其导函数判断可知单调递减），在区间（1，e）内有零点．

法二　在同一坐标系中分别画出y＝

x与y＝lnx的图象，如图所示．

由图象知零点存在区间（1，e）内．

答案　D

6．若函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x＋1）＝－f（x），且x∈[－1,1]时f（x）＝1－x2.函数g（x）＝

则函数h（x）＝f（x）－g（x）在区间[－5,4]内的零点的个数为（　　）．

A．7　B．8　

C．9　D．10

解析　由f（x＋1）＝－f（x），可得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2，求h（x）＝f（x）－g（x）在区间[－5,4]内的零点，即求f（x）＝g（x）在区间[－5,4]上图象交点的个数．画出函数f（x）与g（x）的图象，如图，由图可知两图象在[－5,4]之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.

答案　A

7．（2013·重庆卷）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（　　）．

A．（a，b）和（b，c）内　B．（－∞，a）和（a，b）内

C．（b，c）和（c，＋∞）内　D．（－∞，a）和（c，＋∞）内

解析　由于a0，f（b）＝（b－c）（b－a）<0，f（c）＝（c－a）（c－b）>0.因此有f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，又因f（x）是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f（x）的两零点分别位于区间（a，b）和（b，c）内，故选A.

答案　A

二、填空题

8．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40cm、60cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm2.

解析　设直角边为40cm和60cm上的矩形边长分别为xcm、ycm，则

＝

，解得y＝60－

x.矩形的面积S＝xy＝x

＝－

（x－20）2＋600，当x＝20时矩形的面积最大，此时S＝600.

答案　600

9．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f（x）＝lnx－

的零点，则[x0]＝________.

解析　函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且易判断函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增．由f

（2）＝ln2－1<0，f（e）＝lne－

>0，知x0∈（2，e），∴[x0]＝2.

答案　2

10．（2013·新课标全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝

若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是________．

解析　当x≤0时，f（x）＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1≤0，所以|f（x）|≥ax，化简为x2－2x≥ax，即x2≥（a＋2）x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x>0时，f（x）＝ln（x＋1）>0，所以|f（x）|≥ax化简为ln（x＋1）>ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f（x）|≥ax恒成立，故填[－2,0]．

答案　[－2,0]

11．（2014·福建卷）函数f（x）＝

的零点个数是________．

解析　分段函数分别在每一段上判断零点个数，单调函数的零点至多有一个．当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－

（正根舍去）．所以在（－∞，0）上有一个零点．当x>0时，f′（x）＝2＋

>0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数．又因为f

（2）＝－2＋ln2<0，f（3）－ln3>0，f

（2）·f（3）<0，所以f（x）在（2,3）内有一个零点．综上，函数f（x）的零点个数为2.

答案　2

12．（2014·天津卷）已知函数f（x）＝

若函数y＝f（x）－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．

解析　作出函数f（x）的图象，根据图象观察出函数f（x）的图象与函数y1＝a|x|的图象交点的情况，然后利用判别式等知识求解．

画出函数f（x）的图象如图所示．

函数y＝f（x）－a|x|有4个零点，即函数y1＝a|x|的图象与函数f（x）的图象有4个交点（根据图象知需a>0）．

当a＝2时，函数f（x）的图象与函数y1＝a|x|的图象有3个交点．故a<2.

当y＝a|x|（x≤0）与y＝|x2＋5x＋4|相切时，在整个定义域内，f（x）的图象与y1＝a|x|的图象有5个交点，此时，由

得x2＋（5－a）x＋4＝0.

由Δ＝0得（5－a）2－16＝0，解得a＝1，或a＝9（舍去），则当1

故实数a的取值范围是（1,2）．

答案　（1,2）

三、解答题

13．设函数f（x）＝ax2＋bx＋b－1（a≠0）．

（1）当a＝1，b＝－2时，求函数f（x）的零点；

（2）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．

解　

（1）当a＝1，b＝－2时，f（x）＝x2－2x－3，

令f（x）＝0，得x＝3或x＝－1.

∴函数f（x）的零点为3和－1.

（2）依题意，f（x）＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．

∴b2－4a（b－1）>0恒成立，

即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，

所以有（－4a）2－4（4a）<0⇒a2－a<0，所以0

因此实数a的取值范围是（0,1）．

14．（2014·湖州调研）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）＝

x2＋10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）＝51x＋

－1450（万元）．每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？

解　

（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，依题意得，当0

x2－10x－250＝－

x2＋40x－250.

当x≥80时，L（x）＝（0.05×1000x）－51x－

＋1450－250＝1200－

.

所以L（x）＝

（2）当0

（x－60）2＋950，

此时，当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元．

当x≥80时，L（x）＝1200－

≤1200－2

＝1200－200＝1000.

此时，当x＝

，即x＝100时，L（x）取得最大值1000万元．因为950<1000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大，最大利润为1000万元．

15．已知函数f（x）＝lnx＋2x－6.

（1）证明：

函数f（x）有且只有一个零点；

（2）求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过

.

（1）证明　f（x）的定义域为（0，＋∞），且f（x）是增函数．

∵f

（2）＝ln2－2<0，f（3）＝ln3>0，

∴f

（2）·f（3）<0.

∴f（x）在（2,3）上至少有一个零点．

又因f（x）在（0，＋∞）上是增函数，

从而f（x）在（0，＋∞）上有且只有一个零点．

（2）解　由

（1）知f

（2）<0，f（3）>0.

∴f（x）的零点x0∈（2,3）．

取x1＝

，∵f

＝ln

－1＝ln

－lne<0，

∴f

·f（3）<0，

∴x0∈

.

取x2＝

，

∵f

＝ln

－

＝ln

－lne

>0，

∴f

·f

<0.

∴x0∈

且

＝

≤

，

∴

即为符合条件的区间．