一元二次方程分知识点详细适合基础差的学生.docx
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一元二次方程分知识点详细适合基础差的学生
一元二次方程
知识网络详解:
考点1•一元二次方程的定义：
形如ax'bxc°（a0）的关于x的方程为一元二次方
程.
考点2.—元二次方程的解法：
先尝试“因式分解法”；不能分解时可选择“配方法”或者“求根公式法”
byib24ac
X1,2-
求根公式：
2a
考点3.一元二次方程的判别式：
b24ac
有两个不相等的实数根：
0有两个相等的实数根：
0
无实数根：
0有实数根：
0
考点4.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
2
若0时，设X1、X2为一元二次方程aXbXC0（a0）的两个实数根，那么:
bc
X-iX2X-iX2
aa
考点5.一元二次方程应用题（数字问题，互赠问题，面积问题，增长率问题，利润问题）
【课前回顾】
1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程
2x28x70的两根，则这个直角三角
形的斜边是（）
A.
3
B.3
C.6
D.
6
2、关于
x的方程
m
1x2
2mxm
0有实数根，则m的取值范围是（）
A.m
0且m
1
B.
m0
C.m1D.m1
3、关于x的一元二次方程（k-1）x2-4x-5=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是
4、某工厂计划在两年内把产量提高44%如果每年的增长率都和上一年相同，则平均每年
的增长率是。
5、解方程
（1）x22250
（2）2x210X3
（3）（x3）2（12x）2
（4）-x2-x-0
323
经典例题讲解:
考点一、概念
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）
2
11
A
3x1
2
x1
B2
20
xx
C
ax2bx
c
0
2
Dx2x
:
x21
变式：
当
k
时，关于
x的方程kx22xx2
3是一元二次方程。
例2、方程m2J叫3mx10是关于x的一元二次方程，则m的值为变式练习：
1、方程8x27的一次项系数是，常数项是。
2、若方程m2xim10是关于x的一元一次方程，
⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。
3、若方程m1x2.m?
x1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是
4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）
A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1
考点二、方程的解
例1、已知2y2y3的值为2,则4y22y
例2、关于x的一元二次方程a2x2xa2例3、已知关于x的一元二次方程ax2bxc必有一根为。
例4、已知a,b是方程x24x
则m的值为。
1的值为。
40的一个根为0,则a的值为
0a0的系数满足acb，则此方程
2
m0的两个根，b,c是方程y8y5m0的两个根,
变式练习:
1、已知方程xkx100的一根是2，则k为，另一根是
X1
2、已知关于x的方程x2kx20的一个解与方程3的解相同。
x1
⑴求k的值；⑵方程的另一个解。
22
3、已知m是方程xx10的一个根，则代数式mm
29
4、已知a是x3x10的根，贝U2a6a
2
5、方程abxbcxcaO的一个根为（
A1B1Cbc
6、若2x5y30,则4x?
32y。
考点三、解法一
类型一、直接开方法:
x2mm0,x/m
※※对于x
2
m,axm
2
bxn等形式均适用直接开方法
例1、解方程：
12x280;
2
22516x=0;
31x290;
例2、若9x
2
116x2
则x的值为
变式练习：
下列方程无解的是（
22
A.x32x1B.x
C.2x31
2
D.x
类型二、因式分解法
:
xx-1
x20xx1,或x
X2
※方程特点：
左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“
※方程形式：
如
axm2bxn2xaxb
x22axa2
例1、2xx3
5x3的根为（
5
Bx3
5
3D
2
Ax
Cx-!
x2
X
—
2
2
5
例2、若4x
2
y
34xy4
0，则4x+y的值为
o
变式1:
a2
b22
22
ab6
0,则a2b2
o
变式2：
若x
y2
xy3
0,则x+y的值为
o
变式3:
右x2
xy
y14，y2
xyx28，则x+y
的值为
o
例3、方程x2
x
60的解为（
）
A.X13,x2
2
B.X13,x2
2C.X13,X2
3D.X1
2,
X
变式练习：
1、下列说法中：
①方程x2px
q
0的二根为为
X2，贝yX2pxq
（xX1）（X
X2）
②x26x8（X2）（x4）.
2
C.y2y60
2
D.y2y60
③a2
5ab
6b2
（a2）（a3）
④x2
2
y
（x
y）（、x,y）（.x
.y）
⑤方程（3x
1）2
70可变形为（3x
1、7）（3x1,7）0
正确的有（
）
A.1个
B.2
个C.3个
D.4个
2、以1
7
与1
、7为根的一元二次方程是（）
A.X2
2x
6
0B.X2
2x60
3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：
⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数：
0，则x+y的值为（
4、若实数x、y满足
C、1
或-2
D、
o
b
2a
b24ac
4a2
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
例1、试用配方法说明x22x3的值恒大于0。
例2、
已知X、
y为实数，求代数式x2y22x4y
7的最小值。
例3、
已知x2
y24x6y130,x、y为实数，
求xy的值。
例4、
分解因式
:
4x212x3
变式练习:
1、试用配方法说明
10x2
7x4的值恒小于0。
3、若t2、3x
212x9，
t的最大值为
，最小值为
例1、选择适当方法解下列方程:
a0,且b2
4ac
⑴31x26.
3x6
8.
2
⑶x4x10
⑷3x24x10
⑸3x13x1x12x5
例2、在实数范围内分解因式:
（1）X222x3；
222
（2）4x8x1.⑶2x4xy5y
、根的判别式
b24ac
例1、若关于x的方程x2
2..kx1
0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
例2、关于x的方程m1x22mxm0有实数根，则m的取值范围是（
A.m0且m1
B.m0C.m1
D.m1
例3、已知关于x的方程x2k2x2k0
（1）求证：
无论k取何值时，方程总有实数根;
（2）若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。
例4、已知二次三项式9x2
（m6）xm2是一个完全平方式，试求
m的值.
例5、m为何值时，方程组
2
x
mx
2y2
y
6,有两个不同的实数解？
有两个相同的实数解?
3.
变式练习：
2
1、当k时，关于x的二次三项式xkx9是完全平方式。
2、当k取何值时，多项式3x24x2k是一个完全平方式？
这个完全平方式是什么?
3、已知方程mx2mx20有两个不相等的实数根，则m的值是.
ykx2,
4、k为何值时，方程组2
y4x2y10.
（1）有两组相等的实数解，并求此解;
（2）有两组不相等的实数解;
（3）没有实数解•
考点五、方程类问题中的“分类讨论”
例1、关于x的方程m1x22mx30
⑴有两个实数根，则m为,
⑵只有一个根，则m为。
例1、不解方程，判断关于x的方程x22xkk23根的情况。
22
例3、如果关于x的方程xkx20及方程xx2k0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？
若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。
考点六、应用解答题
1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席?
2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人?
3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放
市场，根据计划，第一年投入资金
1
600万元，第二年比第一年减少1，第二年比第二年减
3
1
少丄，该产品第一年收入资金约
2
400万兀，公司计划二年内不仅要将投入的总资金全部收
1一
回，还要盈利-，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？
（结果精确到
3
0.1，133.61）
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售,
一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，
销售单价应定为多少？
5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。
（3）两个正方形的面积之和最小为多少？
6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.
考点七、根与系数的关系|
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x28x70的两根，则这个直角三
角形的斜边是（）
A.-3B.3C.6D..6
例2、已知关于x的方程k2x22k1x10有两个不相等的实数根x1,x2，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？
若存在，求出k的值；若不
存在，请说明理由。
例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错
常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。
你知道
原来的方程是什么吗？
其正确解应该是多少？
例4、已知ab，a22a10，b22b10,求ab
22ab
变式：
若a2a10，b2b10,则的值为。
ba
例5、已知，是方程x2x10的两个根，那么43.
变式练习:
1、解方程组
xy3,
（1）
X2y25⑵
2.已知a27a4,b27b
4（a
2
3、已知x1,x2是方程x
32
x90的两实数根，求x17x2
3x266的值。
自检自测:
1•钟老师出示了小黑板上的题目
（如图1—2-2）后，小敏回答:
“方程有一根为1”，小聪回
答：
“方程有一根为
2”.则你认为（
A•只有小敏回答正确
C.两人回答都正确
B.只有小聪回答正确
D.两人回答都不正确
图1-2-2
2.解一元二次方程X2—X—12=0,结果正确的是（
A.x1=—4,x2=3
B.x1=4,x2=—3
C.X1=—4,X2=—3D.X1=4,X2=3
3.方程x（x3）（X3）解是（）
A.x1=1
B.x1=0,x2=—3
C.x1=1,x2=3
D.x1=1,x2=—3
4•若t是一元二次方程ax+bx+c=O（a^0）的根，则判别式△=b2—4ac和完全平方式
M=（2at+b）2的关系是（）
A.△=MB.A>MC.A2
5•方程x（x1）0的根是（）
A.0B.1C.0,—1D.0,1
2
6•已知一元二次方程x—2x—7=0的两个根为x1,x2，则x1+x2的值为（）
A.—2B.2C.—7D.7
211
7•已知x1、x2是方程x2—3x+1=0的两个实数根，则的值是（）
X1X2
1
A、3B、一3C、3D、1
8•用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y,那么原方程可变形为（）
A、y2+y—6=0B、y2—y—6=0C、y?
—y+6=0D、y2
+y+6=0
9•方程x2—5x=0的根是（）
A.0B.0,5C.5,5D.5
10.若关于x的方程x2+2x+k=0有实数根，则（）
A.k<1,B.kw1C.kw—1D.k>—1
11.如果一元二次方程x2—4x+2=0的两个根是x1,x2，那么x1+x2等于（）
A・4B・一4C・2D・一2
Ji
12.用换元法解方程（x2—x）—x2x=6时，设x2x=y,那么原方程可化为（）
B.3
C.
3
14.方程x-x=0的解是（）
C.0,-1D.0,1,—1
4。
时，若设缶=必则原方程
A.0,1B.1,-1
（x）25x
15.用换元法解方程厂厂
16•两个数的和为6，差为8，以这两个数为根的一元二次方程是
17.方程x2—x=0的解是
18.等腰△ABC中，BC=8,AB、BC的长是关于x的方程x2—10x+m=0的两根，则m的值
是.
19.关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0的两个根同号，则a的取值范围是.
222
20.解方程：
2（x—1）+5（x—l）+2=0.x—2x—2=0x+5x+3=0
2
21.已知关于x的一元二次方程x
（k1）x6
0的一个根是2,求方程的另一根和
k的值.
2
22.已知关于x的一元二次方程（k4）x
3xk2
3k40的一个根为0，求k的值.
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