一元二次方程分知识点详细适合基础差的学生.docx

1、一元二次方程分知识点详细适合基础差的学生一元二次方程知识网络详解:考点1一元二次方程的定义：形如 ax bx c （a 0）的关于x的方程为一元二次方程.考点2. 元二次方程的解法：先尝试“因式分解法”；不能分解时可选择“配方法”或者“求根公式法”b yib2 4acX1,2 -求根公式： 2a考点3. 一元二次方程的判别式： b2 4ac有两个不相等的实数根： 0 有两个相等的实数根： 0无实数根： 0 有实数根： 0考点4. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） ：2若 0时，设X1、X2为一元二次方程aX bX C 0（a 0）的两个实数根，那么:b cX-i X2 X-i X2a a

2、考点5. 一元二次方程应用题（数字问题，互赠问题，面积问题，增长率问题，利润问题）【课前回顾】1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2 8x 7 0的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.3B.3C.6D.62、关于x的方程m1 x22mx m0有实数根，则m的取值范围是（）A. m0且m1B.m 0C. m 1 D. m 13、 关于x的一元二次方程（k-1）x 2-4x-5=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是 4、 某工厂计划在两年内把产量提高 44%如果每年的增长率都和上一年相同，则平均每年的增长率是 。5、 解方程（1） x 2 2 25 0 （2） 2x2 10X 3(3

3、) (x 3)2 (1 2x)2(4) -x2 - x - 03 2 3经典例题讲解:考点一、概念例1、下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ）21 1A3 x 12x 1B 22 0x xCax2 bxc02D x 2x:x2 1变式：当k时，关于x的方程kx2 2x x23是一元二次方程。例2、方程 m 2 J叫 3mx 1 0是关于x的一元二次方程，则m的值为 变式练习：1、 方程8x2 7的一次项系数是 ，常数项是 。2、 若方程 m 2 xim 1 0是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关于 x的一元一次方程。3、 若方程 m 1 x2 . m ? x 1是关于x的一元二次方程

4、，则 m的取值范围是 4、 若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2, n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考点二、方程的解例1、已知2y2 y 3的值为2,则4y2 2y例2、关于x的一元二次方程 a 2 x2 x a2 例3、已知关于x的一元二次方程ax2 bx c 必有一根为 。例4、已知a,b是方程x2 4x则m的值为 。1的值为 。4 0的一个根为0,则a的值为 0 a 0的系数满足a c b，则此方程2m 0的两个根，b, c是方程y 8y 5m 0的两个根,变式练习:1、 已知方程x kx 10 0的一根是2，则k为 ，

5、另一根是 X 12、 已知关于x的方程x2 kx 2 0的一个解与方程 3的解相同。x 1求k的值； 方程的另一个解。2 23、已知m是方程x x 1 0的一个根，则代数式 m m2 94、已知a是x 3x 1 0的根，贝U 2a 6a 25、 方程a b x bcxcaO的一个根为（A 1 B 1 C b c6、 若 2x 5y 3 0,则 4x ?32y 。考点三、解法一类型一、直接开方法: x2 mm 0 , x /m对于 x2m, ax m2bx n等形式均适用直接开方法例1、解方程：1 2x2 8 0;22 25 16x =0;3 1 x 2 9 0;例2、若9 x21 16 x 2

6、则x的值为变式练习：下列方程无解的是（2 2A.x 3 2x 1 B. xC.2x 3 12D.x类型二、因式分解法:x x-1x2 0 x x1,或xX2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“方程形式：如ax m 2 bx n 2 x a x bx2 2ax a2例 1、2x x 35x3的根为（5B x 353 D2A xC x-! ,x2X225例2、若4x2y3 4x y 40，则4x+y的值为o变式1: a2b222 2a b 60,则 a2 b2o变式2：若xy 2x y 30 ,则x+y的值为o变式3:右x2xyy 14，y2xy x 28，则 x+y的值为o例3、方

7、程x2x6 0的解为（)A. X1 3,x 22B. X1 3,x 22 C.X1 3,X23 D.X12,X变式练习：1、下列说法中：方程x2 pxq0的二根为为,X2，贝y X2 px q(x X1)(XX2) x2 6x 8 (X 2)(x 4).2C. y 2y 6 02D. y 2y 6 0a25ab6b2(a 2)(a 3)x22y(xy)(、x , y)( . x.y)方程（3x1)27 0可变形为（3x1 、7)(3x 1 ,7) 0正确的有（)A.1个B.2个 C.3个D.4个2、以17与1、7为根的一元二次方程是（）A. X22x60 B. X22x 6 03、写出一个一元

8、二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1,且两根互为相反数： 0，则x+y的值为（4、若实数x、y满足C、1或-2D、,ob2ab2 4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。例1、 试用配方法说明x2 2x 3的值恒大于0。例2、已知X、y为实数，求代数式 x2 y2 2x 4y7的最小值。例3、已知x2y2 4x 6y 13 0, x、y 为实数，求xy的值。例4、分解因式:4x2 12x 3变式练习:1、试用配方法说明10x27x 4的值恒小于0。3、若 t 2 、3x2 12x 9 ，

9、t的最大值为，最小值为例1、选择适当方法解下列方程:a 0,且 b24ac 31 x 2 6.3x68.2 x 4x 1 0 3x2 4x 1 0 3 x 1 3x 1 x 1 2x 5例2、在实数范围内分解因式:(1) X2 2 2x 3 ；2 2 2(2) 4x 8x 1. 2x 4xy 5y、根的判别式b2 4ac例1、若关于x的方程x22 . k x 10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是例2、关于x的方程m 1 x2 2mx m 0有实数根，则 m的取值范围是(A.m 0且m 1B.m 0 C.m 1D.m 1例3、已知关于x的方程x2 k 2 x 2k 0(1)求证：无论k取何

10、值时，方程总有实数根;(2)若等腰 ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC的周长。例4、已知二次三项式 9x2(m 6)x m 2是一个完全平方式，试求m的值.例5、m为何值时，方程组2xmx2y2y6,有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?3.变式练习：21、 当k 时，关于x的二次三项式 x kx 9是完全平方式。2、 当k取何值时，多项式 3x2 4x 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么?3、 已知方程 mx2 mx 2 0有两个不相等的实数根，则 m的值是 .y kx 2,4、 k为何值时，方程组 2y 4x 2y 1 0.(1)有两组相等的实数解，并求此

11、解;(2)有两组不相等的实数解;(3)没有实数解考点五、方程类问题中的“分类讨论”例1、关于x的方程m 1 x2 2mx 3 0有两个实数根，则 m为 ,只有一个根，则 m为 。例1、 不解方程，判断关于 x的方程x2 2 x k k2 3根的情况。2 2例3、如果关于x的方程x kx 2 0及方程x x 2k 0均有实数根，问这两方程 是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题1、五羊足球队的庆祝晚宴， 出席者两两碰杯一次， 共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席?2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了 90张，那么这个小组共多少人?3、北京申奥

12、成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金1600万元，第二年比第一年减少 1，第二年比第二年减31少丄，该产品第一年收入资金约2400万兀，公司计划二年内不仅要将投入的总资金全部收1 一回，还要盈利-，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？(结果精确到30.1， 13 3.61)4、某商店经销一种销售成本为每千克 40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售,一个月能售出500千克，销售单价每涨 1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1） 当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。（2） 商店想在月销

13、售成本不超过 10000元的情况下，使得月销售利润达到 8000元，销售单价应定为多少？5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1） 要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?（2） 两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不 能，请说明理由。（3 ）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为 36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲 再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系|例1、已知一个直角三角形的两直

14、角边长恰是方程 2x2 8x 7 0的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）A. - 3 B.3 C.6 D. . 6例2、已知关于x的方程k2x2 2k 1 x 1 0有两个不相等的实数根 x1 ,x2，（1 ）求k的取值范围；（2）是否存在实数 k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看错常数项，而得到解为 8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为 -9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 4、已知 a b，a2 2a 1 0，b2 2b 1 0,求 a b

15、 2 2 a b变式：若a 2a 1 0， b 2b 1 0,则 的值为 。b a例5、已知，是方程x2 x 1 0的两个根，那么 4 3 .变式练习:1、解方程组x y 3, (1)X2 y2 5 2 .已知 a2 7a 4, b2 7b4 (a23、已知x1, x2是方程x3 2x 9 0的两实数根，求x1 7x23x2 66的值。自检自测:1钟老师出示了小黑板上的题目（如图1 2-2 ）后，小敏回答:“方程有一根为1 ”，小聪回答：“方程有一根为2”.则你认为（A 只有小敏回答正确C.两人回答都正确B.只有小聪回答正确D.两人回答都不正确图 1-2-22.解一元二次方程 X2 X 12=

16、0,结果正确的是（A. x1 = 4, x2 =3B. x1=4, x2 = 3C. X1 = 4, X 2 = 3 D. X1 =4, X2 =33.方程 x（x 3） （X 3）解是（）A. x1=1B. x1 =0, x2= 3C. x1 =1, x2 =3D. x1 =1, x2 = 34若t是一元二次方程 ax + bx+c=O（a 0）的根，则判别式 = b2 4ac和完全平方式M=（2at+b） 2的关系是（）A. =M B.A M C.A M D.大小关系不能确定25方程x （x 1） 0的根是（）A. 0 B. 1 C. 0, 1 D. 0, 126已知一元二次方程 x 2x

17、 7=0的两个根为x1, x2，则x1 + x2的值为（ ）A. 2 B. 2 C. 7 D. 72 1 17已知x1、x2是方程x2 3x+ 1 = 0的两个实数根，则 的值是（ ）X1 X21A、3 B、一 3 C、3 D、18用换元法解方程（x2 + x）2 + （x2 + x） = 6时，如果设x2 + x= y,那么原方程可变形为（ ）A、y2 + y 6 = 0 B、y 2 y 6 = 0 C、y? y+ 6 = 0 D、y 2+ y+ 6= 09方程x2 5x=0的根是（）A. 0 B. 0, 5 C. 5, 5 D. 510.若关于x的方程x2 + 2x + k=0有实数根，则

18、（ ）A. k 111.如果一元二次方程x2 4x+ 2 = 0的两个根是x1 , x2，那么x1 + x2等于（）A4 B一4 C2 D一2J i12.用换元法解方程（x2 x） x2 x = 6时，设 x2 x = y,那么原方程可化为（ ）B. 3C.314.方程x -x=0的解是（）C. 0, -1 D. 0, 1, 14。时，若设缶=必则原方程A. 0, 1 B. 1 , -1（x ）2 5x15.用换元法解方程 厂 厂16两个数的和为6，差为8，以这两个数为根的一元二次方程是 17.方程x 2 x=0的解是 18.等腰 ABC中，BC=8, AB、BC的长是关于x的方程x2 10x+m= 0的两根，则 m的值是 .19.关于x的一元二次方程 ax2 +2x+1=0的两个根同号，则a的取值范围是 .2 2 220.解方程：2 （x 1） +5 （x l） +2=0. x 2x 2=0 x +5x+3=0221.已知关于x的一元二次方程 x(k 1)x 60的一个根是2,求方程的另一根和k的值.222.已知关于x的一元二次方程（k 4）x3x k23k 4 0的一个根为0，求k的值.