秩亏自由网平差方法研究.docx

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秩亏自由网平差方法研究

目录

目录1

1引言1

1.1研究进程1

1.2选题目的2

1.3本课题要研究或解决的问题和拟采用的研究手段2

2秩亏自由网平差3

2.1问题的提出3

2.2秩亏自由网平差原理5

2.3S的具体形式7

3平差方法分析及比较8

3.1重心基准的秩亏自由网平差8

3.2拟稳平差9

3.3最小范数准则10

3.4秩亏自由网的广义逆解法11

3.5分析与比较13

4实例分析15

结论21

致谢22

参考文献23

1引言

1.1研究进程

近几十年来，测量平差与误差理论得到了很大的发展，除了经典测量平差方法（条件平差法、间接平差法、附有参数的条件平差法、附有限制条件的条件平差法），产生了一些新的测量模型，后者常称为近代测量平差方法.

测量平差中的秩亏问题，引起了国内外许多学者的重视，纷纷发表文章从各个不同的角度加以论述.从大多数论文来分析，其中大部分谈论这类问题的求解方法.产生这种现象的原因，一方面是由于秩亏问题较古典平差问题新鲜，另一方面由于解决这类问题存在着各种各样的途径与方法.

为了使秩亏问题更好的用于监测的目的，我国测量学者周江文教授于1980年提出一种拟稳平差方法.这种方法的特点，首先通过分析，确定网中相对稳定的未知量，对整个网做自由网平差的同时，是这些稳定未知量拟合于他们的稳定值.这种方法，既区别于传统固定若干未知量作强制符合，使监测网造成不必要的变形；又区别于自由网平差，因后者未知量没有稳定的基准.这种平差方法既不歪曲观测，又有相对稳定的基准，在相对稳定点事先获得较合理、精度较高的近视值得情况下，能够解答出准度较高的待估参数值.

我国大地测量学家刘大杰教授在《在论亏秩自由网平差》从传统的测量平差观点出发论述和分析亏秩自由网平差之解的性质着重讨论了：

1、按“附加条件法”讨论亏秩自由网平差问题，其结果与“假观测值法”相同，但前者较后者更为恰当.2、亏秩平差之解具有方差最小性，也具有无偏性.3、亏秩平差之解与参考系的关系.

于正林教授在《自由网平差中若干问题的讨论》一文中着重讨论了秩亏网平差、拟稳平差、和加权秩亏网平差结果之间的相互转换，以及各种自由网平差所求得的参数估计值的统计性质等问题.

中国矿业大学环境与测绘学院，针对自由网秩亏问题，提出一种名为双重条件平差的方法，该方法简洁易懂，且法方程的系数不会出现秩亏问题，对秩亏自由网平差有一定的参考价值.

总之，在国内学术界对秩亏自由网平差的研究很多，通过各种途径和方法来探讨和研究.

1.2选题目的

“测量平差”是测绘学中一个重要的基础理论和应用学科.近四十年来，随着测绘科技和相关学科的迅速发展，该学科在理论上有突出进展．其研究范围也由线性模型的经典平差向相关平差、滤波推估、秩亏平差、动态平差等方向扩展，从单纯地研究随机误差理论扩展至包括系统误差和粗差的全误差系统.而秩亏自由网平差在变形监测、GPS网平差等有着重要的应用.

1.3本课题要研究或解决的问题和拟采用的研究手段

1.3.1本文研究的问题

秩亏自由网是因为控制网中没有足够的起始数据,即缺乏基准的平差问题因此按间接平差进行平差时,其误差方程的系数阵B不能满足列满秩的要求,相应的法方程系数阵是秩亏阵.为了求定未知参数的唯一确定解,除了遵循最小二乘准则外,还需增加新的基准约束条件,等价于最小范数准则,从而得到未知参数的唯一确定解.本文主要从传统的测量平差的观点出发,来分析和论述亏秩自由网平差之解的性质,讨论了亏秩平差之解与传统自由网平差之解的关系,与广义逆矩阵的关系,不变量的条件,以及几种算法.

1.3.2研究途径

（1）文献查阅

通过阅读测量学、测量平差与误差理论、广义测量平差等专业书籍.了解与掌握误差理论与平差的基本知识和方法.在期刊网上检索相关文献，了解前人相关研究成果，对做好本次研究有重大的指导作用.

（2）请教导师

对于论文所涉及的知识，所存在的疑惑，通过咨询指导老师，老师的悉心解答对文章具有重要的指导意义.

（3）采集数据

通过网上搜集数据，为文章后面的实例提供了有力的依据，使文章结构更加清晰明了.

2秩亏自由网平差

2.1问题的提出

在经典间接平差中，必须有足够的起算数据.当控制网中仅含必要的起算数据，通常称为自由网.用经典方法平差这种网，俗称经典自由网平差.当控制网除必要的起算数据，还有多余的起算数据的网称为附合网，在间接平差时，不论是自由网还是附合网，当所选的参数不存在函数关系时，误差方程系数矩阵B总是列满秩的，即R（B）=t（t为必要观测）.由此得到的法方程系数阵的秩法方程具有唯一解.

下图水准网中,假定的高程已知为，待定点、的高程平差值为，.各段路线长度为S，高差为等权观测，误差方程

（2-1）

的显式为

法方程及其显式为

（2-2）

在误差方程系数阵B中，存在一个二阶行列式不等于零，如，故B的秩R（B）=2，即B为列满秩阵.由此法方程系数的秩R（N）=R（B）=2，所以法方程有唯一解为

（2-3）

这就是经典自由网平差情况.

水准网图

上述间接平差函数模型还可以用下面方式组成：

先设点的平差值，参与列误差方程，然后另，将作为参数的条件方程，于是其函数模型为

（2-4）

（2-5）

式中,其显式为

（即）

将（2-5）代入（2-4）式即得，可见俩种模型等价，平差结果相同.

在这种情况下，误差方程（2.1-4）的行列式等于零，即

其中有二阶行列式不等于零，故R（B）=2，数2为网中必要观测数，B为秩亏阵，其列亏数d=3-2=1，表示缺少一个起始高程，因此给定条件式（2-5），转化成附有限制条件的间接平差问题，可求其唯一解.

没有起算数据的并以待定点坐标为待定参数的控制网，也是自由网.是一种特殊用途的控制网.一般网中待定坐标个数为u，必要观测为t，全部观测为n，则B为n×u阶矩阵，其秩R（B）=t＜u，列亏数d=u-t，相应的法方程系数阵N也是秩亏阵，R（N）=t＜u，秩亏数也为d=u-t.这种网称为秩亏自由网.

产生秩亏的原因是控制网中没有起算数据，所以d就是网中必要起算数据的个数，对于水准网，必要的起算数据是一个点的高程，故d=1.

对于测角网，必要的起算数据是俩个点的坐标，故d=4.对于测边网或边角网，必要起算数据是一个点的坐标和一个方位，故d=3.

秩亏自由网的法方程系数阵N奇异，即,故N的凯利逆不存在，法方程有无穷解.如何合理的求解这类平差问题，就是本文要讨论的秩亏自由网平差问题.

2.2秩亏自由网平差原理

秩亏自由网平差的误差方程为

（2-6）

式中u为网中全部坐标参数的个数，系数矩阵的秩rk（B）=t

（2-7）

W=，rk（N）=rk（）=t

在一个不设基准的平差问题即秩亏自由网中，若设其未知参数的个数为u，必要观测为t

为了在秩亏自由网中求得未知参数的唯一解，需对网中u个参数给定d个基准约束条件.例如，二位测角网，令其俩个点的坐标为已知，并取已知坐标的近似值，或固定一个点的坐标，一条边长和方位角.就可以给出诸如（2-8）式的基准约束条件.就可以唯一解出在此基准条件下的参数估值，这就是经典自由网平差模型.

一般，为了获得位置参数的唯一解，给定加权的基准约束条件为

=0（2-8）

式中rk（S）=d，而且

rk=u（2-9）

BS=0（2-10）

左乘，既得

NS=0（2-11）

行满秩表示（2.2-3）式中d个方程互不相关，d个条件与误差方程相互独立，由（2.2-5）式知，S是矩阵N的d个零特征值所对应的d个互不相关的特征向量所构成的矩阵，可由N的特征值方程求出.称为基准权，不同取值反应了所取基准约束不同，亦即对应了所选的基准数.

按最小二乘原理，另函数

（2-12）

得法方程为

（2-13）

将上式的第一式左乘，顾及（2-10）和（2-11）式的

SK=0

因二次型S不能为零，故必有

K=0

于是（2-12）式为

=min

可见，秩亏自由网平差的最小二乘原则与位置的基准约束无关，亦即是一个不变量，平差所得得改正数V不因所选取的基准约束不同而异，这是一个重要的性质.

将（2-13）式中的第二式左成S后与第一式相加顾及K=0，可得

（2-14）

由（2.2-4）式知系数矩阵满秩，令

（2-15）

则参数估计为

（2-16）

按协因数传播律，的协因数为

（2-17）

顾及

=E（2-18）

上式也可写成

=-（2-19）

在实际计算中，也可将S标准化为G,使满足

（2-20）

用S右乘（2-18）式，考虑NS=0得

S=S（2-21）

将（2-21）式代入（2-19）式，顾及（2-20）式可得

（2-22）

单位权方差估计为

（2-23）

2.3S的具体形式

由（2-11）式确定的S，具体形式可取为：

一维的水准网，秩亏数d=1

（2-24）

三维GPS网，秩亏数d=3

（2-25）

二维测边网，秩亏数d=3

（2-26）

二维测角网秩亏数d=4

（2-27）

以上均假设控制点总网点数为m.

3平差方法分析及比较

3.1重心基准的秩亏自由网平差

采用重心基准，基准权设为单位阵，=E，一般称为普通秩亏自由网平差

平差的模型为

（3-1）

由（2-15）（2-16）（2-19）（2-22）式得模型的参数估计为

（3-2）

（3-3）

下面以水准为例，说明重心基准的由来.

对于水准网基准约束的具体形式为

平差后各点高程的平差值为

（3-4）

即平差后各高程点的平均值等于平差前各个高程近似值的平均值，水准网的重心高程不变.这也说明秩亏自由网平差基准取决于所取坐标近似值系统.

3.2拟稳平差

以拟稳基准的秩亏自由网平差称为拟稳平差.

将网中参数分为俩类，设

其基准权为

式中，>d.

基准约束式为（2-8），令

则拟稳平差的基准约束条件为

（3-5）

顾及上述关系式，由（2-16），（2-14）式得

（3-6）

（3-7）

由（2-21）式得

（3-8）

采用标准化矩阵,即=E，将上式（2-19）式的

（3-9）

拟稳平差是全部网点分为俩个部分，是拟稳点的坐标参数，基准约束条件（3-5）仅包含参数.所以拟稳基准拟稳点组的重心基准平差.

当所取的时，拟稳平差就转化为经典自由网平差.

3.3最小范数准则

通过基准变换推导出=+SD，从理论上证明了最小范数准则

与基准约束条件

等价.即上述的秩亏自由网平差模型

（3-10）

与

（3-11）

等价，俩者平差结果相同.说明基准条件与基准要求等价.

在加权范数最小的条件下，即在

的条件下，未知数的解为

它的协因数阵为

式中

为表示未知参数稳定程度的权矩阵.

对与G阵满足（2-9）（2-10）（2-11）式的条件.

3.4秩亏自由网的广义逆解法

秩亏自由网平差按附加基准约束模型（3-10）进行平差.称为附加条件法.广义逆解法则采用与（3-10）的等价模型（3-11）来计算.

由（3-11）的前俩