有理数.docx
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有理数
第一章有理数
１.１正数和负数
知识点一 正数，负数和零
１.大于 的数叫做正数，在正数的前面加上“ ”的数叫做负数，即小于 的数叫做负数。
２.０既不是 ，也不是 。
知识点二 具有相反意义的量
３.在同一问题中，人们通常用 和 表示具有相反意义的量。
课堂检测
一、判断题（正确的在括号内画“√”，错误的画“×”）
（）1．某仓库运出30吨货记作－30吨，则运进20吨货记作＋20吨．
（）2．节约4吨水与浪费4吨水是一对具有相反意义的量．
（）3．身高增长1.2cm和体重减轻1.2kg是一对具有相反意义的量．
（）4．在小学学过的数前面添上“－”号，得到的就是负数．
二、填空题
5．学校在大桥东面9千米处，那么大桥在学校______面－9千米处．
6．如果以每月生产180个零件为准，超过的零件数记作正数，不足的零件数记作负数，那么1月生产160个零件记作______个，2月生产200个零件记作______个．
7．甲冷库的温度为－6℃，乙冷库的温度比甲冷库低5℃，则乙冷库的温度是______．
8．______既不是正数，也不是负数；它______整数，______有理数（填“是”或“不是”）．
9．整数可以看作分母为1的______，有理数包括____________．
综合运用
一、填空题
11．若把公元2008年记作＋2008，那么－2008年表示______．
12．潜水艇上浮为正，下潜为负．若潜水艇原先在距水面80米深处，后来两次活动记录的情况是－10米，＋20米，则现在潜水艇在距水面______米的深处．
13．是正数而不是整数的有理数是____________________．
14．是整数而不是正数的有理数是____________________．
15．既不是正数，也不是负数的有理数是______________．
16．既不是真分数，也不是零的有理数是______________．
17．在下列数中：
11.11111，
，0，＋2004，－2π，1.12122122212222，
非负有理数有__________________________________________．
二、判断题（正确的在括号里画“√”，错误的画“×”）
（）18．带有正号的数是正数，带有负号的数是负数．
（）19．有理数是正数和小数的统称．
（）20．有最小的正整数，但没有最小的正有理数．
（）21．非负数一定是正数．
（）22．
是负分数．
三、解答题
23．－3.782（）．
（A）是负数，不是分数（B）不是分数，是有理数
（C）是负数，也是分数（D）是分数，不是有理数
24．下面说法中正确的是（）．
（A）正整数和负整数统称整数（B）分数不包括整数
（C）正分数，负分数，负整数统称有理数（D）正整数和正分数统称正有理数
25．一种零件的长度在图纸上是（10±0.05）毫米，表示这种零件的标准尺寸是10毫米，加工要求最大不超过______毫米，最小不小于______毫米．
拓展、探究、思考
26．一批螺帽产品的内径要求可以有±0.02mm的误差，现抽查5个样品，超过规定的毫米值记为正数，不足值记为负数，检查结果如表．则合乎要求的产品数量为（）．
1
2
3
4
5
＋0.031
＋0.017
＋0.023
－0.021
－0.015
（A）1个（B）2个（C）3个（D）5个
１.２有理数
１.２.１有理数
知识点一 有理数的概念
1.______和______统称为有理数。
知识点二 有理数的分类
２.
（1）按定义分类：
（2）按性质符号分类：
课堂检测
一、选择题
１.下列说法错误的是（ ）
（A）—２是负有理数（B）０不是整数
（C）
是正有理数（D）—０.２５是负分数
２.既是分数又是负数的是（ ）
（A）—３．１（B）—１３
（C）０（D）２.４
３.在—８,２００６，
，０，－５，＋１３，
，－７．２中正整数和负分数共有（ ）个
（A）３个（B）４个
（C）５个（D）６个
４.下面说法正确的是（ ）
（A）没有最小的正整数（B）正有理数和负有理数组成全部的有理数
（C）０．５既不是整数也不是分数（D）０既不是整数，也不是负数
５.下面说法正确的是（ ）
（A）一个有理数不是正数就是负数（B）一个有理数不是整数就是分数
（C）一个有理数可分为非正有理数和非负有理数（D）整数和小数统称为有理数
６.关于０的书法正确的有（ ）
（１）是整数也是有理数；（２）不是正数，也不是负数；（３）不是整数，是有理数；（４）是整数，不是自然数
（A）（１）（４）（B）（２）（３）
（C）（１）（２） （D）（１）（３）
７.对－3.728，下面说法正确的是（）．
（A）是负数，不是分数（B）不是分数，是有理数
（C）是负数，也是分数（D）是分数，不是有理数
二、解答题：
８．把以下各数
填入相应的集合中：
整数集合：
{…}；
分数集合：
{…}；
正数集合：
{…}；
负数集合：
{…}．
９．数学竞赛成绩90分以上为优秀，老师将某一小组五名同学的成绩简记为：
＋8，－3，0，＋4，－1，则这五名同学的实际成绩是多少？
１.２.２数轴
知识点一 数轴的定义及画法
1.数轴的定义
（１）定义：
规定了原点、正方向和 的直线叫做数轴
2数轴的三层涵义：
1数轴是一条直线，可以向两方无限延伸
2数轴的三要素：
原点，正方向，单位长度，三者缺一不可
3原点的确定，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，但一条数轴上的单位长度要统一，一般规定向右为正方向。
（3）数轴的画法
1画一条水平的直线；②在这条直线上的适当位置取一点作为原点；③确定正方向，用箭头表示；④选取适当长度作为单位长度，并对应标上数字。
知识点二 数轴上的点与有理数的关系
２.（１）任何一个有理数都可以用数轴上点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数
（２）在数轴上比较有理数的大小
①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
②由正、负数在数轴上的位置可知：
正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
③一般地，设ａ是一个正数，则数轴上表示ａ的点在原点的 边，与原点的距离是 个长度单位；表示－ａ的点在原点的 边，与原点的距离是 个长度单位。
课堂检测
一、填空题
１．规定了______、______和______的______叫数轴．
２．数轴上，表示－3的点到原点的距离是______个单位长度，与原点距离为3个单位长的点表示的数是______。
３．数轴上A，B两点分别在原点的两旁，并且与原点的距离相等，已知点A表示的数是－10，则点B表示的数为______．
二、选择题
４．如图，有理数a，b在数轴上对应的点如下，则有（）．
（A）a＞0＞b（B）a＞b＞0（C）a＜0＜b（D）a＜b＜0
三、解答题
５．比较大小：
______
______
______
．
综合运用
一、填空题
６．大于
且小于
的整数有______个；比
小的非负整数是____________．
７．若p，q两数在数轴上的位置如下图所示，请用“＜”或“＞”填空．
①p______q；②－p______0；③－q______0；
④－p______－q；⑤－p______q；⑥p______－q．
8．已知－1＜a＜0＜1＜b，请按从小到大的顺序排列－1，－a，0，1，－b为__________．
二、选择题
９．下列说法中，正确的是（）．
（A）无最大正数，有最大负数（B）无最小负数，有最小正数
（C）无最小有理数，也无最大有理数（D）有最小自然数，也有最小整数
１０．从原点开始向左移动3个单位，再向右移动1个单位后到达A点，则A点表示的数是（）．
（A）3（B）4（C）2（D）－2
三、解答题
１１．在数轴上点A表示数3，那么在同一数轴上与点A相距3个单位长度的点表示的数是多少？
１２．已知：
a＝－2，试比较：
的大小．
１３．在数轴上到－1的距离小于3个单位长度的整数是什么？
１.２.３相反数
知识点一 相反数的意义
１.两点关于原点对称
一般地，设ａ是一个正数，数轴上与原点的距离是ａ的点有 个，它们分别在 的左右，表示为－ａ和ａ，我们就称这两个点关于原点对称。
2.具有相反的意义
（１）相反数的定义：
只有 不同的两个数叫做互为相反数，特别的，０的相反数是 。
（２）几何意义：
在数轴上，位于 两旁，并且到原点距离 两个点所表示的两个数互为相反数。
知识点二 相反数的表示与求法
3.相反数的表示法
一般地，一个数ａ的相反数表示为 。
4.相反数的求法
求一个数的相反数，只要在它的前面添上 即可。
课堂检测
一、填空题
1．像2和－2、5和－5一样，只有＿＿＿＿的两个数，称为相反数.零的相反数是＿＿＿＿．
2．－2.9的相反数是＿＿＿＿；
的相反数是＿＿＿＿；＿＿＿＿的相反数是6．
3．＿＿＿＿的相反数大于零；＿＿＿＿的相反数不大于零；－a的相反数是＿＿＿＿．
二、选择题
4．＋（－5）的相反数是（）．
（A）－（＋5）（B）－5（C）－（－5）（D）＋（－
）
5．数
与
是（）．
（A）相等的数（B）互为相反数
（C）互为倒数（D）上述答案都不对
三、解答题：
6．比较下列各对数的大小：
（1）
＿＿＿
；
（2）
＿＿＿
；
（3）－（－0.33）＿＿＿－（－0.3）；（4）－[－（－57）]＿＿＿0；
（5）－（－13）＿＿＿－[－（－13）]；（6）
＿＿＿－（－20）．
7．化简下列各式：
（1）－（＋5）；
（2）
；
（3）－[－（－5）]；（4）－[－（＋5）]；
（5）－（－m）；（6）－[－（＋m）]；
（7）－（－2）＋{－[－（－2）]}＋（－2）．
８．已知a、b互为相反数，试求
的值．
1.2.4绝对值
1.3有理数的加减法
1.3.1有理数的加法
知识点一有理数的加法法则
1．有理数的加法法则
（1）同号两数相加，取的符号，并把相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值的加数符号，并用的绝对值减去
的绝对值；互为相反数的两数相加得。
（3）一个数同0相加，仍得。
知识点二有理数加法的运算定律
2.有理数加法的运算定律
（1）加法交换律：
两个数相加，交换加数的位置，不变，即
。
（2）加法的结合律：
三个数相加，先把前两个数，或者先把后两个数相加，不变，即
（）。
课堂检测
一、填空题
1．足球比赛中，甲队攻入乙队两球，同时被乙队攻入五球，则计算甲队净胜球数的算式为__________________．
2．－2的相反数与
的倒数的和的绝对值等于______．
3．在括号内填入变形的根据：
（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）（）
＝（b＋c）＋a（）．
二、选择题
4．下列运算中正确的是（）．
（A）（＋8）＋（－10）＝－（10－8）＝－2（B）（－3）＋（－2）＝－（3－2）＝－1
（C）（－5）＋（＋6）＝＋（6＋5）＝＋11（D）（－6）＋（－2）＝＋（6＋2）＝＋8
5．三个数－15，－5，＋10的和，比它们绝对值的和小（）．
（A）－20（B）20（C）－40（D）40
6．如果两个数的和是正数，那么这两个数一定（）．
（A）都是正数（B）只有一个正数
（C）至少有一个正数（D）不确定
三、计算题
7．（＋8）＋（－17）＝8．（－17）＋（－15）＝
9．（－32.8）＋（＋51.76）＝10．（－3.07）＋（＋3.07）＝
11．
四、解答题
12．某潜水员先潜入水下61米，然后又上升32米，通过计算说明这时潜水员处的位置。
综合运用
一、填空题
13．从－50起，逐次加1，得到一串整数：
－49，－48，－47…则第6个数为______，第n个数为______。
二、选择题
14．两数相加，和比每个加数都小，那么这两个数是（）．
（A）同为负数（B）两数异号（C）同为正数（D）负数和零
15．若m为有理数，则m＋｜m｜的结果必为（）．
（A）正数（B）负数（C）非正数（D）非负数
三、计算题
16．（＋7）＋（－21）＋（－7）＋（＋21）
17．0＋（－3.71）＋（＋1.71）－（－5）
18．
19．
四、解答题
20.小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：
＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．（单位：
cm）
（1）小虫最后是否回到出发点O?
为什么?
（2）小虫离开O点最远时是多少?
（3）在爬行过程中，如果每爬行1cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻?
1.3.2有理数的减法
知识点一有理数的减法法则
1.有理数的减法的意义
有理数的减法，就是已知两个有理数的和及其中一个加数，求另一个的运算，因此有理数的加法与互为逆运算。
2.有理数的减法法则
减去一个数，等于加上这个数的，即
。
将有理数减法转化为加法时，要同时改变两个符号：
一是运算符号减号变加号，二是性质符号即减数变为它的。
课堂检测
一、填空题
1．若x＋m＝n，则x＝______；若x－m＝n，则x＝______．
2．计算：
（1）（＋15）－（－11）＝______；
（2）（＋15）－（＋11）＝______；
（3）0－（＋3.75）＝______；（4）｜－4｜－｜－9｜＝______；
（5）－9－______＝0（6）a－b＝a＋______．
3．两数之和是11，其中一个加数是14，则另一个加数是______．
4．一个正数与它的绝对值的差是______．
二、选择题
5．室内温度是20℃，室外温度是－1℃，室内温度比室外温度高（）．
（A）19℃（B）－19℃（C）21℃（D）－21℃
6．设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a－b－c的值是（）．
（A）0（B）－1（C）2（D）1
三、判断正误
（）7．两数之差一定小于被减数．
（）8．若两数的差为正数，则两数都为正数．
（）9．零减去一个数仍得这个数．
（）10．一个数减去一个负数，差一定大于被减数．
四、计算题
11．
12．（＋12）－（＋18）－（＋23）＋（＋51）
13．
14．（＋132）－（＋124）－（＋16）＋0＋（－132）＋（＋16）
15．0－（＋8）＋（－2.7）－（＋5）16．
17．
18．
综合、运用、诊断
一、解答题
19．北京等5个城市的当地时间（单位：
时）可在数轴上表示如下：
如果将两地时间的差简称为时差，那么（）．
（A）汉城与纽约的时差为13小时
（B）汉城与多伦多的时差为13小时
（C）北京与纽约的时差为14小时
（D）北京与多伦多的时差为14小时
20．表中列举了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京早的时数）．如＋1表示当北京是上午8：
00时，东京是上午9：
00．现在是北京时间晚上5点．
城市
时差
巴黎
－7
东京
＋1
芝加哥
－14
（1）现在巴黎时间是几点?
（2）小明想给在芝加哥的父亲打电话，现在合适吗?
简述你的理由．
21．根据两个数之差的正负，可判断这两个数的大小
如果
，那么
b
如果
，那么
b
如果
，那么
b
1.3.3有理数的加减混合运算
知识点一有理数的加减混合运算
有理数的减法可以转化为加法，所以加减混合运算可以统一为运算，用式子可表示为
。
有理数的加减混合运算
（一）
学习要求
进一步巩固有理数加法、减法法则和运算，能熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义；运用加法运算律合理简算．
课堂检测
一、填空题
1．有理数加减混合运算时，通常先把减法转化为______，然后将正数、负数分别______．
2．4－5－1＝－5－1＋4的根据是______．
3．计算：
（1）（－0.7）－（－0.8）＋（－0.9）＝______．
（2）
______．
（3）－12＋11－______＋55＝0（4）______与3＋（－4）的和为零
二、选择题
4．下列计算错误的是（）．
（A）－2－（－2）＝0（B）－3－4－5＝－12
（C）－7－（－3）＝－10（D）12－15＝－3
5．如果三个数的和为零，那么这三个数一定是（）．
（A）两个正数，一个负数（B）两个负数，一个正数
（C）三个都是零（D）其中两个数之和等于第三个数的相反数
6．若｜a－1｜＋｜b＋3｜＝0，则
的值是（），
（A）
（B）
（C）
（D）
三、计算题
7．－6－6＋98．－5.4＋0.2－0.6＋0.8
9．
10．
11．
12．
综合运用
一、选择题
13．a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示，且｜a｜＝｜b｜，｜d｜＞｜c｜＞｜a｜，则下列各式中，正确的是（）．
（A）d＋c＞0（B）d＞c＞b＞a
（C）a＋b＝0（D）b＋c＞0
14．若a＜b，则｜b－a＋1｜－｜a－b｜等于（）．
（A）4（B）1（C）－2a＋b＋6（D）不能确定
15．若｜a｜＝4，｜b｜＝3，且a，b异号，则｜a－b｜等于（）．
（A）7（B）±1（C）1（D）1或7
二、填空题
16．有理数a，b，c在数轴上对应点位置
如图所示，用“＞”或“＜”填空：
（1）｜a｜______｜b｜；
（2）a＋b＋c______0：
（3）a－b＋c______0；（4）a＋c______b；（5）c－b______a．
三、计算题
17．
18．
19．当a＝2.7，b＝－3.2，c＝－1.8时，求－a－b－c的值．
拓展、探究、思考
20．代数和的规律：
（1）计算1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋…＋2001＋2002－2003－2004：
（2）如果在1，2，3…2004这2004个数的前面任意添加正号或负号，再求和，其结果是奇数还是偶数．不好想的话，先从少一点的数列试一试，寻找规律．
测试7有理数的加减混合运算
（二）
学习要求
能熟练地进行有理数加减混合运算，并且会解决简单的实际问题．
课堂检测
一、选择题
1．两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（）．
（A）都是负数（B）至少有一个是负数
（C）有一个是0（D）绝对值不相等
2．已知｜x｜＝3，｜y｜＝2，且x－y＝－5，则x＋y等于（．
（A）5（B）－5（C）1（D）－1
3．如果a＞0，b＜0，a＋b＜0，那么下列各式中大小关系正确的是（）．
（A）－b＜－a＜b＜a（B）－a＜b＜a＜－b
（C）b＜－a＜－b＜a（D）b＜－a＜a＜－b
二、计算题
4．
5．
6．
7．
综合运用
8．观察下列两组等式：
根据你的观察，先写出猜想：
（1）
（）－（）
（2）
（）×（）
然后，用简单方法计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
（4）
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