春北师大版九年级下册数学习题第二章 二次函数.docx
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春北师大版九年级下册数学习题第二章二次函数
单元测试
(二)
一、选择题
1.二次函数y=x2﹣4x+5的最小值是( )
A.﹣1B.1C.3D.5
2.二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
y
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
12
给出了结论:
(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值,最小值为﹣3;
(2)当
时,y<0;
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,且它们分别在y轴两侧.则其中正确结论的个数是( )
A.3B.2C.1D.0
3.将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=(x﹣h)2+k的形式,结果为( )
A.y=(x+1)2+4B.y=(x+1)2+2C.y=(x﹣1)2+4D.y=(x﹣1)2+2
4.已知0≤x≤
,那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是( )
A.﹣10.5B.2C.﹣2.5D.﹣6
5.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,﹣2).它与反比例函数y=﹣
的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的解析式为( )
A.y=x2﹣x﹣2B.y=x2﹣x+2C.y=x2+x﹣2D.y=x2+x+2
6.在二次函数y=x2﹣2x﹣3中,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是( )
A.0,﹣4B.0,﹣3C.﹣3,﹣4D.0,0
7.已知m,n,k为非负实数,且m﹣k+1=2k+n=1,则代数式2k2﹣8k+6的最小值为( )
A.﹣2B.0C.2D.2.5
8.当﹣2≤x≤1时,二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为( )
9.定义符号min{a,b}的含义为:
当a≥b时min{a,b}=b;当a<b时min{a,b}=a.如:
min{1,﹣3}=﹣3,min{﹣4,﹣2}=﹣4.则min{﹣x2+1,﹣x}的最大值是( )
10.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,﹣2),与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,且﹣1<x1<0,1<x2<2,下列结论正确的是( )
A.a<0B.a﹣b+c<0C.﹣
D.4ac﹣b2<﹣8a
11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2(x﹣h)2+k,则下列结论正确的是( )
A.h>0,k>0B.h<0,k>0C.h<0,k<0D.h>0,k<0
12.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(﹣1,0).下列结论:
①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤当x>﹣1时,y>0,其中正确结论的个数是( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
二、填空题
13.用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形,则围成矩形面积的最大值是
cm2.
14.把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a(x﹣h)2+k的形式 .
15.抛物线y=x2+1的最小值是 .
16.函数y=(x﹣1)2+3的最小值为 .
17.已知二次函数y=x2+bx+c经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的解析式是 .
三、解答题
18.已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P(﹣3,1),对称轴是经过(﹣1,0)且平行于y轴的直线.
(1)求m、n的值;
(2)如图,一次函数y=kx+b的图象经过点P,与x轴相交于点A,与二次函数的图象相交于另一点B,点B在点P的右侧,PA:
PB=1:
5,求一次函数的表达式.
19.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴,抛物线y=﹣
x2+bx+c经过B、C两点,点D为抛物线的顶点,连接AC、BD、CD.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.
20.已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3,0),B(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标.
21.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)和B(3,0)两点,交y轴于点E.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点,与y轴交于点F,连接DE,求△DEF的面积.
22.如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(﹣4,﹣3),与y轴交于点B,对称轴是x=﹣3,请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式.
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两点,点C在对称轴左侧,且CD=8,求△BCD的面积.
注:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=﹣
.
23.如图,已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,﹣3)
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标.
参考答案与试题解析
1.二次函数y=x2﹣4x+5的最小值是( )
A.﹣1B.1C.3D.5
【考点】H7:
二次函数的最值.
【专题】选择题
【分析】先利用配方法将二次函数的一般式y=x2﹣4x+5变形为顶点式,再根据二次函数的性质即可求出其最小值.
【解答】解:
配方得:
y=x2﹣4x+5=x2﹣4x+22+1=(x﹣2)2+1,
当x=2时,二次函数y=x2﹣4x+5取得最小值为1.
故选B.
【点评】本题考查了二次函数最值的求法,求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
y
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
12
给出了结论:
(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值,最小值为﹣3;
(2)当
时,y<0;
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,且它们分别在y轴两侧.则其中正确结论的个数是( )
A.3B.2C.1D.0
【考点】H7:
二次函数的最值;HA:
抛物线与x轴的交点.
【专题】选择题
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1,然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解.
【解答】解;由表格数据可知,二次函数的对称轴为直线x=1,
所以,当x=1时,二次函数y=ax2+bx+c有最小值,最小值为﹣4;故
(1)小题错误;
根据表格数据,当﹣1<x<3时,y<0,
所以,﹣
<x<2时,y<0正确,故
(2)小题正确;
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,分别为(﹣1,0)(3,0),它们分别在y轴两侧,故(3)小题正确;
综上所述,结论正确的是
(2)(3)共2个.
故选B.
【点评】本题考查了二次函数的最值,抛物线与x轴的交点,仔细分析表格数据,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
3.将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=(x﹣h)2+k的形式,结果为( )
A.y=(x+1)2+4B.y=(x+1)2+2C.y=(x﹣1)2+4D.y=(x﹣1)2+2
【考点】H9:
二次函数的三种形式.
【专题】选择题
【分析】根据配方法进行整理即可得解.
【解答】解:
y=x2﹣2x+3,
=(x2﹣2x+1)+2,
=(x﹣1)2+2.
故选D.
【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化,熟记配方法的操作是解题的关键.
4.已知0≤x≤
,那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是( )
A.﹣10.5B.2C.﹣2.5D.﹣6
【考点】H7:
二次函数的最值.
【专题】选择题
【分析】把二次函数的解析式整理成顶点式形式,然后确定出最大值.
【解答】解:
∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2(x﹣2)2+2.
∴该抛物线的对称轴是x=2,且在x<2上y随x的增大而增大.
又∵0≤x≤
,
∴当x=
时,y取最大值,y最大=﹣2(
﹣2)2+2=﹣2.5.
故选C.
【点评】本题考查了二次函数的最值.确定一个二次函数的最值,首先看自变量的取值范围,当自变量取全体实数时,其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标;当自变量取某个范围时,要分别求出顶点和函数端点处的函数值,比较这些函数值,从而获得最值.
5.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,﹣2).它与反比例函数y=﹣
的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的解析式为( )
A.y=x2﹣x﹣2B.y=x2﹣x+2C.y=x2+x﹣2D.y=x2+x+2
【考点】H8:
待定系数法求二次函数解析式;G6:
反比例函数图象上点的坐标特征.
【专题】选择题
【分析】将A坐标代入反比例解析式求出m的值,确定出A的坐标,将A与B坐标代入二次函数解析式求出b与c的值,即可确定出二次函数解析式.
【解答】解:
将A(m,4)代入反比例解析式得:
4=﹣
,即m=﹣2,
∴A(﹣2,4),
将A(﹣2,4),B(0,﹣2)代入二次函数解析式
得:
,
解得:
b=﹣1,c=﹣2,
则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2.
故选A.
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式,以及反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
6.在二次函数y=x2﹣2x﹣3中,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是( )
A.0,﹣4B.0,﹣3C.﹣3,﹣4D.0,0
【考点】H7:
二次函数的最值.
【专题】选择题
【分析】首先求得抛物线的对称轴,抛物线开口向上,在顶点处取得最小值,在距对称轴最远处取得最大值.
【解答】解:
抛物线的对称轴是x=1,
则当x=1时,y=1﹣2﹣3=﹣4,是最小值;
当x=3时,y=9﹣6﹣3=0是最大值.
故选A.
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质,正确理解取得最大值和最小值的条件是关键.
7.已知m,n,k为非负实数,且m﹣k+1=2k+n=1,则代数式2k2﹣8k+6的最小值为( )
A.﹣2B.0C.2D.2.5
【考点】H7:
二次函数的最值.
【专题】选择题
【分析】首先求出k的取值范围,进而利用二次函数增减性得出k=
时,代数式2k2﹣8k+6的最小值求出即可.
【解答】解:
∵m,n,k为非负实数,且m﹣k+1=2k+n=1,
∴m,n,k最小为0,当n=0时,k最大为:
,
∴0≤k
,
∵2k2﹣8k+6=2(k﹣2)2﹣2,
∴a=2>0,∴k≤2时,代数式2k2﹣8k+6的值随k的增大而减小,
∴k=
时,代数式2k2﹣8k+6的最小值为:
2×(
)2﹣8×
+6=2.5.
故选D.
【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法以及二次函数增减性等知识,根据二次函数增减性得出k=
时,代数式2k2﹣8k+6的最小值是解题关键.
8.当﹣2≤x≤1时,二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为( )
A.﹣
B.
或
C.2或
D.2或
或
【考点】H7:
二次函数的最值.
【专题】选择题
【分析】根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可.
【解答】解:
二次函数的对称轴为直线x=m,
①m<﹣2时,x=﹣2时二次函数有最大值,
此时﹣(﹣2﹣m)2+m2+1=4,
解得m=﹣
,与m<﹣2矛盾,故m值不存在;
②当﹣2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,
此时,m2+1=4,
解得m=﹣
,m=
(舍去);
③当m>1时,x=1时二次函数有最大值,
此时,﹣(1﹣m)2+m2+1=4,
解得m=2,
综上所述,m的值为2或﹣
.
故选C.
【点评】本题考查了二次函数的最值问题,难点在于分情况讨论.
9.定义符号min{a,b}的含义为:
当a≥b时min{a,b}=b;当a<b时min{a,b}=a.如:
min{1,﹣3}=﹣3,min{﹣4,﹣2}=﹣4.则min{﹣x2+1,﹣x}的最大值是( )
A.
B.
C.1D.0
【考点】H7:
二次函数的最值;F6:
正比例函数的性质.
【专题】选择题
【分析】理解min{a,b}的含义就是取二者中的较小值,画出函数图象草图,利用函数图象的性质可得结论.
【解答】解:
在同一坐标系xOy中,画出函数二次函数y=﹣x2+1与正比例函数y=﹣x的图象,如图所示.设它们交于点A、B.
令﹣x2+1=﹣x,即x2﹣x﹣1=0,解得:
x=
或
,
∴A(
,
),B(
,
).
观察图象可知:
①当x≤
时,min{﹣x2+1,﹣x}=﹣x2+1,函数值随x的增大而增大,其最大值为
;
②当
<x<
时,min{﹣x2+1,﹣x}=﹣x,函数值随x的增大而减小,其最大值为
;
③当x≥
时,min{﹣x2+1,﹣x}=﹣x2+1,函数值随x的增大而减小,最大值为
.
综上所示,min{﹣x2+1,﹣x}的最大值是
.
故选A.
【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质,充分理解定义min{a,b}和掌握函数的性质是解题的关键.
10.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,﹣2),与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,且﹣1<x1<0,1<x2<2,下列结论正确的是( )
A.a<0B.a﹣b+c<0C.﹣
D.4ac﹣b2<﹣8a
【考点】H4:
二次函数图象与系数的关系;HA:
抛物线与x轴的交点.【专题】选择题
【分析】由开口方向,可确定a>0;由当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,可确定B错误;由对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧,可确定x=﹣
<1;由二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,﹣2),对称轴在y轴右侧,a>0,可得最小值:
<﹣2,即可确定D正确.
【解答】解:
A、∵开口向上,∴a>0,故本选项错误;
B、∵当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,故本选项错误;
C、∵对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧,∴x=﹣
<1,故本选项错误;
D、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,﹣2),对称轴在y轴右侧,a>0,
∴最小值:
<﹣2,
∴4ac﹣b2<﹣8a.
故本选项正确.
故选D.
【点评】此题考查了图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2(x﹣h)2+k,则下列结论正确的是( )
A.h>0,k>0B.h<0,k>0C.h<0,k<0D.h>0,k<0
【考点】H4:
二次函数图象与系数的关系.
【专题】选择题
【分析】根据抛物线所的顶点坐标在x轴的上方即可得出结论.
【解答】解:
∵抛物线y=﹣2(x﹣h)2+k的顶点坐标为(h,k),由图可知,抛物线的顶点坐标在第一象限,
∴h>0,k>0.
故选A.
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系,熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键.
12.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(﹣1,0).下列结论:
①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤当x>﹣1时,y>0,其中正确结论的个数是( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
【考点】H4:
二次函数图象与系数的关系.
【专题】选择题
【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧,可以判定a、b异号,由此确定①正确;
由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac>0,又抛物线过点(0,1),得出c=1,由此判定②正确;
由抛物线过点(﹣1,0),得出a﹣b+c=0,即a=b﹣1,由a<0得出b<1;由a<0,及ab<0,得出b>0,由此判定④正确;
由a﹣b+c=0,及b>0得出a+b+c=2b>0;由b<1,c=1,a<0,得出a+b+c<a+1+1<2,由此判定③正确;
由图象可知,当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时,函数值y>0,由此判定⑤错误.
【解答】解:
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)过点(0,1)和(﹣1,0),
∴c=1,a﹣b+c=0.
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴x=﹣
>0,
∴a与b异号,∴ab<0,正确;
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴b2﹣4ac>0,
∵c=1,∴b2﹣4a>0,b2>4a,正确;
④∵抛物线开口向下,∴a<0,
∵ab<0,∴b>0.
∵a﹣b+c=0,c=1,∴a=b﹣1,
∵a<0,∴b﹣1<0,b<1,
∴0<b<1,正确;
③∵a﹣b+c=0,∴a+c=b,
∴a+b+c=2b>0.
∵b<1,c=1,a<0,
∴a+b+c=a+b+1<a+1+1=a+2<0+2=2,
∴0<a+b+c<2,正确;
⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为(﹣1,0),设另一个交点为(x0,0),则x0>0,
由图可知,当x0>x>﹣1时,y>0,错误;
综上所述,正确的结论有①②③④.
故选B.
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系,不等式的性质,难度适中.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),a的符号由抛物线开口方向决定;b的符号由对称轴的位置及a的符号决定;c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定;抛物线与x轴的交点个数,决定了b2﹣4ac的符号,此外还要注意二次函数与方程之间的转换.
13.用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形,则围成矩形面积的最大值是 64 cm2.
【考点】H7:
二次函数的最值.
【专题】填空题
【分析】设矩形的一边长是xcm,则邻边的长是(16﹣x)cm,则矩形的面积S即可表示成x的函数,根据函数的性质即可求解.
【解答】解:
设矩形的一边长是xcm,则邻边的长是(16﹣x)cm.
则矩形的面积S=x(16﹣x),即S=﹣x2+16x,
当x=﹣
=﹣
=8时,S有最大值是:
64.
故答案是:
64.
【点评】本题考查了二次函数的性质,求最值得问题常用的思路是转化为函数问题,利用函数的性质求解.
14.把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a(x﹣h)2+k的形式 y=(x﹣6)2﹣36 .
【考点】H9:
二次函数的三种形式.
【专题】填空题
【分析】由于二次项系数为1,所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式.
【解答】解:
y=x2﹣12x=(x2﹣12x+36)﹣36=(x﹣6)2﹣36,即y=(x﹣6)2﹣36.
故答案为y=(x﹣6)2﹣36.
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式:
(1)一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数);
(2)顶点式:
y=a(x﹣h)2+k;
(3)交点式(与x轴):
y=a(x﹣x1)(x﹣x2).
15.抛物线y=x2+1的最小值是 1 .
【考点】H7:
二次函数的最值.【专题】填空题
【分析】根据二次函数的最值问题解答即可.
【解答】解:
抛物线y=x2+1的最小值是1.
故答案为:
1.
【点评】本题考查了二次函数的最值问题,是基础题,熟练掌握利用顶点式解析式求最大(或最小)值是解题的关键.
16.函数y=(x﹣1)2+3的最小值为 3 .
【考点】H7:
二次函数的最值.
【专题】填空题
【分析】根据顶点式得到它的顶点坐标是(1,3),再根据其a>0,即抛物线的开口向上,则它的最小值是3.
【解答】解:
根据非负数的性质,(x﹣1)2≥0,
于是当x=1时,
函数y=(x﹣1)2+3的最小值y等于3.
故答案为:
3.
【点评】本题考查了二次函数的最值的求法.求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.
17.已知二次函数y=x2+bx+c经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的解析式是 y=x2﹣7x+12 .
【考点】H8:
待定系数法求二次函数解析式.
【专题】填空题
【分析】由于已知了二次函数与x轴的两交点坐标,则可设交点式易得其解析式.
【解答】解:
设二次函数的解析式为y=a(x﹣3)(x﹣4),
而a=1,
所以二次函数的解析式为y=(x﹣3)(x﹣4)=x2﹣7x+12.
故答案为y=x2﹣7x+12.
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式:
在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.
18.已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P(﹣3,1),对称轴是经过(﹣1,0)且平行于y轴的直线.
(1)求m、n的值;
(2)如图,一次函数y=kx+b的图象经过点P,与x轴相交于点A,与二次函数的图象相交于另一点B,点B在点P的右侧,PA:
PB=1:
5,求一次函数的表达式.
【考点】H8:
待定系数法求二次函数解析式;FA:
待定系数法求一次函数解析式.【专题】解答题
【分析】
(1)利用对称轴公式求得m,把P(﹣3,1)代入二次函数y=x2+mx+n得出n=3m﹣8,进而就可求得n;
(2)根据
(1)得出二次函数的解析式,根据已知条件,利用平行线分线段成比例定理求得B的纵坐标,代入二次函数的解析式中求得B的坐标,然后利用待定系数法就可求得一次函数的表达式.
【解答】解:
(1)∵对称轴是经过(﹣1,0)且平行于y轴的直线,
∴﹣
=﹣1,
∴m=2,
∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P(﹣3,1),
∴9﹣3m+n=1,得出n=3m﹣8.
∴n=3m﹣8=﹣2;
(2)∵m=2,n=﹣2,
∴二次函数为y=x2+2x﹣2,
作PC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D,则PC∥BD,
∴
=
,
∵P(﹣3,1),
∴PC=1,
∵PA:
PB=1:
5,
∴
=
,
∴BD=6,
∴B的纵坐标为6,
代入二次函数为y=x2+2x﹣2得,6=x2+2x﹣2,
解得x1=2,x2=﹣4(舍去),
∴B(2,6),
∴
,解得
,
∴一次函数的表达式为y=x+4.
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式,根据已知条件求得B的坐标是解题的关键.
19.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴,抛物线y=﹣
x2+bx+c经过B、C两点,点D为抛物线的顶点,连接AC、BD、CD.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.
【考点】H8:
待定系数法求二次函数解析式;H5:
二次函数图象上点的坐标特征.
【专题】解答题
【分析】
(1)根据题意确定出B与C的坐标,代入