《分数的初步认识》中的多元表征问题探讨.ppt

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分数的初步认识分数的初步认识课例分析课例分析兼谈兼谈多元表征问题多元表征问题曹新曹新案例分析：

吴正宪老师的一个课例案例分析：

吴正宪老师的一个课例吴正宪吴正宪吴正宪吴正宪.分数的初步认识分数的初步认识分数的初步认识分数的初步认识课堂实录课堂实录课堂实录课堂实录.教育的理论与实践教育的理论与实践教育的理论与实践教育的理论与实践,2007,9,B,2007,9,B前言前言分数是小学数学的核心概念，是代数学习分数是小学数学的核心概念，是代数学习的基础。

的基础。

为了帮助学生更好地理解分数，课程标准为了帮助学生更好地理解分数，课程标准及教科书将分数的学习分别安排在：

第一及教科书将分数的学习分别安排在：

第一学段学段三年级（分数的初步认识），第三年级（分数的初步认识），第二学段二学段五年级（分数的意义和性质）。

五年级（分数的意义和性质）。

由于分数难学，多次引起各方面的讨论甚至争论。

由于分数难学，多次引起各方面的讨论甚至争论。

由于分数难学，多次引起各方面的讨论甚至争论。

由于分数难学，多次引起各方面的讨论甚至争论。

争论的焦点主要集中在五年级分数的意义，并将争论的焦点主要集中在五年级分数的意义，并将争论的焦点主要集中在五年级分数的意义，并将争论的焦点主要集中在五年级分数的意义，并将其作为一个重要的研究论题。

其作为一个重要的研究论题。

其作为一个重要的研究论题。

其作为一个重要的研究论题。

相对而言，由于分数的初步认识，多半从相对而言，由于分数的初步认识，多半从相对而言，由于分数的初步认识，多半从相对而言，由于分数的初步认识，多半从“切大切大切大切大饼饼饼饼”或或或或“分蛋糕分蛋糕分蛋糕分蛋糕”开始的，即借助于直观模型开始的，即借助于直观模型开始的，即借助于直观模型开始的，即借助于直观模型（面积模型、数线模型）初步理解分数刻画的（面积模型、数线模型）初步理解分数刻画的（面积模型、数线模型）初步理解分数刻画的（面积模型、数线模型）初步理解分数刻画的“部分部分部分部分整体整体整体整体”之间的比率关系（作为之间的比率关系（作为之间的比率关系（作为之间的比率关系（作为“率率率率”的分的分的分的分数），教学内容与教学方法没有太大的异议。

数），教学内容与教学方法没有太大的异议。

数），教学内容与教学方法没有太大的异议。

数），教学内容与教学方法没有太大的异议。

对对对对分数的初步认识分数的初步认识分数的初步认识分数的初步认识学习的调查却显示：

通过学习的调查却显示：

通过学习的调查却显示：

通过学习的调查却显示：

通过近距离的课堂观察，发现近距离的课堂观察，发现近距离的课堂观察，发现近距离的课堂观察，发现在理所当然且习以在理所当然且习以在理所当然且习以在理所当然且习以为常的操作活动中，学生并非按我们的预想在进为常的操作活动中，学生并非按我们的预想在进为常的操作活动中，学生并非按我们的预想在进为常的操作活动中，学生并非按我们的预想在进行数学思考。

行数学思考。

行数学思考。

行数学思考。

反思：

在问题情境中，学生真正体会到学习分数反思：

在问题情境中，学生真正体会到学习分数反思：

在问题情境中，学生真正体会到学习分数反思：

在问题情境中，学生真正体会到学习分数的必要性了吗？

在顺利的操作活动中，学生在进的必要性了吗？

在顺利的操作活动中，学生在进的必要性了吗？

在顺利的操作活动中，学生在进的必要性了吗？

在顺利的操作活动中，学生在进行数学本质的思考吗？

如果学生在情境、活动中行数学本质的思考吗？

如果学生在情境、活动中行数学本质的思考吗？

如果学生在情境、活动中行数学本质的思考吗？

如果学生在情境、活动中没有经历真实的数学思维过程，那么理解又何以没有经历真实的数学思维过程，那么理解又何以没有经历真实的数学思维过程，那么理解又何以没有经历真实的数学思维过程，那么理解又何以产生？

产生？

产生？

产生？

数学学习心理的研究表明，理解概念的关键在于数学学习心理的研究表明，理解概念的关键在于数学学习心理的研究表明，理解概念的关键在于数学学习心理的研究表明，理解概念的关键在于将数学概念的抽象定义的含意转换成易于学生理将数学概念的抽象定义的含意转换成易于学生理将数学概念的抽象定义的含意转换成易于学生理将数学概念的抽象定义的含意转换成易于学生理解和运用的适当的心理表象。

解和运用的适当的心理表象。

解和运用的适当的心理表象。

解和运用的适当的心理表象。

转换：

是将抽象概念与学生已有知识经验建立有转换：

是将抽象概念与学生已有知识经验建立有转换：

是将抽象概念与学生已有知识经验建立有转换：

是将抽象概念与学生已有知识经验建立有层次的联系：

引导学生在概念的抽象定义、半抽层次的联系：

引导学生在概念的抽象定义、半抽层次的联系：

引导学生在概念的抽象定义、半抽层次的联系：

引导学生在概念的抽象定义、半抽象模型（或操作）、具体原型（或活动）之间进象模型（或操作）、具体原型（或活动）之间进象模型（或操作）、具体原型（或活动）之间进象模型（或操作）、具体原型（或活动）之间进行寻找意义与数学化的过程。

行寻找意义与数学化的过程。

行寻找意义与数学化的过程。

行寻找意义与数学化的过程。

数学化与寻找意义数学化与寻找意义-数学教学的基本活动数学教学的基本活动自左至右：

数学化自左至右：

数学化自左至右：

数学化自左至右：

数学化自右至左：

寻找意义自右至左：

寻找意义自右至左：

寻找意义自右至左：

寻找意义实物操作实物操作实物操作实物操作表象操作表象操作表象操作表象操作抽象操作抽象操作抽象操作抽象操作分豆子分豆子分豆子分豆子（具体）（具体）（具体）（具体）脑中分豆子脑中分豆子脑中分豆子脑中分豆子（半具体、半抽象）（半具体、半抽象）（半具体、半抽象）（半具体、半抽象）算式运算算式运算算式运算算式运算（抽象）（抽象）（抽象）（抽象）（数学化）（数学化）（数学化）（数学化）（寻找意义）（寻找意义）（寻找意义）（寻找意义）换句话说，学习者需要通过内化概念的多换句话说，学习者需要通过内化概念的多种表达形式并与已有的内在表象发生相互种表达形式并与已有的内在表象发生相互作用，以此促进或影响学习者的数学理解。

作用，以此促进或影响学习者的数学理解。

理解概念涉及：

概念的丰富表达形式理解概念涉及：

概念的丰富表达形式外在表征，概念的心理表达（表象）外在表征，概念的心理表达（表象）内在表征，以及内外表征之间的转换。

内在表征，以及内外表征之间的转换。

内容框架内容框架1分数学习的难点与前概念分数学习的难点与前概念2分数初步认识分数初步认识的教学流程的教学流程3分数的初步认识分数的初步认识课例分析课例分析1分数学习的难点与前概念分数学习的难点与前概念义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（20112011版）对版）对版）对版）对分数的初分数的初分数的初分数的初步认识步认识步认识步认识的要求是：

能结合具体情境初步理解分的要求是：

能结合具体情境初步理解分的要求是：

能结合具体情境初步理解分的要求是：

能结合具体情境初步理解分数的意义，能读、写分数，能比较两个同分母分数的意义，能读、写分数，能比较两个同分母分数的意义，能读、写分数，能比较两个同分母分数的意义，能读、写分数，能比较两个同分母分数的大小；能运用分数表示日常生活中的一些事数的大小；能运用分数表示日常生活中的一些事数的大小；能运用分数表示日常生活中的一些事数的大小；能运用分数表示日常生活中的一些事物，并进行交流。

物，并进行交流。

物，并进行交流。

物，并进行交流。

教材的目标定位：

主要利用直观的方式，使学生教材的目标定位：

主要利用直观的方式，使学生教材的目标定位：

主要利用直观的方式，使学生教材的目标定位：

主要利用直观的方式，使学生通过折一折、涂一涂等动手操作的方式，初步理通过折一折、涂一涂等动手操作的方式，初步理通过折一折、涂一涂等动手操作的方式，初步理通过折一折、涂一涂等动手操作的方式，初步理解分数的意义，掌握分数的大小。

解分数的意义，掌握分数的大小。

解分数的意义，掌握分数的大小。

解分数的意义，掌握分数的大小。

实现上述目标，一要分析教学内容，以充分了解实现上述目标，一要分析教学内容，以充分了解实现上述目标，一要分析教学内容，以充分了解实现上述目标，一要分析教学内容，以充分了解分数学习的困难之处；二要分析学情，以找准教分数学习的困难之处；二要分析学情，以找准教分数学习的困难之处；二要分析学情，以找准教分数学习的困难之处；二要分析学情，以找准教学的出发点：

学生已有的知识经验。

学的出发点：

学生已有的知识经验。

学的出发点：

学生已有的知识经验。

学的出发点：

学生已有的知识经验。

分数学习的难点分数学习的难点一直以来，在学生的心目中并不承认分数一直以来，在学生的心目中并不承认分数是个是个“数数”，是个，是个“结果结果”。

其一，分数并非其一，分数并非其一，分数并非其一，分数并非“十进制十进制十进制十进制”，这是与整数及其运算的最大，这是与整数及其运算的最大，这是与整数及其运算的最大，这是与整数及其运算的最大差别。

差别。

差别。

差别。

其二，其二，其二，其二，引入分数是为了表示引入分数是为了表示引入分数是为了表示引入分数是为了表示“量量量量”，但，但，但，但“几分之一几分之一几分之一几分之一”表示表示表示表示的却是部分与整体之间的的却是部分与整体之间的的却是部分与整体之间的的却是部分与整体之间的“比率比率比率比率”。

其三，分数所能表示的其三，分数所能表示的其三，分数所能表示的其三，分数所能表示的“量量量量”有更易于学生接受的替代物有更易于学生接受的替代物有更易于学生接受的替代物有更易于学生接受的替代物小数，分数所能表示的小数，分数所能表示的小数，分数所能表示的小数，分数所能表示的“比率比率比率比率”也有更易于学生接受的也有更易于学生接受的也有更易于学生接受的也有更易于学生接受的替代物替代物替代物替代物百分数与比（这些后续学习的内容在生活中却先百分数与比（这些后续学习的内容在生活中却先百分数与比（这些后续学习的内容在生活中却先百分数与比（这些后续学习的内容在生活中却先接触）。

接触）。

接触）。

接触）。

其四，分数反映了数学概念的二重性：

其四，分数反映了数学概念的二重性：

既表现为一种过程操作既表现为一种过程操作先分，把一个先分，把一个对象平均分，分之后就确定了分母，就创对象平均分，分之后就确定了分母，就创造了一个分数单位。

然后再取一份或几份，造了一个分数单位。

然后再取一份或几份，即是数有多少个单位，也就是确定分子；即是数有多少个单位，也就是确定分子；又表现为对象、结构又表现为对象、结构a/b。

这种兼具算法与结果的特点这种兼具算法与结果的特点,给学生带来很给学生带来很大的认知负荷，影响着他们的认知加工。

大的认知负荷，影响着他们的认知加工。

学生已有的知识经验学生已有的知识经验一是具备一是具备“平均分平均分”的认识。

缺乏的是进的认识。

缺乏的是进一步的认识一步的认识逆向思维，以及由此引出逆向思维，以及由此引出新数新数分数的意识。

分数的意识。

具有诸多与具有诸多与“分数学习分数学习”有关的操作体验，有关的操作体验，学生缺乏的是探究操作活动中蕴含的数学学生缺乏的是探究操作活动中蕴含的数学知识知识所取的份数与整体的所取的份数与整体的“比率比率”关关系。

系。

2分数初步认识分数初步认识的教学流程的教学流程两种设计思路都没有探讨以下问题：

两种设计思路都没有探讨以下问题：

课文呈现的分数外在表征之间有没有层次性？

若课文呈现的分数外在表征之间有没有层次性？

若课文呈现的分数外在表征之间有没有层次性？

若课文呈现的分数外在表征之间有没有层次性？

若有，怎样在教学中加以体现？

有，怎样在教学中加以体现？

有，怎样在教学中加以体现？

有，怎样在教学中加以体现？

分数的外在表征有哪些类型？

类型之内、类型之分数的外在表征有哪些类型？

类型之内、类型之分数的外在表征有哪些类型？

类型之内、类型之分数的外在表征有哪些类型？

类型之内、类型之间有怎样的关系？

这些关系对教学设计有怎样的间有怎样的关系？

这些关系对教学设计有怎样的间有怎样的关系？

这些关系对教学设计有怎样的间有怎样的关系？

这些关系对教学设