【解析】选D.在简单随机抽样、系统抽样、分层抽样中每个个体被抽到的机会是均等的,即每个个体被抽到的概率是相等的,故p1=p2=p3.
2.（xx·福州一模）某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
总计
4300
【解析】选C.设样本中的老年教师人数为x,则=,解得x=180.
3.（xx·合肥一模）若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为 （ ）
A.8B.15C.16D.32
【解析】选C.若x1,x2,…,xn的标准差为s,
则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的标准差为as.
由题意s=8,则所求标准差为2×8=16.
【加固训练】（xx·宿州一模）如果数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为,标准差为s,则数据3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的平均数和标准差分别是 （ ）
A.3和9s B.3和3s
C.3+2和9s D.3+2和3s
【解析】选D.
=
==3+2,
=3
=3s.
4.（xx·昆明二模）已知变量x与y之间的线性回归方程为=-3+2x,若xi=17,则yi的值等于 （ ）
A.3B.4C.0.4 D.40
【解析】选B.依题意==1.7,
而直线=-3+2x一定经过样本点的中心（,）,
所以=-3+2x=-3+2×1.7=0.4,
所以yi=0.4×10=4.
【加固训练】（xx·钦州一模）春节期间,某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额y（单位:
万元）与当天的平均气温x（单位:
℃）有关.现收集了春节期间这个销售公司4天的x与y的数据列于下表:
平均气温（℃）
-2
-3
-5
-6
销售额（万元）
20
23
27
30
根据以上数据,用线性回归的方法,求得y与x之间的线性回归方程=x+的系数=-,则=__________.
【解析】由表中数据可得=-4,=25,
所以线性回归方程=-x+过点（-4,25）,
代入方程得25=-×（-4）+,
解得=.
答案:
二、填空题（每小题5分,共10分）
5.（xx·太原一模）已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为__________.
【解析】平均数==6.
答案:
6
6.（xx·吉林二模）某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试,从中抽出
60名学生,将其成绩分成六段[40,50）,[50,60）,…,[90,100]后,画出如图所示
的频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）为__________.
【解析】由频率分布直方图可知60分以下的成绩频率为（0.01+0.015）×10=0.25,所以及格率为1-0.25=0.75.
答案:
0.75
三、解答题（7题12分,8题13分,共25分）
7.（15分）（xx·绵阳二模）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、视频、图片和文字,一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间,某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名,将男性、女性使用微信的时间分成5组:
（0,2],（2,4],（4,6],（6,8],（8,10]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据女性频率分布直方图估计女性使用微信的平均时间.
（2）若每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,请你根据已知条件完成2×2的列联表,并判断是否在犯错误的概率不超过0.1的前提下（有90%的把握）认为“微信控”与“性别”有关?
微信控
非微信控
总计
男性
50
女性
50
总计
100
参考公式:
K2=,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】
（1）女性平均使用微信的时间为:
0.16×1+0.24×3+0.28×5+0.2×7+0.12×9=4.76（小时）.
（2）由2（0.04+a+0.14+2×0.12）=1,解得a=0.08,
可得
微信控
非微信控
总计
男性
38
12
50
女性
30
20
50
总计
68
32
100
K2的观测值k=≈2.941>2.706,
所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下（有90%的把握）认为“微信控”与“性别”有关.
（20分钟 45分）
一、选择题（每小题5分,共20分）
1.从800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号,求得间隔数k==16,即每16人抽取一个人.在1～16中随机抽取一个数,如果抽到的是7,则从33～48这16个数中应取的数是 （ ）
A.40B.39C.38D.37
【解析】选B.按系统抽样分组,33～48这16个数属第3组,则这一组应抽到的数是7+2×16=39.
2.已知某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程=x++e（单位:
亿元）,其中=0.8,=2,|e|≤0.5,如果今年该地区财政收入为10亿元,则今年支出预计不会超过 （ ）
A.10亿B.9亿C.10.5亿D.9.5亿
【解析】选C.当x=10时,=0.8×10+2+e=10+e.
又|e|≤0.5,所以≤10.5.
3.一组数据共有7个数,记得其中有10,2,5,2,4,2,还有一个数没记清,但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列,这个数的所有可能值的和为
（ ）
A.9B.3C.17D.-11
【解析】选A.设这个数为x,则平均数为,
众数为2,若x≤2,则中位数为2,此时x=-11;
若2若x≥4,则中位数为4,2×4=+2,x=17,
所有可能值为-11,3,17,故其和为-11+3+17=9.
【加固训练】将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示:
则7个剩余分数的方差为 （ ）
A.B.C.36D.
【解析】选B.根据茎叶图,去掉1个最低分87,1个最高分99,
则[87+94+90+91+90+（90+x）+91]=91,所以x=4.
所以s2=[（87-91）2+（94-91）2+（90-91）2+（91-91）2+（90-91）2+（94-91）2+（91-91）2]=.
4.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x（元）
4
5
6
7
8
9
销量y（件）
90
84
83
80
75
68
由表中数据,求得线性回归方程=-4x+,若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线左下方的概率为 （ ）
A. B. C. D.
【解析】选B.由表中数据得=6.5,=80.
由（,）在直线=-4x+上,得=106.
即线性回归方程为=-4x+106.
经过计算只有（5,84）和（9,68）在直线的下方,
故所求概率为=.
二、填空题（每小题5分,共10分）
5.为了研究雾霾天气的治理情况,某课题组对部分城市进行空气质量调查,按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组,已知三组城市的个数分别为4,y,z,依次构成等差数列,且4,y,z+4成等比数列,若用分层抽样抽取6个城市,则乙组中应抽取的城市个数为__________.
【解析】由题意可得即
解得z=12,或z=-4（舍去）,故y=8.
所以甲、乙、丙三组城市的个数分别为4,8,12.
因为一共要抽取6个城市,所以抽样比为=.
故乙组城市应抽取的个数为8×=2.
答案:
2
6.某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系,随机调查了观看该节目的观众110名,得到如下的列联表:
女
男
总计
喜爱
40
20
60
不喜爱
20
30
50
总计
60
50
110
试根据样本估计总体的思想,估计在犯错误的概率不超过__________的前提下（约有__________的把握）认为“喜爱该节目与否和性别有关”.
参考附表:
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
（参考公式:
K2=,其中n=a+b+c+d）
【解析】假设喜爱该节目和性别无关,分析列联表中数据,可得K2的观测值k=≈7.822>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下（有99%的把握）认为“喜爱该节目与否和性别有关”.
答案:
0.01 99%
三、解答题
7.（15分）某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型,并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x个月）和市场占有率（y%）的几组相关对应数据.
x
1
2
3
4
5
y
0.02
0.05
0.1
0.15
0.18
（1）根据上表中的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.
（2）根据上述回归方程,分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势,并预测自上市起经过多少个月,该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%（精确到月）?
附:
=
=-.
【解析】
（1）根据表中数据,计算=×（1+2+3+4+5）=3,
=×（0.02+0.05+0.1+0.15+0.18）=0.1,
所以=
=0.042,
所以=0.1-0.042×3=-0.026,
所以线性回归方程=0.042x-0.026.
（2）由上面的回归方程可知,上市时间与市场占有率正相关,即上市时间每增加1个月,市场占有率约增加0.042个百分点;
由=0.042x-0.026>0.5,解得x≥13;
预计上市13个月时,市场占有率能超过0.5%.
1.（xx·唐山二模）二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0万元/辆）进行整理,得到如下的对应数据:
使用年数
2
4
6
8
10
售价
16
13
9.5
7
4.5
（1）试求y关于x的回归方程.（参考公式:
=
=-）.
（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.05x2-1.75x+17.2万元,根据
（1）中所求的回归方程,预测x为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大?
【解析】
（1）由表中数据得,=×（2+4+6+8+10）=6,
=×（16+13+9.5+7+4.5）=10,
由最小二乘法求得
=
=-1.45,
=10-（-1.45）×6=18.7,
所以y关于x的回归方程为=-1.45x+18.7.
（2）根据题意,利润函数为
z=y-w=（-1.45x+18.7）-（0.05x2-1.75x+17.2）
=-0.05x2+0.3x+1.5,
所以,当x=-=3时,二次函数z取得最大值,即预测x=3时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大.
2.为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格:
日期
4月1日
4月7日
4月15日
4月21日
4月30日
温差x/℃
10
11
13
12
8
发芽数y/颗
23
25
30
26
16
（1）从这5天中任选2天,记发芽的种子数分别为m,n,求事件“m,n均不小于25”的概率.
（2）从这5天中任选2天,若选取的是4月1日与4月30日的两组数据,请根据这5天中的另3天的数据,求出y关于x的线性回归方程=x+.
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问
（2）中所得的线性回归方程是否可靠?
【解析】
（1）所有的基本事件为（23,25）,（23,30）,（23,26）,（23,16）,（25,30）,（25,26）,（25,16）,（30,26）,（30,16）,（26,16）,共10个.
设“m,n均不小于25”为事件A,则事件A包含的基本事件为（25,30）,（25,26）,（30,26）,共3个.所以P（A）=.
（2）由数据得,另3天的平均数=12,=27,3=972,3=432,xiyi=977,=434,
所以==,=27-×12=-3,
所以y关于x的线性回归方程为=x-3.
（3）依题意得,当x=10时,=22,|22-23|<2;
当x=8时,=17,|17-16|<2,
所以
（2）中所得到的线性回归方程是可靠的.
3.（xx·安庆二模）随着“全面二孩”政策推行,我市将迎来生育高峰,今年新春伊始,宜成各医院产科就已经是一片忙碌,至今热度不减.卫生部门进行调查统计,期间发现各医院的新生儿中,不少都是“二孩”;在市第一医院,共有40个猴宝宝降生,其中20个是“二孩”宝宝;市妇幼保健院共有30个猴宝宝降生,其中10个是“二孩”宝宝.
（1）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取7个宝宝做健康咨询.
①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个?
②若从7个宝宝中抽取两个宝宝进行体检,求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率.
（2）根据以上数据,能否认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关?
附:
K2=.
P（K2≥k0）
0.4
0.25
0.15
0.10
k0
0.708
1.323
2.072
2.706
【解析】
（1）①7××=2.
②在抽取7个宝宝中,出生在市第一医院的二孩宝宝有2人,出生在市妇幼保健院的二孩宝宝有1人,从7个宝宝中随机抽取2个的可能事件共有=21个,其中两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的基本事件有·=2个.
所以两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率P=.
（2）列联表如下:
一孩
二孩
总计
第一医院
20
20
40
市妇幼保健院
20
10
30
总计
40
30
70
K2的观测值k==≈1.944<2.072,没有充分证据显示一孩、二孩宝宝的出生与医院有关.
2019-2020年高三数学二轮复习1.7.3概率随机变量及其分布列课时巩固过关练理新人教版
一、选择题（每小题5分，共20分）
1.（xx·承德一模）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“-1≤lo≤1”发生的概率为（ ）
A.B.C.D.
【解析】选A.不等式-1≤lo≤1可化为lo2≤lo≤lo，即≤x+≤2，解得0≤x≤，故由几何概型的概率公式得P==.
2.（xx·广州一模）甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为（ ）
A.0.12B.0.42C.0.46D.0.88
【解析】选D.因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式知，P=1-（1-0.6）
（1-0.7）=1-0.12=0.88.
3.（xx·河南中原名校二模）一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（ ）
A.B.C.D.
【解析】选B.分两种情况3，1，1及2，2，1，这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是3，1，1时，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件数是，所以这种结果发生的概率是=，同理求得第二种结果的概率是，根据互斥事件的概率公式得到P=+=.
4.（xx·郑州一模）1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【解析】选A.方法一：
记事件A：
从2号箱中取出的是红球；事件B：
从1号箱中取出的是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：
P（B）==，P（）=1-=；由条件概率公式知P（A|B）==，P（A|）==.从而P（A）=
P（AB）+P（A）=P（A|B）·P（B）+P（A|）·P（）=.
方法二：
根据题意，分两种情况讨论：
①从1号箱中取出白球，其概率为=，此时2号箱中有6个白球和3个红球，从2号箱中取出红球的概率为，则此种情况下的概率为×=.
②从1号箱中取出红球，其概率为.此时2号箱中有5个白球和4个红球，从2号箱取出红球的概率为，则这种情况下的概率为×=.则从2号箱取出红球的概率是+=.
二、填空题（每小题5分，共10分）
5.（xx·张家界一模）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_______
_____________.
【解析】4只球分别记为白、红、黄1、黄2，则从中一次摸出2只球所有可能的情况有：
白红、白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1黄2，共6种情况，其中2只球颜色不同的有5种，故P=.
答案：
6.（xx·大同一模）有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_______
__________________.
【解析】设点P到点O的距离小于1的概率为P1，
由几何概型，则P1===，故点P到点O的距离大于1的概率P=1-=.
答案：
三、解答题（7题12分，8题13分，共25分）
7.（xx·天津高考）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率.
（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.
【解析】
（1）由已知事件A：
选2人参加义工活动，次数之和为4，则
P（A）==.
（2）随机变量X可能的取值为0，1，2.
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==.
则X的分布列为：
X
0
1
2
P
【加固训练】（xx·赣州二模）某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人.
（1）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数.
（2）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分.从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和ξ的分布列和数学期望.
【解析】
（1）因为“铅球”科目中成绩等级为E的学生有8人，
所以该班有8÷0.2=40人，
所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为40×（1-0.375-
0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3.
（2）ξ的值可以为16，17，18，19，20.
P（ξ=16）==，
P（ξ=17）==，
P（ξ=18）=+=.
P（ξ=19）==，
P（ξ=20）==.
所以ξ的分布列为
ξ
16
17
18
19
20
P
所以E（ξ）=16×+17×+18×+19×+20×=，所以ξ的数学期望为.
8.（xx·黄山二模）甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，得分低于0分时记为0分（即最低为0分），至少得15分才能入选.
（1）求乙得分的分布列和数学期望.
（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.
【解析】
（1）设乙的得分为ξ，则ξ的所有可能取值为：
0，15，30.
P（ξ=0）=+=，
P（ξ=15）==，
P（ξ=30）==.
ξ的分布列为
ξ
0
15
30
P
E（ξ）=0×+15×+30×=.
（2）设“甲入选”为事件A，“乙入选”为事件B，则
P（A）=+=，
P（）=1-=，
由
（1）知，P（B）=P（ξ=15）+P（ξ=30）=+=，P（）=1-=.
所求概率为P=1-P（）=1-P（）·P（）
=1-×=.
（30分钟 55分）
一、选择题（每小题5分，共20分）
1.甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）.设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足复数x+yi的实部大于虚部的概率是（ ）
A. B. C.D.
【解析】选B.总共有36种情况.
当x=6时，y有5种情况；当x=5时，y有4种情况；
当x=4时，y有3种情况；当x=3时，y有2种情况；
当x=2时，y有1种情况.所以P==.
2.在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为（ ）
A.B.C.D.
【解析】选A.设事件A在1次试验中发生的概率为p，由题意得1-p0（1-p）4=，所以1-p=，p=.
3.在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为（ ）
A.B.C. D.
【解析】选C.如图所示，△BCD是圆内接等边三角形，过直径BE上
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