北京市东城区九年级上册期末考试数学试题有答案.docx
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北京市东城区九年级上册期末考试数学试题有答案
．．
北京市东城区第一学期期末统一测试
初三数学
学校班级姓名考号
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．关 于 的 一 元 二 次 方 程 2 +4+=0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 则 的 值 为
A ． =4B ． = ﹣ 4C ． ≥ ﹣ 4D ． ≥ 4
2．抛物线 y=2+2+3 的对称轴是
A．直线=1
B．直线=﹣1
C．直线=﹣2 D．直线=2
3．剪 纸 是 我 国 的 非 物 质 文 化 遗 产 之 一 ， 下 列 剪 纸 作 品 中 是 中 心 对 称 图 形 的 是
ABCD
4．在 课 外 实 践 活 动 中 ， 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 个 小 组 用 投 掷 一 元 硬 币 的 方 法 估 算 正 面
朝 上 的 概 率 ，其 试 验 次 数 分 别 为 10 次 、 50 次 、 100 次 、 200 次 ，其 中 试 验 相 对
科学的是
A ． 甲 组B ． 乙 组C ． 丙 组D ． 丁 组
5．在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 将 抛 物 线 y = x 2 - 2 x - 1 先 向 上 平 移 3 个 单 位 长 度 ， 再 向
左平移 2 个单位长度，所得的抛物线的解析式是
A． y = （x +1）2 +1B． y = （x - 3）2 +1
C． y = （x - 3）2 - 5D． y = （x +1）2 + 2
6．已 知 点 A（ 2 ， y 1 ）， B（ 4 ， y 2 ） 都 在 反 比 例 函 数 y =
y 2 的 大 小 关 系 为
k
x
（ ＜ 0 ） 的 图 象 上 ， 则 y 1 ，
A ． y 1 ＞ y 2
B ． y 1 ＜ y 2 C ． y 1 = y 2
D ． 无 法 确 定
．．．
．如图，在ABC 中，∠A=78°，AB=4，AC=6. 将△ABC 沿图示中的虚线剪
开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
8. 如 图 ， 圆 锥 的 底 面 半 径 r 为 6cm ， 高 h 为 8cm ， 则 圆 锥 的侧面积
为
A ． 30πcm
2
B ． 48πcm 2
C ． 60πcm
2
D ． 80πcm
2
9. 如图，⊙O 是
ABC 的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点 C 作⊙O
的切线，交 AB 的延长线于点 D，则∠D 的度数是
A．25°B．40°
C．50°D．65°
10. 城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年，“互联网+”战略与传统出租车
行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件
cb
就是其中典型的应用. 名为“数据包络分析”（简
称 DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化
出租车资配置.为了解出租车资的“供需匹配”，北
京、上海等城市对每天 24 个时段的 DEA 值进行
调查，调查发现， DEA 值越大，说明匹配度越
好.在某一段时间内，北京的 DEA 值 y 与时刻 t
的关系近似满足函数关系 y = ax2 + bx + （a， ，
y
1.1
0.87
0.43
O 4 5 6 t
c 是常数，且 a ≠ 0 ），如图记录了 3 个时刻的
数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻 t 是
A. 4.8B. 5C. 5.2D. 5.5
二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）
11 ． 请你写出一个图象分别位于第二、四象限的反比例函数的解析式，这个解析式可以
是．
12．已知 m 是关于的方程 2﹣2﹣3=0 的一个根，则 2m2﹣4m=．
13.二次函数 y = x2 - 4 x - 2 的最小值为．
14. 天坛是古代帝王祭天的地方， 中最主要的建筑就是祈年殿老师希望同学们利用所学过的知
识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿 AB
长 2 米，在太阳光下，它的影长 BC 为 1.5 米，同一时刻，祈年殿的影长 EF 约为 28.5 米．请
你根据这些数据计算出祈年殿的高度 DE 约为米．
D
A
EFBC
15．如图，在
ABC 中， ∠ACB = 90 ， AC = 2 3 ,以点 C 为圆心， CB 的
长为半径画弧，与 AB 边交于点 D ,将 BD绕点 D 旋转 180 ° 后点 B 与点
A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为.
16．如图，已知菱形 OABC 的顶点 O（0,0），B（2,2），菱形的对角线的交点 D 的坐标为；
菱形 OABC 绕点 O 逆时针旋转，每秒旋转 45°，从如图所示位置起，经过 60 秒时，菱形的
对角线的交点 D 的坐标为.
y
3
2 A
B
1
D
C
–3–2–1 O
1
2 3
x
–1
–2
三、解答题（本题共 72 分，第 17—26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）
17．解方程：
2 x2 - 4 x - 1 = 0 .
18. 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AD 是 中 线 ， ∠ B = ∠ DAC ， 若 BC =8 ， 求 AC 的 长 .
A
B
D C
19．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 AB=8，CD=6，求 BE 的长．
x
20．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， Rt△ABO 的边 AB 垂直于轴，垂足为点 B，反
比例函数 y = k1 （＞0）的图象经过 AO 的中点 C，且与 AB 相交于点 D， OB=4，AB=3．
1
（1）求反比例函数 y =
1
k
1 （＞0）的解析式；
x
（2）设经过 C，D 两点的一次函数解析式为 y = k x + b ，求出其解析式，并根据图象直接写出
22
在第一象限内，当 y ＞y 时， 的取值范围．
21
21．列方程或方程组解应用题：
公园有一块正方形的空地，后从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分） 原空地
一边减少了 1m，另一边减少了 2m，剩余空地的面积为 20m2，求原正方形空地的边长．
2m
20m2
1m
22． 按照要求画图：
（1）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），（﹣2，
），将ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90°得到
1B1C1，点 A，B，C 的对应点为点 A1，B1，
C
．画出旋转后的A1B1C1；
（2）下列 3×3 网格都是由 9 个相同小正方形组成，每个网格图中有 3 个小正方形已涂上阴影，
请在余下的 6 个空白小正方形中，选取 1 个涂上阴影，使 4 个阴影小正方形组成一个中心
对称图形（画出两种即可）．
23．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字 2，3，5．将
三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再
随机抽取一张．
（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
（2）若两人抽取的数字和为 2 的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为 5 的倍数，则乙获胜．这
个游戏公平吗？
请用概率的知识加以解释．
24.在平面直角坐标系 Oy 中，对称轴为直线=1 的抛物线 y= -2+b+c 与轴交于点 A 和点 B，与 y 轴
交于点 C，且点 B 的坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 D 的坐标为（0，1），点 P 是抛物线上的动点，若△PCD 是
以 CD 为底的等腰三角形，求点 P 的坐标．
25. 如图，AB 是⊙O 的直径， AC 是弦，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 交
AC 的延长线于点 E，连接 BD．
（1）求证：
DE 是⊙O 的切线；
5
=， AD = 4 5 ，求 CE 的长．
DE2
26. 问题探究：
新定义：
将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积
线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线
段”）．
解决问题：
AAA
B
D
图1
C B
图2
C B
图3
C
已知在
ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC= 2 2 ．
（
（1）如图 1，若 AD⊥BC，垂足为 D，则 AD 是△ABC 的一条等积线段，求 AD 的长；
（2）在图 2 和图 3 中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度． 要求：
使得图 1、图 2 和
图 3 中的等积线段的长度各不相等）
27． 在平面直角坐标系 Oy 中，抛物线 y = mx 2 - 2mx + m - 4 （ m ≠ 0 ）与 轴交于 A，B 两点
（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标；
（3）将抛物线在 B，C 之间的部分记为图象 G（包含 B，C 两点），若直线 y=5+b 与图象 G 有公
共点，请直接写出 b 的取值范围．
28. 点 P 是矩形 ABCD 对角线 AC 所在直线上的一个动点（点 P 不与点 A，C 重合），分别过点
A，C 向直线 BP 作垂线，垂足分别为点 E，F，点 O 为 AC 的中点．
（1）如图 1，当点 P 与点 O 重合时，请你判断 OE 与 OF 的数量关系；
（2）当点 P 运动到如图 2 所示位置时，请你在图 2 中补全图形并通过证明判断
（1）中的结论是
否仍然成立；
（3）若点 P 在射线 OA 上运动，恰好使得∠OEF=30°时，猜想此时线段 CF，AE，OE 之间有怎
样的数量关系，直接写出结论不必证明．
29．在平面直角坐标系 Oy 中，有如下定义：
若直线 l 和图形 W 相交于两点，且这两点的距离不
小于定值，则称直线 l 与图形 W 成“相关”，此时称直线与图形 W 的相关系数为.
-1）-
（1）若图形 W 是由 A（- 2， 1）， B（- 2,1）， C （2， ， D（2， 1）顺次连线而成的矩形：
l1：
y=+2，l2：
y=+1，l3：
y= --3 这三条直线中，与图形 W 成“ 2 相关”的直线有________;
1）
画出一条经过 （0， 的直线，使得这条直线与 W 成“5 相关”；
若存在直线与图形 W 成“2 相关”，且该直线与直线y = 3x 平行，与 y 轴交于点 Q，求点 Q
纵坐标 y 的取值范围；
Q
（2）若图形 W 为一个半径为 2 的圆，其圆心位于轴上.若直线 y =
相关”，请直接写出圆心的横坐标 x 的取值范围.
K
3
3
x + 3 与图形 W 成“3
备用图
北京市东城区第一学期期末统一测试
初三数学参考答案及评分标准
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）
题
12345678
号
答
ABADABCC
案
二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）
9
B
10
C
题号11
12 13 14 15 16
答案
如：
y = - 1 答案不
x
唯一，只要满足＜
（1,1）；（-1，
6 -6 38 3 -1）
0 即可
三、解答题（本题共 72 分，第 17—26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题
8 分）
17．解方程：
2 x2 - 4 x - 1 = 0
解：
x2 - 2 x =
1
2
. …………1 分
x2 - 2 x + 1=
1
2
+ 1 .
…………2 分
（ x - 1 ） =
3
2
. …………3 分
x = 1 ±6
2
.
2 2
∴ x = 1 +
1
6 6
x = 1 - . …………5 分
2
18. 解：
∵ ∠ B = ∠ DAC ，∠C=∠C，
∴ △ABC∽△DAC.…………2 分
A
∴
AC BC
=
CD AC
.
∴ AC 2 = CD ⋅ BC ．…………3 分
∵ AD 是 中 线 ， BC =8 ，
∴ CD = 4 .…………4 分
∴ AC = 4 2 .…………5 分
19. 解：
连接 OC.…………1 分
∵ AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，
∴ 点 E 是 CD 的中点.…………2 分
在
OCE 中， OE 2 + CE 2 = OC 2 ，
∵ AB=8，CD=6，
∴ 可求 OE =
7 .…………4 分
∴ BE = 4 - 7 .…………5 分
B
D C
20.
（1）由题意可求点 C 的坐标为（2， 3
2
）. …………1 分
∴ 反比例函数的解析式为 y =
1
3
（＞0）. …………2 分
可求出点 D 的坐标为（4，
3
4
）. …………3 分
3
∴ 可求直线 CD 的解析式 y = - x +
2
9
4
. …………4 分
当 2＜＜4 时， y2＞y1 .
…………5 分
.
21．解：
设原正方形空地的边长为 m．…………1 分
根据题意， 得 （x -1）（x - 2） = 20 ．…………2 分
解方程， 得 x1 = 6, x2 = -3（舍）
…………4 分
答：
原正方形空地的边长为 6m．…………5 分
22． 解：
（
）旋转后的A1B1C1 如下图：
B1
C1
A
1
…………3 分
（2）根据题意画图如下：
符合其中的两种即可．
…………5 分
23．解 ：
（1）所有可能出现的结果如图：
从表格可以看出，总共有 9 种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果
1
有 3 种，所以两人抽取相同数字的概率为；………3 分
3
（2）不公平．
从表格可以看出，两人抽取数字和为 2 的倍数有 5 种，两人抽取数字和为 5 的倍数有 3 种，所
51
以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为
93
．
1
＞，
93
∴ 甲获胜的概率大，游戏不公平．
…………5 分
⎩c = 3.
24. 解：
（1）由题意可求点 A 的坐标为（3,0）．
将点 A（3,0）和点 B（-1,0）代入 y= -2+b+c，
⎧
得 ⎨0=-9+3b + c,
⎩0 = -1 - b + c.
⎧b = 2,
解得 ⎨
∴ 抛物线的解析式 y = - x2 + 2 x + 3 ．…………3 分
（2）可求出点 C 的坐标为（0,3）．
由题意可知 满足条件的点 P 的纵坐标为 2．
∴ - x2 + 2 x + 3=2 ．
解得 x = 1 + 2, x = 1 - 2.
12
∴ 点 P 的坐标为 （1+2, 2） 或 （1- 2, 2） ． …………5 分
25.
（1）证明：
连接 OD ．
∵ OA=OD，
∴ ∠BAD=∠ODA．
∵ AD 平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠DAC．
∴ ∠ODA=∠DAC．
∴ OD∥AE．
∵ DE⊥AE，
∴ OD⊥DE．
∴ DE 是⊙O 的切线．
（2）解：
∵ OB 是直径，
∴ ∠ADB=90°．
∴ ∠ADB=∠E．
又∵ ∠BAD=∠DAC，
∴ △ABD∽△ADE ．
…………2 分
∴
AB BD 5
= =
AD DE 2
．
∴ AB = 10 ．
由勾股定理可知 BD = 2 5 ．
连 接 DC ，
∴ BD = DC = 2 5 ．
∵ A , C , D , B 四 点 共 圆 .
∴ ∠DCE=∠B.
∴ △ DCE∽△ABD ．
BD
=
DCCE
.
∴ CE =2.
26. 解：
（1）在
ADC 中，
∵AC = 2 2 ， ∠C =45 °，
∴AD = 2 ．…………1 分
（2）符合题意的图形如下所示：
…………5 分
E
A
为 AC 中点， BE = 10 .
E
B
A C
GH∥BC， GH = 2 2 .
…………5 分
27.解：
（1）由题
B
G H 意可得， m - 4 = -3 .
C ∴ m = 1.
∴ 抛物线的解析式为：
y = x2 - 2 x - 3 .
…………2 分
（2）点 A 关于抛物线的对称轴对称的点是 B，
连接 BC 交对称轴于点 P，
则点 P 就是使得 PA+PC 的值最小的点.
可求直线 BC 的解析式为 y = x - 3 .
∴ 点 P 的坐标为（1,-2）.…………5 分
（3）符合题意的 b 的取值范围是-15≤b≤-3.…………7 分
28.解：
（1）OE=OF.…………1 分
（2）补全图形如右图.…………2 分
OE=OF 仍然成立.…………3 分
证明：
延长 EO 交 CF 于点 G.
∵ AE⊥BP， CF⊥BP，
∴ AE∥CF.
∴ ∠EAO =∠GCO.
又∵ 点 O 为 AC 的中点，
∴ AO=CO.
∵ ∠AOE=∠COG，
∴ △AOE≌△COG.
∴ OE=OF.…………5 分
（3） CF = OE + AE 或 CF = OE - AE .…………7 分
29.解：
（1）① l 和 l.…………2 分
12
② 符合题意的直线如下图所示.…………4 分
夹在直线 a 和 b 或 c 和 d 之间的（含直线 a，b，c，d）都是符合题意的.
设符合题意的直线的解析式为y = 3x + b.由题意可知符合题意的临界直线分别经过点
（-1,1），（1，-1）.
分别代入可求出 b = 1 + 3, b = -1 - 3 .
12
∴ -1 - 3 ≤ y ≤ 1 + 3.…………6 分
Q
（2） -3 - 7 ≤ x ≤ -3 + 7.…………8 分
K
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