八年级上册数学 全等三角形全章复习导教案提高.docx

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八年级上册数学全等三角形全章复习导教案提高

《三角形》全章复习与巩固（提高）

【学习目标】

1.理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.

2.理解并会应用三角形三边关系定理；

3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图.

4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.

5.掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、三角形的内角和

三角形内角和定理：

三角形的内角和为180°．

要点诠释：

应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：

①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；

②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；

③求一个三角形中各角之间的关系．

要点二、三角形的分类

1.按角分类：

要点诠释：

①锐角三角形：

三个内角都是锐角的三角形;

②钝角三角形：

有一个内角为钝角的三角形.

2.按边分类：

要点诠释：

①不等边三角形：

三边都不相等的三角形；

②等腰三角形：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;

③等边三角形：

三边都相等的三角形.

要点三、三角形的三边关系

1.定理：

三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.

要点诠释：

（1）理论依据：

两点之间线段最短.

（2）三边关系的应用：

判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．

（3）证明线段之间的不等关系．

2.三角形的重要线段：

一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．

一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．

三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：

锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.

要点四、全等三角形的性质与判定

1.全等三角形的性质

全等三角形对应边相等，对应角相等.

2.全等三角形的判定定理

全等三角形判定1——“边边边”：

三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.“

全等三角形判定2——“角边角”：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

全等三角形判定3——“角角边”：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

全等三角形判定4——“边角边”：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

要点诠释：

（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

要点五、用尺规作三角形

1.基本作图

利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；

要点诠释：

要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.

【典型例题】

类型一、三角形的内角和

1.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?

举一反三

【变式】已知：

如图，在ΔABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于H，则∠BHC的度数为.

类型二、三角形的三边关系及分类

2.（2016春•故城县期末）已知：

a、b、c为三角形的三边长，化简：

|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|.

举一反三

【变式】（2015•朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为　　．

3.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．

（1）你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?

（2）若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?

4.有一个等腰三角形，它的两个角的度数比是1：

2，这个三角形按角分类可能是什么三角形？

举一反三

【变式】一个三角形的三个角的度数比是1：

2：

3，这个三角形中最小的一个角是度，按角分类，这个三角形是直角三角形．

30

类型三、三角形的重要线段

5.如图13，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD的度数.

举一反三

【变式】如图14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．

类型四、全等三角形的性质和判定

6.（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=

∠ACD=90°，且BC=CE，求证：

△ABC与△DEC全等．

举一反三：

【变式】已知：

如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．

求证：

CD＝2CE．

类型五、全等三角形判定的实际应用　

7.为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，有以下两种方法：

（1）如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP并延长到C，使PC=PB．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；

（2）如图所示，也可先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD．接着过点D作BD的垂线DE交AC的延线长于E，则测出DE的长即为A，B的距离．你认为这种方案是否切实可行，请说出你的理由．作BD⊥AB，ED⊥BF的目的是什么？

若满足∠ABD=∠BDE≠90°，此方案是否仍然可行？

为什么？

类型六、用尺规作三角形

8.已知：

线段a，b

求作：

△ABC，使AB=a，BC=b，AC=2a．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

举一反三

【变式】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）

如图，已知，∠α、∠β．

求作∠AOB，使∠AOB=2∠α+∠β．

【巩固练习】

一.选择题

1．（2015•北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（　　）

　A．内心B．外心C．中心D．重心

2.如图,在∠AOB的两边上截取AO＝BO,CO＝DO,连结AD、BC交于点P.则下列结论正确的是（）

①△AOD≌△BOC；②△APC≌△BPD；③点P在∠AOB的平分线上

A.只有①B.只有②C.只有①②D.①②③

3.如图，三角形的角平分线、中线、高的画法错误的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

4．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（　　）

A.1B.2C.5D.无法确定

5.利用尺规作图不能唯一作出三角形的是（　　）

A.已知三边B.已知两边及夹角

C.已知两角及夹边D.已知两边及其中一边的对角

6.如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1＝∠2，D为AC上一点，AD＝AB，则（）．

A．∠1＝∠EFDB．FD∥BCC．BF＝DF＝CDD．BE＝EC

7.如图，已知AB＝AC，PB＝PC，且点A、P、D、E在同一条直线上.下面的结论：

①EB＝EC；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（　　）

A．330°B．315°C．310°D．320°

二.填空题

9.（2015•佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有　　个．

10.如图，已知点C是∠AOB平分线上的点，点P、P′分别在OA、OB上，如果要得到OP=OP′，需要添加以下条件中的某一个即可：

①∠OCP=∠OCP′；②∠OPC=∠OP′C；③PC=P′C；④PP′⊥OC．请你写出所有可能的结果的序号：

　　．

11.如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE＋OF的值为．

12．（2016•莘县一模）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=　　．

13.一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是_________．

14.如图所示，AD，AE是三角形ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠C=76°，则∠DAE的度数．

15．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是.

16.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整。

若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为.

三.解答题

17.（2016•南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

（1）求证：

BD=CE；

（2）求证：

∠M=∠N．

18．如图所示，已知D是AB上一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝15°，∠ABE＝20°.

（1）求∠BDC的度数；

（2）求∠BFD的度数；

　　（3）试说明∠BFC＞∠A.

19.如图所示，△ABC中，D，E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA，交AE于点F，DF＝AC，求证：

AE平分∠BAC．

20．如图画一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为h（要求：

用尺规作图，保留作图痕迹）．

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】D．

2.【答案】D；

【解析】可由SAS证①，由①和AAS证②，SSS证③.

3.【答案】D；

【解析】三角形的中线是三角形的一个顶点与对边中点连接的线段；三角形的角平分线是指三角形内角的平分线与对边交点连接的线段；三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．

4.【答案】A；

【解析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可

5.【答案】D；

【解析】A、边边边（SSS）；B、两边夹一角（SAS）；C、两角夹一边（ASA）都是成立的．只有D是错误的，故选D．

6.【答案】B；

【解析】证△ADF≌△ABF，则∠ABF＝∠ADF＝∠ACB，所以FD∥BC.

7.【答案】D；

8.【答案】B；

【解析】由图中可知：

①∠4=

×90°=45°，②∠1和∠7的余角所在的三角形全等

∴∠1+∠7=90°

同理∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°∠4=45°

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×90°+45°=315°．

二.填空题

9.【答案】20.

【解析】∵各边长度都是整数、最大边长为8，

∴三边长可以为：

1，8，8；

2，7，8；2，8，8；

3，6，8；3，7，8；3，8，8；

4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；

5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；

6，6，8；6，7，8；6，8，8；

7，7，8；7，8，8；

8，8，8；

故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个．

10.【答案】①②④；

【解析】①OCP=∠OCP′，符合ASA，可得二三角形全等，从而得到OP=OP′；

②∠OPC=∠OP′C；符合AAS，可得二三角形全等，从而得到OP=OP′；

④PP′⊥OC，符合ASA，可得二三角形全等，从而得到OP=OP′；

中给的条件是边边角，全等三角形判定中没有这个定理．故填

11.【答案】1；

【解析】连接AO，△ABO的面积＋△ACO的面积＝△ABC的面积，所以OE＋OF＝等边三角形的高.

12．【答案】120°；

【解析】解：

∵∠ABC=42°，∠A=60°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°．

∴∠ACB=180°﹣42°﹣60°=78°．

又∵∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD．

∴∠FBC=

，∠FCB=

．

又∵∠FBC+∠FCB+∠BFC=180°．

∴∠BFC=180°﹣21°﹣39°=120°．

故答案为：

120°．

13.【答案】15；

【解析】提示：

由三角形三边关系知x可以取5，6，7，8，9，所以三角形的周长最小值为15．

14.【答案】20°；

【解析】解：

∵∠B=36°，∠C=76°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=68°，

∵AE是角平分线，

∴∠EAC=

∠BAC=34°．

∵AD是高，∠C=76°，

∴∠DAC=90°﹣∠C=14°，

∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=34°﹣14°=20°．

15．【答案】m+n＞b+c；

【解析】在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接ED，EP，

∵AD是∠A的外角平分线，

∴∠CAD=∠EAD，

在△ACP和△AEP中，

，

∴△ACP≌△AEP（SAS），

∴PE=PC，

在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，

∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，

∴m+n＞b+c．

16.【答案】7；

【解析】分析：

若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．

解：

已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；

　①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；6-5＜4＜6+5，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；

　②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；

③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．

三.解答题

17.【解析】

（1）证明：

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE；

（2）证明：

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，

即∠BAN=∠CAM，

由

（1）得：

△ABD≌△ACE，

∴∠B=∠C，

在△ACM和△ABN中，

，

∴△ACM≌△ABN（ASA），

∴∠M=∠N．

18.【解析】

解：

（1）∵∠A=62°，∠ACD=15°，∠BDC是△ACD的外角，

∴∠BDC=∠A+∠ACD，

∴∠BDC=62°+15°=77°；

（2）∵∠ABE+∠BDC+∠BFD=180°，

∴∠BFD=180°-20°-77°=83°；

（3）∵∠BFC是△DBF的一个外角，

∴∠BFC＞∠BDC．

∵∠BDC是△ADC的一个外角，

∴∠BDC＞∠A，

∴∠BFC＞∠A．

19．【解析】

证明：

延长FE到G，使EG＝EF，连接CG，

在△DEF和△CEG中，

ED＝EC，∠DEF＝∠CEG，FE＝EG，

∴△DEF≌△CEG，

∴DF＝GC，∠DFE＝∠G，

∵DF∥AB，∴∠DFE＝∠BAE，

∵DF＝AC，∴GC＝AC，

∴∠G＝∠CAE，

∴∠BAE＝∠CAE，即AE平分∠BAC．

20．【提示】可先作底边长BC=a，进而作出BC的垂直平分线，以垂足为圆心，在垂直平分线上截取高h，进而连接顶点和线段的2个端点即可．

【解析】

解：

△ABC就是所求的三角形．