全等三角形证明经典40题含答案.docx
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全等三角形证明经典40题含答案
1.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD的长.
解:
延伸AD到E,使AD=DE
∵D是BC中点
∴BD=DC
在△ACD和△BDE中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE中
AB-BE<AE<AB+BE
∵AB=4
即4-2<2AD<4+2
1<AD<3
∴AD=2
2.已知:
BC=ED,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:
∠1=∠2
证实:
衔接BF和EF
∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)
∴BF=EF,∠CBF=∠DEF
衔接BE
在三角形BEF中,BF=EF
∴∠EBF=∠BEF.
∵∠ABC=∠AED.
∴∠ABE=∠AEB.
∴AB=AE.
在三角形ABF和三角形AEF中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴三角形ABF和三角形AEF全等.
∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2).
3.已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
过C作CG∥EF交AD的延伸线于点G
CG∥EF,可得,∠EFD=CGD
DE=DC
∠FDE=∠GDC(对顶角)
∴△EFD≌△CGD
EF=CG
∠CGD=∠EFD
又,EF∥AB
∴,∠EFD=∠1
∠1=∠2
∴∠CGD=∠2
∴△AGC为等腰三角形,
AC=CG
又EF=CG
∴EF=AC
4.已知:
AD等分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
A
证实:
延伸AB取点E,使AE=AC,衔接DE
∵AD等分∠BAC
∴∠EAD=∠CAD
∵AE=AC,AD=AD
∴△AED≌△ACD(SAS)
∴∠E=∠C
∵AC=AB+BD
∴AE=AB+BD
∵AE=AB+BE
∴BD=BE
∴∠BDE=∠E
∵∠ABC=∠E+∠BDE
∴∠ABC=2∠E
∴∠ABC=2∠C
5.已知:
AC等分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
证实:
在AE上取F,使EF=EB,衔接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,
∴△CEB≌△CEF(SAS)
∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA
∵AC等分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
6.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE.CE分离等分∠ABC.∠BCD,且点E在AD上.求证:
BC=AB+DC.
在BC上截取BF=AB,衔接EF
∵BE等分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS)
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180º
∵∠BFE+∠CFE=180º
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE,CE等分∠BCD,CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE(AAS)
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
7.已知:
AB=CD,∠A=∠D,求证:
∠B=∠C
证实:
设线段AB,CD地点的直线交于E,则:
△AED是等腰三角形.
∴AE=DE
而AB=CD
∴BE=CE
∴△BEC是等腰三角形
∴∠B=∠C.
8.P是∠BAC等分线AD上一点,AC>AB,求证:
PC-PB在AC上取点E,
使AE=AB.
∵AE=ABAP=AP∠EAP=∠BAE,
∴△EAP≌△BAP
∴PE=PB.
PC<EC+PE
∴PC<(AC-AE)+PB
∴PC-PB<AC-AB.
9.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:
AC-AB=2BE
证实:
延伸BE交AC于点F,可证△ABE≌△AFE∴∠ABE=∠AFE,AB=AF,BE=FE∴AC–AB=FC,FB=2BE
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABE+∠FBC=3∠C∴∠AFB+∠FBC=3∠C
∵∠AFB=∠C+∠FBC
∴∠C+∠FBC+∠FBC=3∠C
∴∠FBC=2∠C
即∠FBC=∠C
∴FB=FC
∴AC-AB=FB=2BE
10.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC.
解:
延伸AD至BC于点E,
∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等腰三角形
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
{AB=AC
∠1=∠2
BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边)
∴∠BAD=∠CAD
∴AE是△ABC的中垂线
∴AE⊥BC
∴AD⊥BC
11.如图,OM等分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A.B为垂足,AB交OM于点N.
求证:
∠OAB=∠OBA
证实:
∵OM等分∠POQ
∴∠POM=∠QOM
∵MA⊥OP,MB⊥OQ
∴∠MAO=∠MBO=90
∵OM=OM
∴△AOM≌△BOM(AAS)
∴OA=OB
∵ON=ON
∴△AON≌△BON(SAS)
∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB=180
∴∠ONA=∠ONB=90
∴OM⊥AB
12.如图,已知AD∥BC,∠PAB的等分线与∠CBA的等分线订交于E,CE的连线交AP于D.求证:
AD+BC=AB.
做BE的延伸线,与AP订交于F点,
∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角等分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形
在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角等分线
∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中,
∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
13.如图,△ABC中,AD是∠CAB的等分线,且AB=AC+CD,求证:
∠C=2∠B
延伸AC到E
使AE=AC衔接ED
∵AB=AC+CD
∴CD=CE
可得∠B=∠E
△CDE为等腰
∠ACB=2∠B
14.已知:
如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
(1)求证:
△AED≌△EBC.
(2)不雅看图前,在不添帮助线的情形下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出成果,不请求证实):
证实:
∵DC∥AB
∴∠CDE=∠AED
∵DE=DE,DC=AE
∴△AED≌△EDC
∵E为AB中点
∴AE=BE
∴BE=DC
∵DC∥AB
∴∠DCE=∠BEC
∵CE=CE
∴△EBC≌△EDC
∴△AED≌△EBC
15.如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的等分线,BD的延伸线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延伸线于F.
求证:
BD=2CE.
证实:
∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE四点共元
∵∠ABE=∠CBE
∴AE=CE
∴∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G,衔接AG,则:
AG=BG=DG
∴∠GAB=∠ABG
而:
∠ECA=∠GBA(同弧上的圆周角相等)
∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
而:
AC=AB
∴△AEC≌△AGB
∴EC=BG=DG
∴BE=2CE
16.如图:
DF=CE,AD=BC,∠D=∠C.求证:
△AED≌△BFC.
证实:
∵DF=CE,∴DF-EF=CE-EF,即DE=CF,在△AED和△BFC中,∵AD=BC,∠D=∠C,DE=CF∴△AED≌△BFC(SAS)
17.如图:
AE.BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF.
求证:
AM是△ABC的中线.
证实:
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
18.如图:
在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点.求证:
BD⊥AC.
∵△ABD和△BCD的三条边都相等
∴△ABD=△BCD
∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°∴BD⊥AC
19.AB=AC,DB=DC,F是AD的延伸线上的一点.求证:
BF=CF
在△ABD与△ACD中
AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
BD=DC
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
20.如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB.求证:
AF=DE.
∵AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE=△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DCBF=CE
△ABF=△CDE
∴AF=DE
21.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,个中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试解释三只石凳E,F,M正好在一条直线上.
证实:
衔接EF
∵AB∥CD
∴∠B=∠C
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BEM和△CFM中
BE=CF
∠B=∠C
BM=CM
∴△BEM≌△CFM(SAS)
∴CF=BE
22.已知:
点A.F.E.C在统一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:
△ABE≌△CDF.
∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD(两直线平行,内错角相等)∵BE=DF∴:
△ABE≌△CDF(SAS)
23.已知:
如图所示,AB=AD,BC=DC,E.F分离是DC.BC的中点,求证:
AE=AF.
衔接BD;
∵AB=ADBC=D
∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加,∠ADC=∠ABC;
∵BC=DCE\F是中点
∴DE=BF;
∵AB=ADDE=BF
∠ADC=∠ABC
∴AE=AF.
24.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
∠5=∠6.
证实:
在△ADC,△ABC中
∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA
∴△ADC≌△ABC(两角加一边)
∵AB=AD,BC=CD
在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD
∴△DEC≌△BEC(双方夹一角)
∴∠DEC=∠BEC
25.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:
△ABC≌△DEF.
∵AD=DF
∴AC=DF
∵AB//DE
∴∠A=∠EDF
又∵BC//EF
∴∠F=∠BCA
∴△ABC≌△DEF(ASA)
26.已知:
如图,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分离为D.E,BD.CE订交于点F,求证:
BE=CD.
证实:
∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°
∵CE⊥AB
∴∠BEC=90°
∴∠BDC=∠BEC=90°
∵AB=AC
∴∠DCB=∠EBC
∴BC=BC
∴Rt△BDC≌Rt△BEC(AAS)
∴BE=CD
27.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的等分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
求证:
DE=DF.
证实:
∵AD是∠BAC的等分线
∴∠EAD=∠FAD
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED与∠AFD=90°
在△AED与△AFD中
∠EAD=∠FAD
AD=AD
∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD(AAS)
∴AE=AF
在△AEO与△AFO中
∠EAO=∠FAO
AO=AO
AE=AF
∴△AEO≌△AFO(SAS)
∴∠AOE=∠AOF=90°
∴AD⊥EF
28.已知:
如图,AC
BC于C,DE
AC于E,AD
AB于A,BC=AE.若AB=5,求AD的长?
∵AD⊥AB
∴∠BAC=∠ADE
又∵AC⊥BC于C,DE⊥AC于E
依据三角形角度之和等于180度
∴∠ABC=∠DAE
∵BC=AE,△ABC≌△DAE(ASA)∴AD=AB=5
29.如图:
AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分离为E.F,ME=MF.求证:
MB=MC
证实:
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵ME⊥AB,MF⊥AC
∴∠BEM=∠CFM=90°
在△BME和△CMF中
∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°ME=MF
∴△BME≌△CMF(AAS)
∴MB=MC.
30.在△ABC中,
直线
经由点
且
于
于
.
(1)当直线
绕点
扭转到图1的地位时,求证:
①
≌
;②
;
(2)当直线
绕点
扭转到图2的地位时,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请给出证实;若不成立,解释来由.
(1)
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°.
∴∠CAD=∠BCE.
∵AC=BC,
∴△ADC≌△CEB.
②∵△ADC≌△CEB,
∴CE=AD,CD=BE.
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠CBE.
又∵AC=BC,
∴△ACD≌△CBE.
∴CE=AD,CD=BE.
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
31.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.求证:
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF
(1)∵AE⊥AB,AF⊥AC,
∴∠BAE=∠CAF=90°,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,
即∠EAC=∠BAF,
在△ABF和△AEC中,
∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC,
∴△ABF≌△AEC(SAS),
∴EC=BF;
(2)如图,依据
(1),△ABF≌△AEC,
∴∠AEC=∠ABF,
∵AE⊥AB,
∴∠BAE=90°,
∴∠AEC+∠ADE=90°,
∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等),
∴∠ABF+∠BDM=90°,
在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°,
∴EC⊥BF.
32.如图:
BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB.求证:
(1)AM=AN;
(2)AM⊥AN.
证实:
(1)
∵BE⊥AC,CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC,CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
(2)
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
33.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF
在△ABF和△CDE中
AB=DE
∠A=∠D
AF=CD
∴△ABF≡△CDE(边角边)
∴FB=CE
在四边形BCEF中
FB=CE
BC=EF
∴四边形BCEF是平行四边形
∴BC‖EF
34.如图,已知AC∥BD,EA.EB分离等分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?
请解释来由
在AB上取点N,使得AN=AC
∵∠CAE=∠EAN
∴AE为公共,
∴△CAE≌△EAN
∴∠ANE=∠ACE
又∵AC平行BD
∴∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
∴∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
∵BE为公共边
∴△EBN≌△EBD
∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
35.如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
证实:
∵AD是△ABC的中线BD=CD∵DF=DE(已知)∠BDE=∠FDC∴△BDE≌△FDC则∠EBD=∠FCD∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行).
36.已知:
如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,
.
求证:
.
证实:
∵DE⊥AC,BF⊥AC
∴∠CED=∠AFB=90º
又∵AB=CD,BF=DE
∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE(HL)
∴AF=CE
∠BAF=∠DCE
∴AB//CD
37.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
AB=CD
∵,∠3=∠4
∴OB=OC
在△AOB和△DOC中
∠1=∠2
OB=OC
∠AOB=∠DOC
△AOB≌△DOC
∴AO=DOAO+OC=DO+OBAC=DB
在△ACB和△DBC中
AC=DB
∠3=∠4
BC=CB
△ACB≌△DBC
∴AB=CD
38.如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜测线段CE与DE的大小与地位关系,并证实你的结论.
CE>DE.当∠AEB越小,则DE越小.
证实:
过D作AE平行线与AC交于F,衔接FB
由已知前提知AFDE为平行四边形,ABEC为矩形,且△DFB为等腰三角形.
RT△BAE中,∠AEB为锐角,即∠AEB<90°
∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB<90°
△DFB中∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°
RT△AFB中,∠FBA=90°-∠DBF<45°
∠AFB=90°-∠FBA>45°
∴AB>AF
∵AB=CEAF=DE
∴CE>DE
39.
(10分)如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证:
AE=DE.
∵AB=DC,AC=DB,BC=BC
∴△ABC≌△DCB,
∴∠ABC=∠DCB
又∵BE=CE,AB=DC
∴△ABE≌△DCE
∴AE=DE
40.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:
∠ADC=∠BDE.
作CG⊥AB,交AD于H,
则∠ACH=45º,∠BCH=45º∵∠CAH=90º-∠CDA,∠BCE=90º-∠CDA∴∠CAH=∠BCE又∵AC=CB,∠ACH=∠B=45º∴△ACH≌△CBE,∴CH=BE又∵∠DCH=∠B=45º,CD=DB∴△CFD≌△BED∴∠ADC=∠BDE