《角的平分线的性质2》教案.docx

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《角的平分线的性质2》教案

12.3角的平分线的性质

第二课时

一、教学目标

（一）学习目标

1.了解角的平分线的判定定理||；

2.理解角平分线性质和判定的区别与联系||；

3.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.

（二）学习重点

角平分线的判定及其应用.

（三）学习难点

灵活应用角平分线的性质和判定解决问题.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）角平分线的判定定理：

角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上

（2）角平分线判定定理的符号语言：

∵PA⊥OM||，PB⊥ON||，PA＝PB

∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）

2.预习自测

（1）到角的两边距离相等的点在上.

（2）到三角形三边的距离相等的点是三角形（）

A.三条边上的高线的交点B.三个内角平分线的交点

C.三条边上的中线的交点D.以上结论都不对

（3）在△ABC中||，∠C=90°||，AD平分∠BAC||，BC=5cm||，BD=3cm||，则D到AB的距离是

________||，∠B=40°||，则∠CDA=.

预习自测答案：

（1）角平分线

（2）B（3）2cm||，65°

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）角的平分线性质定理的内容是什么？

其中题设、结论是什么？

[生]角的平分线上的点到角的两边的距离相等||；题设是一个点在角平分线上||，结论是这个点到角两边的距离相等.

（2）角平分线性质定理的作用是证明什么？

[生]证明垂线段相等

（3）填空如图：

∵OC平分∠AOB||，OA⊥AC||，OB⊥BC.

∴AC=BC（角平分线性质定理）

2.问题探究

探究一角平分线的判定

●活动①（回顾旧知||，回忆类活动）

把角平分线性质定理的题设、结论交换后||，得出什么命题？

猜想：

它正确吗？

由学生抢答||，然后师生归纳：

到角两边距离相等的点在角平分线上||；它是正确的.

【设计意图】由性质到判定强化二者的关系

●活动②证明上面的猜想

学生依据猜测写出已知、求证||，并画图||，而后独立写出证明过程.

展示学生的学习成果：

已知：

OM⊥PA于A||，ON⊥PB于B||，AP=BP

求证：

OC平分∠MON

证明：

∵PA⊥OM||，BP⊥ON

∴∠OAP=∠OBP=90°

在Rt△AOP和Rt△BOP中

∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）

∴∠1=∠2

∴OC平分∠MON

【设计意图】进一步巩固全等三角形的判定.

●活动③

归纳角平分线的判定定理：

到一角的两边的距离相等的点||，在这个角的平分线上.

∵PA⊥OM||，PB⊥ON||，PA＝PB

∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）

【设计意图】培养学生的归纳概括能力.

探究二角平分线性质和判定的区别与联系

●活动①

现有一条题目||，两位同学分别用两种方法证明||，他们的做法正确吗？

哪一种方法好？

已知：

CA⊥OA于A||，BC⊥OB于B||，AC=BC

求证：

OC平分∠AOB

证法1：

∵CA⊥OA||，BC⊥OB

∴∠A=∠B

在△AOC和△BOC中

∴△AOC≌△BOC（HL）

∴∠AOC=∠BOC∴OC平分∠AOB

证法2：

∵CA⊥OA于A||，BC⊥OB于B||，AC=BC

∴OC平分∠AOB（角平分线判定定理）

先让学生回答||，最后老师归纳：

两种方法都正确||，“方法2”好||，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出||，可直接运用角平分线判定定理.

【设计意图】让学生体会角平分线判定定理的作用.

●活动②

学生结合图形完善表中内容||，教师对个别学生教学指导.

题设

结论

作用

角平分线性质

角平分线判定

展示学生学习成果：

题设

结论

作用

角平分线性质

∠1＝∠2（OP平分∠MON）||，PA⊥OM||，

PB⊥ON

PA＝PB

证明垂线段相等

角平分线判定

PA⊥OM||，PB⊥ON||，

PA＝PB

∠1＝∠2（OP平分∠MON）

证明角相等（平分角）

【设计意图】为归纳角平分线的性质和判定的关系作铺垫.

●活动③

提问：

角平分线的性质和判定之间有什么关系？

先让学生回答||，最后由师生归纳：

角平分线性质的题设是角平分线判定的结论||，角平分线性质的结论是角平分线判定的题设||；角平分线性质的作用是证明线段相等||，角平分线判定的作用是证明平分角||；角平分线性质定理和角平分线判定定理是互为逆定理.

【设计意图】培养学生的归纳概括能力.

探究三利用角平分线的判定进行证明与计算

●活动①（基础性例题）

今天我们学习了关于角平分线的两个性质：

①角平分线上的点到角的两边的距离相等||；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性||，随着学习的深入||，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题||，我们可以直接利用角平分线的性质||，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．

例1.已知：

如图所示||，∠C＝∠C′＝90°||，AC＝AC′．

求证：

（1）∠ABC＝∠ABC′||；

（2）BC＝BC′（要求：

不用三角形全等判定）．

【知识点】角平分线的性质和判定.

【思路点拨】由条件∠C＝∠C′＝90°||，AC＝AC′||，可以把点A看作是

∠CBC′平分线上的点||，由此可打开思路．

【解题过程】

 证明：

（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知）||，

∴AC⊥BC||，AC′⊥BC′（垂直的定义）．

又∵AC＝AC′（已知）||，

∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．

∴∠ABC＝∠ABC′．

（2）∵∠C＝∠C′||，∠ABC＝∠ABC′||，

∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）

即∠BAC＝∠BAC′||，

∵AC⊥BC||，AC′⊥BC′||，

∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．

【设计意图】区别角平分线的性质和判定.

练习：

如图||，已知AB=AC||，DE⊥AB于E||，DF⊥AC于F||，且DE=DF.

求证：

BD=DC

【知识点】角平分线的判定||；三角形全等的判定和性质.

【思路点拨】由DE=DF||，可得∠BAD=∠CAD（角平分线的判定）||，则△ADB≌△ADC||，所以BD=CD

【解题过程】证明：

∵DE⊥AB||，DF⊥AC||，且DE=DF

∴∠BAD=∠CAD

又∵AB=AC||，AD=AD

∴△ADB≌△ADC

∴BD=CD

【设计意图】进一步加深对角平分线判定的认识.

●活动2（提升型例题）

例2．如图||，△ABC中||，点O是△ABC内一点||，且点O到△ABC三边的距离相等||；

∠A=40°||，则∠BOC=（　　）

A．110°B．120°C．130°D．140°

【知识点】角的平分线的判定||；角平分线的定义||；三角形内角和定理.

【思路点拨】由已知||，O到三角形三边距离相等||，得O是内心||，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC=的度数.

【解题过程】由已知||，O到三角形三边距离相等||，所以O是内心||，即三角形角平分线交点||，AO、BO、CO都是角平分线||，所以有∠CBO=∠ABO=

∠ABC||，∠BCO=∠ACO=

∠ACB||，∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°||，

∠OBC+∠OCB=70°||，∠BOC=180°−70°=110°故选A.

【答案】A

【设计意图】利用角平分线的判定求有关的角.

练习：

如图||，△ABC中||，点O是△ABC内一点||，且点O到△ABC三边的距离相等||；∠A=52°||，则∠BOC=（　　）

A．128°B．116°C．75°D．52°

【知识点】角的平分线的判定||；角平分线的定义||；三角形内角和定理.

【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=128°||，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等判断出点O是△ABC角平分线的交点||，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数||，然后在△OBC中||，利用三角形内角和定理列式进行计算即可得解．

【解答过程】解：

如图||，∵∠A=52°||，

∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°||，

∵点O到△ABC三边的距离相等||，

∴点O是△ABC角平分线的交点||，

在△OBC中||，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-64°=116°．

故答案为：

116°．

【答案】B

【设计意图】利用角平分线的判定求有关的角.

例3.已知：

如图||，AD、BE是△ABC的两个角平分线||，AD、BE相交于O点.

求证：

O在∠C的平分线上.

【知识点】角的平分线的性质与判定的综合应用.

【思路点拨】由AD、BE是△ABC的两个角平分线||，可以得到垂线段OG与ON相等||，OG与OM相等||，再由垂线段ON与OM相等||，得到O在∠C的角平分线上.

【解题过程】

证明：

过O作OG⊥AB||，OM⊥BC||，ON⊥AC||，

∵AO平分∠BAC||，∴OG=ON||，

∵BO平分∠ABC||，∴OG=OM||，

∴ON=OM||，

∴O在∠C的平分线上.

【设计意图】进一步理解角平分线的性质与判定的关系.

练习：

如图||，BP是△ABC的外角平分线||，点P在∠BAC的角平分线上．求证：

CP是△ABC的外角平分线．

【知识点】角的平分线的性质与判定的综合应用.

【思路点拨】根据角平分线的性质可得PD=PF||，PD=PE||，由此可得PE=PF||，根据角平分线的判定可得PC平分∠BCE

【解题过程】

证明：

过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF||，

∵BP是△ABC的外角平分线||，PD⊥AD||，PF⊥BC||，

∴PD=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）||，

∵点P在∠BAC的角平分线上||，PD⊥AD||，PE⊥AE||，

∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）||，

∴PF=PE||，PF⊥BC||，PE⊥AE||，

∴CP是△ABC的外角平分线（在角的内部||，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．

【设计意图】进一步理解角平分线的性质与判定的关系

●活动3（探究型例题）

例4.如图||，BE=CF||，DE⊥AB的延长线于点E||，DF⊥AC于点F||，且DB=DC||，

求证：

AD是∠BAC的平分线．

【知识点】全等三角形的判定和性质||；角平分线的判定定理.

【思路点拨】由BE=CF||，DB=DC||，可得Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）||，所以DE=DF||，根据平分线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线．

【解题过程】

证明：

∵DE⊥AB的延长线于点E||，DF⊥AC于点F||，

∴∠BED=∠CFD||，

∴△BDE与△CDF是直角三角形||，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF||，

∴DE=DF||，

∴AD是∠BAC的平分线．

【设计意图】进一步体会用角平分线的判定定理证明角相等.

练习：

如图||，在△ABC中||，D是BC的中点||，DE⊥AB||，DF⊥AC||，BE＝CF.求证：

AD是△ABC的角平分线.

【知识点】角平分线的判定||；三角形全等.

【思路点拨】由D是BC的中点||，BE＝CF||，可得Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）则DE=DF||，

所以AD是△ABC的角平分线.

【解答过程】

证明：

∵DE⊥AB||，DF⊥AC||，

∴△BDE和△CDF是直角三角形．

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）||，

∴DE=DF||，

又∵DE⊥AB||，DF⊥AC||，

∴AD是角平分线．

【设计意图】进一步体会用角平分线的判定证明角相等.

3.课堂总结

知识梳理（以课堂内容为根据||，结合教学目标的几点要求||，对涉及到的知识细致梳理）

（1）能证明角平分线判定定理||；

（2）理解角平分线的性质和判定的关系||；

（3）能利用角平分线的性质和判定进行证明和计算.

重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾||，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）

（1）理解角平分线性质与判定的关系||；

（2）灵活利用角平分线性质与判定解决线段和角有关的问题.

（三）课后作业

基础型自主突破

1．如图||，∠AOB=60°||，CD⊥OA于D||，CE⊥OB于E||，且CD=CE||，则∠DOC=_________.

【知识点】角平分线的判定

【思路点拨】由CD⊥OA||，CE⊥OB||，CD=CE||，可得∠AOC=∠BOC=30°

【解答过程】解：

∵CD⊥OA||，CE⊥OB||，CD=CE||，

∴∠AOC=∠BOC

∵∠AOB=60°||，

【答案】30°

2.如图||，在Rt△ABC中||，∠B=90°||，∠A=40°||，DE⊥AC且DB=DE||，则∠BCD=______.

【知识点】角平分线的判定||；三角形内角和定理。

【思路点拨】由∠B=90°||，∠A=40°||，可得∠ACB=50°由DE⊥AC||，AC⊥DE||，DB=DE||，可得∠ACD=∠BCD=25°

【解答过程】∵∠B=90°||，∠A=40°||，

∴∠ACB=50°||，

∵DE⊥AC||，AC⊥DE||，DB=DE||，

∴∠ACD=∠BCD=25°||，

即∠BCD=25°

【答案】25°

3．

（1）如图||，已知∠1=∠2||，DE⊥AB||，DF⊥AC||，垂足分别为E、F||，则．

（2）已知DE⊥AB||，DF⊥AC||，垂足分别为E、F||，且DE=DF||，则．

【知识点】角平分线的性质和判定定理

【思路点拨】

（1）由角平分线的性质可得DE=DF||；

（2）由角平分线的判定可得∠1=∠2.

【解答过程】

（1）∵∠1=∠2||，DE⊥AB||，DF⊥AC||，

∴DE=DF．

（2）∵DE⊥AB||，DF⊥AC||，DE=DF||，

∴∠1=∠2.

【答案】DE=DF．∠1=∠2．

4.已知PB||，PC分别是△ABC的外角平分线且相交于P．

求证：

P在∠A的平分线上（如图）．

【知识点】角平分线的性质和判定.

【思路点拨】过P点作PE||，PH||，PG分别垂直AB||，BC||，AC．由PB||，PC分别是△ABC的外角平分线可得PE=PH||，PH=PG||，所以PE=PG||，由此可得P点在∠A的平分线上．

【解答过程】

证明：

过P点作PE||，PH||，PG分别垂直AB||，BC||，AC．

∵PB||，PC分别是△ABC的外角平分线||，

∴PE=PH||，PH=PG||，

∴PE=PG．

∴P点在∠A的平分线上．

5.如图||，AB∥CD||，点P到AB、BC、CD距离都相等||，则∠P=°．

【知识点】角的平分线的判定||；角平分线的定义||；平行线的性质||；三角形内角和定理.

【思路点拨】由点P到AB、BC、CD距离都相等可得BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线||，再由AB∥CD||，可得∠ABC+∠BCD=180°||，即∠CBP+∠BCP=90°||，所以∠P=90°．

【解答过程】∵点P到AB、BC、CD距离都相等||，

∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线||，

∴∠CBP=

∠ABC||，∠BCP=

∠BCD

∴∠CBP+∠BCP=

（∠ABC+∠BCD）

∵AB∥CD||，

∴∠ABC+∠BCD=180°||，

∴∠CBP+∠BCP=

×180°=90°||，

∴∠P=180°-（∠CBP+∠BCP）=180°-90°=90°．

【答案】90

6.如图||，△ABC||，AD是△ABC的角平分线||，DE

⊥AB||，DF⊥AC||，垂足分别为E、F||，有下列四个结论：

①DA

平分∠EDF||；②AB=AC||；③AD上的点到B

、C两点

的距离相等||；

④到AE||，AF距离相

等的点到DE、DF的距离也相等．

其中正确的结论有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【知识点】角平分线的性质和判定、三角形全等

【思路点拨】由AD是△ABC的角平分线||，DE

⊥AB||，DF⊥AC可得DE=DF||，再由AD=AD||，DE=DF||，可得△ADE≌△ADF可得∠EDA=∠FDA.

【解答过程】∵AD是△ABC的角平分线||，DE

⊥AB||，DF⊥AC

∴DE=DF||，

又∵AD=AD

∴△ADE≌△ADF（HL）

∴∠EDA=∠FDA

即①正确||；

∴AD上的点到DE和DF的距离相等||，

∵AD上的点到AE和AF的距离也相等||，

即④正确

根据已知条件不能证明AB=AC||，AD上的点到B

、C两点

的距离相等也不成立.

【答案】B

能力型师生共研

1.如图||，在四边形ABCD中||，∠A=90°||，AD=5||，连接BD||，BD⊥CD||，

∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点||，则DP长的最小值为　

【知识点】角平分线的性质、直角三角形的性质、点到直线的距离

【思路点拨】根据垂线段最短||，当DP⊥BC时||，DP的长度最小||，易证∠ABD=∠CBD||，根据角平分线的判定定理可得AD=DP||，即DP长的最小值为5

【解答过程】

解：

当DP⊥BC时||，DP的长度最小||，

∵BD⊥CD||，即∠BDC=90°||，又∠A=90°||，

∴∠A=∠BDC||，又∠ADB=∠C||，

∴∠ABD=∠CBD||，又DA⊥BA||，DP⊥BC||，

∴AD=DP||，又AD=5||，

∴DP=5．

【答案】5

2．已知：

如图||，

||，

是

的中点||，

平分

．

（1）若连接

||，则

是否平分

？

请你证明你的结论．

（2）线段

与

有怎样的位置关系？

请说明理由．

【知识点】角平分线的性质和判定||；平行线的性质和三角形内角和定理

【思路点拨】

（1）过点M作ME⊥AD于点E||，再根据角平分线的性质得到MC=ME||，由M为BC的中点可得MC=MB即得ME=MB||，再结合MB⊥AB||，ME⊥AD即可证得结论||；

（2）根据角平分线的性质可得

||，由∠B=∠C=90º可得AB//CD||，即可得到∠ADC+∠BAD=180º||，再根据角平分线的性质求解即可.

【解答过程】

（1）

平分

．

证明：

过点

作

||，垂足为

．

（角平

分线上的点到角两边的距离相等）．

又

||，

．

平分

（

到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．

（2）

||，理由如下：

（垂直于同一条直线的两条直线平行）．

（两直线平行||，同旁内角互补）

又

||，

（角平分线定义）

．即

．

探究型多维突破

1.如图||，△ABC中||，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于P||，PE⊥AC于E||，若△ABC的周长为12||，PE=2||，S△BPC=3||，则S△ABC=______．

【知识点】角平分线的性质和三角形面积.

【数学思想】利用割补法求三角形面积.

【思路点拨】过点P作PF⊥BC于F||，作PG⊥AB于G||，根据角平分线的性质可得PF=PG=PE=2||，△BCP的高为2||，则BC长为3||，AC+AB=9||，则四边形ABPCD的面积为9（把四边形ABPCD沿AP分成两个三角形—割补法）||，从而S△ABC=6

【解题过程】

如图||，过点P作PF⊥BC于F||，作PG⊥AB于G||，

∵∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于P||，

∴PF=PG=PE=2||，

∵S△BPC=3||，

∴

BC•2=3||，解得BC=3||，

∵△ABC的周长为12||，∴AC+AB=12-3=9||，

∴S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BCP=

×9×2-3=9-3=6．

故答案为：

6．

2.如图||，PB丄AB||，PC丄AC||，且PB=PC||，D是AP上的一点||，

求证：

∠BDP=∠CDP

【知识点】角平分线的判定定理||；全等三角形的判定和性质.

【思路点拨】去证明∠BDP和∠CDP（或∠BDA和∠CDA）所在的两个三角形全等.【解题过程】

证明:

∵PB⊥AB||，PC⊥AC||，PB=PC

∴∠BAD=∠CAD

在Rt△ABP和Rt△ACP中||，

∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL）||，

∴AB=AC

在△ABD和△ACD中||，

∵AB=AC||，∠BAD=∠CAD||，AD=AD||，

∴△ABD≌△ACD（SAS）||，

∴∠BDA=∠CDA

∴∠BDP=∠CDP

自助餐

1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（　）

A.三条中线的交点B.三条高的交点

C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点

【知识点】角平分线的判定定理.

【思路点拨】到角两边的距离相等的点在角平分线上.

【解答过程】解：

如图||，∵OE=OF||，OE⊥BC||，OF⊥AB

∴O在∠B的平分线上||，

同理可得O在∠A的平分线上||，O在∠C的平分线上||，

∴O为三条角平分线的交点.

【答案】D

2．如图||，AD⊥OB||，BC⊥OA||，垂足分别为D、C||，AD与BC相交于点P||，若PA=PB||，则∠1与∠2的大小是（　　）

A.∠1=∠2B．∠1＞∠2

C．∠1＜∠2

D．无法确定

【知识点】角平分线的判定定理和三角形全等的性质和判定

【思路点拨】易证△PCA≌△PDB（AAS）||，由此可得CP=DP||，根据角平分线的判定定理可得∠1=∠2.

【解答过程】∵AD⊥OB||，BC⊥OA||，

∴∠ACP=∠BDP=90°

∵∠APC=∠BPD||，CP=DP

∴△PCA≌△PDB（AAS）||，

∴CP=DP||，

∴∠1=∠2.

【答案】A

3．如图||，已知PA⊥ON于点A||，PB⊥OM于点B||，且PA＝PB||，∠MON＝50°||，∠OPC＝30°||，则∠PCA＝．

【知识点】角平分线的判定||；三角形的外角性质

【思路点拨】由PA⊥ON||，PB⊥OM||，PA＝PB||，可得∠NOP=∠MOP=25°||，则∠PCA=∠NOP+∠OPC=55°

【解答过程】解：

∵PA⊥ON||，PB⊥OM||，PA＝PB||，

∴∠NOP=∠MOP=25°||，

∵∠PCA=∠NOP+∠OPC=25°+30°=55°

【答案】55°

4．如图||，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是50、60、70||，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形||，则S△ABO：

S△BCO：

S△CAO等于______．

【知识点】角平分线的性质定理和三角形的面积.

【思路点拨】过点O作OD⊥AC于D||，OE⊥AB于E||，OF⊥BC于F||，O是三角形三条角平分线的交点||，可得OD=OE=OF||，OE||，O