函数性质的综合问题考点和题型归纳.docx

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函数性质的综合问题考点和题型归纳

函数性质的综合问题考点和题型归纳

考点一函数的单调性与奇偶性

[典例]

（1）（2017全·国卷Ⅰ）函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数．若－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（）

f

（1）＝

A．[－2,2]

B．[－1,1]

C．[0,4]

D．[1,3]

（2）函数y＝f（x）在[0,2]上单调递增，

且函数f（x＋2）是偶函数，则下列结论成立的是

（）

A．f

（1）

75

B．f2

（1）

C．f72

（1）

D．f52

（1）

[解析]

（1）∵f（x）为奇函数，

∴f（－x）＝－f（x）．

∵f

（1）＝－1，∴f（－1）＝－f

（1）＝1.

故由－1≤f（x－2）≤1，得f

（1）≤f（x－2）≤f（－1）．又f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，

∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.

（2）∵函数y＝f（x）在[0,2]上单调递增，且函数f（x＋2）是偶函数，

∴函数y＝f（x）在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上函数y＝f（x）满足f（2－x）＝f（2＋x），

75∴f

（1）＝f（3），f2

75即f2

（1）

[答案]

（1）D

（2）B

[解题技法]

函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路

（1）解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同

的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．

f（x1）>f（x2）或

（2）解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成

f（x1）

数的影响．

［题组训练］

1．已知函数f（x）满足以下两个条件：

①任意x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2，（x1－x2）·f（［x1）－f（x2）］<0；②对定义域内任意x有f（x）＋f（－x）＝0，则符合条件的函数是（）

A．f（x）＝2xB．f（x）＝1－|x|

C．f（x）＝－x3D．f（x）＝ln（x2＋3）

解析：

选C由条件①可知，f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则可排除A、D选项，由条

件②可知，f（x）为奇函数，则可排除B选项，故选C.

2．（2018·石家庄一模）设f（x）是定义在［－2b,3＋b］上的偶函数，且在［－2b,0］上为增函数，则f（x－1）≥f（3）的解集为（）

A．［－3,3］B．［－2,4］

C．［－1,5］D．［0,6］

解析：

选B因为f（x）是定义在［－2b,3＋b］上的偶函数，

所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，

由函数f（x）在［－6,0］上为增函数，得f（x）在（0,6］上为减函数，故f（x－1）≥f（3）?

f（|x－

1|）≥f（3）?

|x－1|≤3，故－2≤x≤4.

考点二函数的周期性与奇偶性

［典例］（2017山·东高考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋4）＝f（x－2）．若当x∈［－3,0］时，f（x）＝6－x，则f（919）＝.

［解析］∵f（x＋4）＝f（x－2），

∴f（x＋6）＝f（x），∴f（x）的周期为6，

∵919＝153×6＋1，∴f（919）＝f

（1）．

又f（x）为偶函数，∴f（919）＝f

（1）＝f（－1）＝6.

[答案]6

[解题技法]

已知f（x）是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．

[题组训练]

31．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝－fx＋2，且f

（1）＝2，则f（2018）＝

3333解析：

因为f（x）＝－fx＋2，所以f（x＋3）＝fx＋2＋2＝－fx＋2＝f（x）．

所以f（x）是以3为周期的周期函数．

则f（2018）＝f（672×3＋2）＝f

（2）＝f（－1）＝－f

（1）＝－2.

答案：

－2

2．已知f（x）是定义在R上以3为周期的偶函数，若f

（1）<1，f（5）＝2a－3，则实数a的取值范围为．

解析：

∵f（x）是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f（5）＝f（5－6）＝f（－1）＝f

（1），∵f

（1）<1，

f（5）＝2a－3<1，即a<2.

答案：

（－∞，2）

考点三函数性质的综合应用

[典例]

（1）（2018全·国卷Ⅱ）已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）．若f

（1）＝2，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋⋯＋f（50）＝（）

A．－50B．0

C．2D．50

31

（2）定义在R上的奇函数f（x）满足fx＋2＝f（x），当x∈0，2时，f（x）＝log1（1－x），则

222

3

f（x）在区间1，2内是（）

B．减函数且f（x）<0

D．增函数且f（x）<0

A．减函数且f（x）>0

C．增函数且f（x）>0

[解析]

（1）法一：

∵f（x）是奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

∴f（1－x）＝－f（x－1）．

由f（1－x）＝f（1＋x），得－f（x－1）＝f（x＋1），

∴f（x＋2）＝－f（x），

∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），

∴函数f（x）是周期为4的周期函数．由f（x）为奇函数得f（0）＝0.又∵f（1－x）＝f（1＋x），∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f

（2）＝f（0）＝0，∴f（－2）＝0.

又f

（1）＝2，∴f（－1）＝－2，

∴f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＝f

（1）＋f

（2）＋f（－1）＋f（0）＝2＋0－2＋0＝0，

∴f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＋⋯＋f（49）＋f（50）

＝0×12＋f（49）＋f（50）

＝f

（1）＋f

（2）＝2＋0＝2.

π

法二：

由题意可设f（x）＝2sin2x，作出f（x）的部分图象如图所示．由图可知，f（x）的一个周期为4，所以f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋⋯＋f（50）＝12[f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）]＋f（49）＋f（50）＝12×0＋f

（1）＋f

（2）＝2.

（2）当x∈0，21时，由f（x）＝log1（1－x）可知，f（x）单调递增且f（x）>0，又函数f（x）为奇

22

13

函数，所以f（x）在区间－2，0上也单调递增，且f（x）<0.由fx＋2＝f（x）知，函数的周期为33

2，所以在区间1，2上，函数f（x）单调递增且f（x）<0.

[答案]

（1）C

（2）D

[解题技法]

（1）函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；偶函数一定有f（|x|）＝f（x）”在解题中的应用．

（2）解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区

间，再利用奇偶性和单调性求解．

[题组训练]

1．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），且在[0,2）上单调递减，则下列结论正确的是（）

A．0

（1）

（1）

C．f

（1）<0

（1）<0

解析：

选C由函数f（x）是定义在R上的奇函数，得f（0）＝0.

由f（x＋2）＝－f（x），

得f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），

故函数f（x）是以4为周期的周期函数，

所以f（3）＝f（－1）．

又f（x）在[0,2）上单调递减，

所以函数f（x）在（－2,2）上单调递减，

所以f（－1）>f（0）>f

（1），

即f

（1）<0

2．已知函数y＝f（x）的定义域为R，且满足下列三个条件：

①对任意的x1，x2∈[4,8]，当

fx1－fx2

x10恒成立；②f（x＋4）＝－f（x）；③y＝f（x＋4）是偶函数．若a＝f（6），x1－x2

b＝f（11），c＝f（17），则a，b，c的大小关系正确的是（）

A．a

C．a

解析：

选B由①知函数f（x）在区间[4,8]上单调递增．由②知f（x＋8）＝－f（x＋4）＝f（x），所以函数f（x）的周期为8，所以b＝f（11）＝f（3），c＝f（17）＝f（2×8＋1）＝f

（1）．由③可知f（x）的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f（11）＝f（3）＝f（5），c＝f

（1）＝f（7）．因为函数f（x）在区间[4,8]上单调递增，所以f（5）

[课时跟踪检测]

A级

1．（2019长·春质检）下列函数中，既是奇函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（）

A．y＝ex＋e－x

B．y＝ln（|x|＋1）

sinx

C．y＝|x|

1D．y＝x－x

解析：

选D选项A，

B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在（0，＋∞）上不是

11

单调递增函数，不符合题意；选项D中，y＝x－x是奇函数，且y＝x和y＝－x在（0，＋

1

∞）上均为增函数，故y＝x－x在（0，＋∞）上为增函数，所以选项D正确．

x

2．下列函数中，与函数

1

y＝21x－2x的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（）

A．y＝cosx

1

B．y＝x3

C．y＝x1

x

－x2，x≥0，

D．y＝2

x2，x<0

1

解析：

选D函数y＝2x－2x为奇函数，且在R上单调递减．函数y＝cosx是

11偶函数，且在R上不单调．函数y＝x3是奇函数，但在R上单调递增．函数y＝x

的定义域是{x|x≠0}，不是

－x2，x≥0，

R.画出函数y＝的大致图象如图所示，

x2，x<0

可知该函数是奇函数，且在

R上单调递减．故选D.

55

3．已知定义在R上的奇函数f（x）有fx＋2＋f（x）＝0，当－4≤x≤0时，f（x）＝2x＋a，则f（16）的值为（）

1

1

A.2

B．－2

C.3

C.2

D．－2

55

解析：

选A由fx＋2＋f（x）＝0，得f（x）＝－fx＋2＝f（x＋5），

∴f（x）是以5为周期的周期函数，

∴f（16）＝f（1＋3×5）＝f

（1）．

∵f（x）是R上的奇函数，

∴f（0）＝1＋a＝0，∴a＝－1.

∴当－≤x≤0时，f（x）＝2x－1，4

－11

∴f（－1）＝2－1－1＝－2，

11

∴f

（1）＝2，∴f（16）＝2.

4．已知函数f（x）是奇函数，在（0，＋∞）上是减函数，且在区间［a，b］（a

［－3,4］，则在区间［－b，－a］上（）

B．有最小值－4

则不等式f（log2x）>2的解集为（）

B.0，12∪（2，＋∞）

解析：

选B因为f（x）是R上的偶函数，且在（－∞，0］上是减函数，

所以f（x）在［0，＋∞）上是增函数，

1所以f（log2x）>2＝f

（1）?

f（|log2x|）>f

（1）?

|log2x|>1?

log2x>1或log2x<－1?

x>2或0

3

1

1

A．

f32

4

1

1

3

B．

f

4

4

2

3

1

－1

C．

f32

－4

D．

f－

14

3

4

2

4

解析：

选C因为f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以函数的周期为4，

作出f（x）的草图，如图，由图可知f32

5

7．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1－x），则f－2＝.

55111解析：

f－2＝f－2＋2＝f－2＝－f2＝－2.

1

答案：

－12

8．（2018·合肥二模）设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈［0,1］时，f（x）＝log2（x＋1），则函数f（x）在［1,2］上的解析式是．

解析：

令x∈［－1,0］，则－x∈［0,1］，结合题意可得f（x）＝f（－x）＝log2（－x＋1），

令x∈［1,2］，则x－2∈［－1,0］，故f（x）＝log2［－（x－2）＋1］＝log2（3－x）．

故函数f（x）在［1,2］上的解析式是f（x）＝log2（3－x）．

答案：

f（x）＝log2（3－x）

19．已知定义在R上的奇函数y＝f（x）在（0，＋∞）内单调递增，且f2＝0，则f（x）>0的

解集为．

1

解析：

由奇函数y＝f（x）在（0，＋∞）内单调递增，且f2＝0，可知函数y＝f（x）在（－∞，

1110）内单调递增，且f－2＝0.由f（x）>0，可得x>2或－2

11答案：

x－22

10．已知函数f（x）为偶函数，且函数f（x）与g（x）的图象关于直线y＝x对称，若g（3）＝2，则f（－2）＝.

解析：

因为函数f（x）与g（x）的图象关于直线y＝x对称，且g（3）＝2，所以f

（2）＝3.因为函

数f（x）为偶函数，所以f（－2）＝f

（2）＝3.

答案：

3

11．设f（x）是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f（1＋x）＝f（1－x），当－1≤x≤0

时，f（x）＝－x.

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）试求出函数f（x）在区间［－1,2］上的表达式．

解：

（1）∵f（1＋x）＝f（1－x），∴f（－x）＝f（2＋x）．

又f（x＋2）＝f（x），∴f（－x）＝f（x）．

又f（x）的定义域为R，∴f（x）是偶函数．

（2）当x∈［0,1］时，－x∈［－1,0］，则f（x）＝f（－x）＝x；

从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f（x）＝f（x－2）＝－（x－2）＝－x＋2.

－x，x∈［－1，0］，

故f（x）＝x，x∈0，1，

－x＋2，x∈［1，2］.

12．设函数f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x.

（1）求f（π的）值；

（2）当－4≤x≤4时，求函数f（x）的图象与x轴所围成图形的面积．

解：

（1）由f（x＋2）＝－f（x）得，f（x＋4）＝f［（x＋2）＋2］＝－f（x＋2）＝f（x），

所以f（x）是以4为周期的周期函数，

所以f（π＝）f（－1×4＋π＝）f（π－4）＝－f（4－π＝）－（4－π）＝π－4.

（2）由f（x）是奇函数且f（x＋2）＝－f（x），

得f［（x－1）＋2］＝－f（x－1）＝f［－（x－1）］，即f（1＋x）＝f（1－x）．

故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称．

又当0≤x≤1时，f（x）＝x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）的图象如图所示．

当－4≤x≤4时，设f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，

1

则S＝4S△OAB＝4×2×2×1＝4.

B级

1．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，则（）

A．f（0）>f（log32）>f（－log23）

B．f（log32）>f（0）>f（－log23）

C．f（－log23）>f（log32）>f（0）

D．f（－log23）>f（0）>f（log32）

解析：

选C∵log23>log22＝1＝log33>log32>0，且函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，

∴f（log23）>f（log32）>f（0），又函数f（x）为偶函数，∴f（log23）＝f（－log23），

∴f（－log23）>f（log32）>f（0）．

2．定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）＋f（x＋2）＝0，且f（4－x）＝f（x）．现有以下三种叙述：

18是函数f（x）的一个周期；

2f（x）的图象关于直线x＝2对称；

3f（x）是偶函数．

其中正确的序号是．

解析：

由f（x）＋f（x＋2）＝0，得f（x＋2）＝－f（x），

则f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），

即4是f（x）的一个周期，8也是f（x）的一个周期，故①正确；

由f（4－x）＝f（x），得f（x）的图象关于直线x＝2对称，故②正确；

由f（4－x）＝f（x）与f（x＋4）＝f（x），

得f（4－x）＝f（－x），f（－x）＝f（x），

即函数f（x）为偶函数，故③正确．

答案：

①②③

1

3．设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1，x2∈0，2，都有f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2）．

11

（1）设f

（1）＝2，求f2，f4；

（2）证明：

f（x）是周期函数．

1xx

解：

（1）由f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2），x1，x2∈0，2，知f（x）＝f2·f2≥0，x∈[0,1]．

11111

∵f

（1）＝f2＋2＝f2·f2＝f22，f

（1）＝2，

1

111f＝f＋f2＝f4＋4

12，

4，

12＝22，

∴f14＝24

（2）证明：

依题设，y＝f（x）关于直线x＝1对称，∴f（x）＝f（2－x）．

又∵f（－x）＝f（x），∴f（－x）＝f（2－x），∴f（x）＝f（2＋x），

∴f（x）是定义在R上的周期函数，且2是它的一个周期．