初中数学竞赛辅导讲义.docx
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初中数学竞赛辅导讲义
初中数学竞赛辅导讲义（初三）
第一讲分式的运算
［知识点击］
1、分部分式：
真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、综合除法：
多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、分式运算：
实质就是分式的通分与约分。
［例题选讲］
例1•化简x^4r^+厂只+厂九
1+1—
（x2）（x3）（x3）（x4）
11,1
—十
x1x2x2
1,11
十—
x3x3x4
例2.
xykz
（1）解：
易知：
-一-=-―z=-一z=k贝yxzky
（2）
亠zyx
=2或x+y+z=Oyzkx（3）
（1）+
（2）+（3）得:
（k-2）（x+y+z）=0k
若k=2贝9原式=k3=8
若x+y+z=0,则原式二k3=-1
例3.设
21，求
xmx1
ftx
1422
xmx
的值。
1
解：
显然
2
X0,由已知x
mx1“
=1,
x
贝yx+丄=
x
m+1
422
.xmx1
…2
x
+1）2-2
x
-m2
2
•••原式二一
2m1
=（m+1）2-2-m2=2m-1
例4.已知多项式3x3+ax2+3x+1能被x2+1整除，求a的值
解:
1-a=0二a=1
例5:
设n为正整数，求证
1
1
1
1
+
+…
....+
v
131
5
（2n
1）（2n1）
2
证：
左边
=1
（1-
11
-1+••…
•+1-
1）
2
3
3
5
2n1
2n1
1
（1-
1
）
2
2n
1
•••n为正整数,
2n1
•••1-
故左边V
2n1
［小结归纳］
1、部分分式的通用公式:
1
x（xk）
2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K,将连等式化为若
干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法，应熟练掌握。
［巩固练习］
1、若分式2m二的值是正整数，则整数m=
m1
2、若a2
a3
a4=a1a3
a4=a1a2
a4,
=a1a2a3
-k
a1
a2
a3
a4
则k=
0
3、已知
a2-3b
2=2ab.（a
>0,b>0）,则
a
2b=
a
b
4、已知
a、b、
c是有理数,
且ab-1,-
bc
=1ca_
=-，贝y——
abc
ab3b
c
4ca
5ab
bc
ca
5、若丄
1
-2006，则.
xxyy=
0
x
y
2x6019xy2y
6、实数
a、b满足ab=1，设A=+—
B=』+-
b+1，则
A、
B的关系
1a
1b
1a
1b
7、当a、
b、c为何值时，多项式
x43x3
3x2ax
b能被除数x23x
2整除
8、计算
20072007
20071521
5200772007
9、已知
（x2
x2x3
3x2）（x3）X
求A、B、C的值。
10、若对于
3以外的一切实数
X，
等式
代均成立,
mn二
11、已知a
b
第二讲分式方程及应用
［知识点击］
1、解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程；
2、解分式的方程的常用方法有：
换元法、整体法、通分法等；
3、分式方程广泛应用于生活实际中，要注意未知数的值既要是原方程的根，又要与实际意义相符
［例题选讲］
例1.
解方程组Xy
9
y
5
xy
10
yx
18
66
=n,
2m5n18
9m10n66
易求：
y
可得：
6
n
5
例2.
解方程44
7x5
x1
x84x30
x6x7
解：
原方程可化为
两边分别通分：
（x2）（x1）（x7）（x6），易求：
“=4
1
x2
111
x1x7x6
例3.当m为何值时，关于x的方程2口--—1的解为正数
xx2x1x2
解：
解方程可得:
x=12m，需:
2可得m<1且伊-3
例4.设库池中有待处理的污水a吨，从城区流入库池的污水按每小时b吨的固定流量增加，若同时幵动
2台机组需30小时处理完污水，同时启动4台机组需10小时处理完污水，若要求在5小时内将污水处理完毕，那么至少要同时幵动多少台机组
解：
设1台机组每小时处理污水y吨，要在5小时内处理完污水，至少同时幵动x台机组，贝V:
a30b230y
a30ya5b
a10b410y可得X>7
by5y
a5b5xy
例5.求证对任意自然数n，有1^2$v2
23n
证明：
当n=1时，1v2显然成立。
111n（n1）n1n
［点评归纳］
1、当某个代数式在一个问题中多次反复出现时，我们可以把这个代数式当作一个整体去替换，使问题简化；
2、假分式构成的分式方程一般先分离整数，然后等式两边分别通分可解。
3、解分式方程要注意验根，在求分式方程中待定字母的值时往入容易忽略这一点
［巩固练习］
1、某同学用一架不等臂天平称药品，第一次将左盘放入50g砝码，右盘放药品使天平平衡，第二次将右
盘放入50g砝码，左盘放药品使天平平衡，则两次称得药品总质量（）
A、等于100gB、大于100gC、小于100gD、都有可能
2、用大小两部抽水机给麦田浇水，先用两部抽水机一起抽水2小时，再用小抽水机单独抽水1小时即可
浇完，已知单独用小抽水机所用时间是大抽水机单独抽水所需时间的1丄倍，求两部抽水机单独浇完这块
2
麦田各需多少小时
3、解方程三7x2x30=2x3"x236x45
x2x132x27x20
5、某工厂将总价2000元的甲种原料与总价4800元的乙种原料混合后，其平均价格比原甲种原煤料每斤少3元，比原乙种原料每斤多1元，问混合后的单价。
7、已知f（x）2x37x2m有因式2x3，则:
m=
第三讲一元二次方程的解法
［知识点击］
1、一元二次方程的常规解法有：
直接幵平方、配方法、因式分解及求根公式法
2、对于复杂的一元二次方程往往要借助换元法、和差构造法等。
3、含有字母系数的一元二次方程一般要分类型讨论。
4、设而不求是研究一元二次方程公共解的基本方法。
［例题选讲］
例1.解方程
2
X
2
X
2
X-2X
113
x116
解：
令
2
XX
2
X
y嗨解得
yi
y2
2
X
2
X
号，解得X1
1,X2,3
15
例2.解方程3x25x8-
3x25x1=1
解：
T（3x25x8+-3x25x1）（.3x25x8-3x25x1）=7
•I3x25x8+3x25x1=7①
又3x25x8-3x25x1=1②
①+②：
一3x25x8=4
易知：
X2=1X2=-
3
例3:
已知m是方程X2-2007X+1=0的一个不为0的根
求m2-2006m+竽乙的值m1
解：
Tm为方程的非零根，「・m2-2007m+1=0
可得m2=2007m-1,m+丄=2007,m2+1=2007m
m
原式=2007m-1-2006m+-200L=m+1-1=2007-1=2006
2007mm
例4、设a>b为实数，那么a2+ab+b2-a-2b的最小值为多少
解：
原式：
二a2+（b-1）a+（b2-2b）
=（a+・）2+3（b-1）2-1
24
当a=ob=1时，最小值为-1
例5:
解方程m2（x2-x+1）-m（x2-1）=（m2-1）x
解：
原方程整理为：
m（m-1）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=0
[mx-（m+1）[（m-1）x-m]=0
mx=m+1或（m-1）x=m
1）当mHO,mM1时，x1二—1,x2=m
mm1
2）m=0,x=0
3）m=1时x=2
例6:
方程（2007x）2-2006X2008X-1=0的较大根为m,方程2006x2-2007X+1=0的较小根为n,求n-m的值解：
方程①可化为（20072X+1）（X-1）=0
1
X=———X2=1VX2>X•••m=1
20072
方程②可化为（2006X-1'）（X-1）=0
1
Xi=--^X2=1
•••XivX2
2006
2006
-1=-
2006
2005
2006
［点评归纳］
1、有的方程某部分重复出现，或经过变形后产生重复出现的式子，可通过换元使方程简化而便于求解。
2、含有两个无理根式且可化为一元二次方程的方程，若两个无理式的有理化因式与它的乘积等于一个常数，这时通常可用平方差公式构造两个无理式的和与它们的差，从而加减消去一个根式，可使方程简化并求解。
3、一元一次方程的根是满足方程的未知数的值，由此得到的等式是许多代数式求值的依据，要灵活运用
［巩固练习］
1、解方程：
2x2^2，-3X--=
xx
2、解方程：
—X7+_X5=
UX32（X41
3、解方程：
x2-|2X-1|-4=
4、三个二次方程ax2+bx+c=O,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0
有公共根，求证a+b+c=0
5、已知a、b、c均为实数，且满足.a22a1+|b+1|+（c+2）2=0
试求方程ax2+cx-b=0的解
6、求证方程（a-b）x2+（b-c）x+c-a=0（a^b）有一个根为1。
7、设方程x2+px+q二的两根为X、％，且11=xi+X2I2=x；+x；
In=X；+xn则当n>3时，求In+PIn-l+qln-2+的值。
8、证明：
不论X为何实数，多项式2x4-4x2-1的值总大于x4-2x2-4的值。
9、已知a2-4a+b2-b+65=0，则a2-4.b=
216
10、已知mn为有理数，方程x+mx+n=0有一个根为J5-2，求m+n的值。
11、已知m2=m+5，n2=n+5，m^n，求m5+n5的值.
12、二次方程a（x+1）（x+2）+b（x+2）（x+3）+c（x+3）（x+1）=13、解关于x的方程（m-1）x+2mx+m+3=0
第四讲根的判别式及根与系数的关系
［知识点击］
1、设一元二次方程ax2+bx+c=0（a^0）的两根为X、X2，贝Uax2+bx+c=a（X-X1）（X-X2）=ax2-
a（X1+X2）X+aX%
X1+X2=-bX1X2=—这两个式子即为一兀二次方程
aa
根与系数的关系。
要注意，方程有两个实数根是两根关系式存在的前提，即通常要考虑az0、△>0
这两个前提条件。
2、一元二次方程根的判别式源自求根公式，常记作厶二b2-4ac，使用的前提是方程为一元二次方程，即二
次项系数az0,它是解决一元二次方程整数解的工具。
3、使用根的判别式及根与系数的关系时，常常涉及到完全平方数、整数性质、因式分解、因数分解等重
要知识与方法。
[例题选讲]
例1:
已知一直角三角形三边分别为a、b、c,/B=90°,那么关于X的方程a（X2-1）-2CX+b（X2+1）
=0的根的情况如何
解:
方程整理为:
（a+b）X2-2CX+b-a=0
△=4（C2+a2-b2）
•••/B=90°•••C2+a2=b2
•••△=0，原方程有两个相等实根
例2：
求所有正实数a,使得方程X2-aX+4a=0仅有正整数根
Xy
-4（
（x
+y）=0
（
x-4）
（y-4）=16
x
4
4
这时x
=y=8a=
x+y
=16
y
4
4
x
4
2
这时
x6
a=
x+y
=18
y
4
8
y12
x
4
1
这时
x5
a=
x+y
=25
y
4
16
y20
例3:
已知12VmV60,且一元二次方程X2-2（m+1）x+m2=0,两个整数根，求整数m,并求这两个整数根。
•••X=m+1±.2m1为整数•••2m+1必为完全平方数
•••V12mV60,二25V2m+1v121v2m+1为奇数
二2m+1=49或2m+1=81
则m1=24时，X=32,%=18
m2=40时，X=50,X2=32
例4:
设a、b、c是互不相等的非零实数，求证三个方程，aX2+2bx+c=0bX2+2cx+a=0
CX2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根。
证明
（一）：
假设三个方程都有两个相等的实数根。
（1）+
（2）+（3）:
2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0
（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
有a=b=c,这与已知条件矛盾
所以三个方程不可能都有两个相等的实数根•
证明
（二）:
Ai+A2+A3=2[（a+b）2+（b-c）2+（c-a）
•••a、b、c为全相等二Ai+A2+A3>0
A1+A2+A3中至少有一个大于0
即至少有一个方程有两个不相等的实数根。
例5:
已知、是方程X2-7X+8=0的两根，且>
不解方程，利用根与系数的关系求-+32的值。
2来构造和差求解
分析：
由+B=72=8直接求-+3B"的值无法下手，这时，我们常用对偶式-+3
+=7
2
=8
22/
-+=（
+）2-2
=72-2
x8=33
（-
）2=（
+）2-4
=72-4
x8=17
=.17
令m2+32,构造M的对偶式N=2+3
M+N=（-+-）+3（2+B2）=100-①
4
M-N=（---）+3（2-2）=-85.17②
4
（①+②）+2得M=4038517
8
［点评归纳］
1运用一元二次方程根的判别式时，常与配方法结合使用，这时应考虑非负数的性质
4、运用根与系数的关系求整数解时，因式分解法及分离整数法是求不定方程整数解的常用方法。
5、利用对偶式构造和差法是代数式求值时重要的变形技巧，应灵活运用。
［巩固练习］
1、方程X2+PX+q=0的两个根都是正整数，且P+q=1996,试问方程较大根与较小根之比为多少
2、已知一元二次方程aX2+bx+c=0（ac丰0）有两个异号实根m和n,且mV|m|，那么二次方程CX2+
（m-n）ax-a=0的根的情况是（）
A、没有实根B、两根同正C、两根同负D、两根异号
3、关于X的二次方程2X2-5X-a=0的两根之比，X：
X2=2:
3
则Xi-X2=4、若方程X2-4（m-1）X+3m2-2m+4K=0,对于任意有理数m都有有理根，求实数K的值
5、求方程x+y=X2—xy+y2+1的实数解6、若对于任何实数a,关于X的方程，X2-2ax-a+2b=0都有实根则实数b的取值范围是（）
7、若m是不为0的整数，当二次方程mX2-（m-1）X+1=0有有理根时，则m=（）
8、方程|X2-5X|=a有且只有相异二实根，求a的取值范围
9、关于X的方程aX2+2（a-3）x+（a-2）至少有一个整数解且a是整数，求a的值。
10、已知X、X是关于X的方程4X2-（3m-5）x-6m2=0的两个实根，且|丕|=-试求m的值.
x22
11、设方程4X2-2X-3=0的两个根为m、n，求4m2+2n的值.
12、若a、b、c都是实数，且a+b+c=0，abc=1贝U
a、b、c中必有一个大于-.
2
13、设a2+2a-1=0b4-2b2-1=0且ab2工1贝9（ab?
"1）2007二
14、已知a>b为整数，且a>b，方程3X2+3（a+b）X+4ab=0的两根、满足关系式（+1）
+（+1）=（+1）（+1），试求所有的整数对（a、b）
15、关于X的方程，X2+（a-6）X+a=0的两根均为整数，求a.
16、已知X、X2是方程4aX2-4ax+a+4=0的两个实根
（1）是否能适当选取a的值，使是（X-2X2）（X2-2X1）的值为-
4
22
（2）求使生+生二的值为整数的整数a的值.
x1x2
17、求证：
对于任意一矩形A总存在矩形B,使得矩形A和矩形B的周长之比和面积之比都等于常数K（其中K>1）
第五讲：
一元二次方程的应用
［知识点击］
1、一元二次方程的应用问题，诸如：
数字问题、面积问题、增长率问题、方案设计问题等，综合运用一
元二次方程的有关知识，是各类考试与竞赛的重要考点，须认真领会。
2、形如AX2+Bxy+cy2+DX+Ey+F的各项式叫做关于X、y的二元二次多项式，常见的分解方法有双十字相乘
法、待定前数法、公式法等。
公式法是先将原式整理成关于X（或y）的二次三项式，再运用求根公式。
3、非一次不定方程主要掌握两种情况：
二次三项式左边分解成两个因式的乘积，右边分解因数求整数解；
分式不定方程，采用整数离析法求整数解。
4、可化为一元二次方程的分式方程要注意方程的特点进行有效的变形，像X+l=a+丄这类特殊类型的方
xa
程，显然a1时，Xi=a与X,=-就是它的两个根。
无理方程通过配方、换元、分解转化为有理方程来
a
解。
［例题选讲］
例1:
m为何值时，二次三项式x2+2x-2+m（x2-2x+1）是完全平方式
解：
原式=（m+1）X2+2（1—m）x+（m—2）
令△=（）,即4（1-m）2-4（m+1）（m-2）=0解得m=3
例2:
分解因式X2+xy-2y2-x+7y-6
解:
X2+xy-2y2=（x—y）（x+2y）
•■-设原式=（x—y+m）（x+2y+n）
=X2+xy-2y2=（m+n）x+（2m—n
mm1
比较对应项系数2mn72
m3
mn6
••原式=（x—y+2）（x+2y—3）
例3:
在矩形地ABC冲央修建一矩形EFGH花圃，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周的道路宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度
解：
设道路宽X，AB=a，AD=b，（a>b），贝U
12
（a-2X）（b-2X）二一ab，8x-4（a+b）x+ab=0
2
解得x=一[（a+b）±a2b2]
4
若乂=—[（a+b）+a2b2]，则x>一（b+b+2b）>—
442
这不可能，舍去这个根。
则乂=1[（a+b）—a2b2]
4
量法是：
用绳量出AB+BC（即a+b之长），从中减法BD（即..a2b2）；将剩下的绳长对折两次即
得到道路宽度X。
例4:
m为何值时，关于X的分式方程—_+―+2=0只有一个根
x1xm
解：
原方程整理为2x2-（1-m）x=O
（1）当厶=（1-m）2=0时,m=1,方程有两个等根x=0经验符合题意
（2）当mH1时,Xi=0X2=旦」有一个为增根
2
代入公分母（X+1）（X-m）中可得m=0式m=-1
所以m=-1或m=0或m=1时，原方程只有一个实根。
例5:
解方程4x=12寸
7Vx
—io
解：
令y=4x则y二•y2-7y+12=0yi=3y2=4
7y
代入y=4x得：
x1=81x2=256
例6:
xy表示一个十位数字为X,个位数字为y的两位整数，且xiy满足条件X2-y2=5X,则此两位
整数是多少
解：
由X2-y2=5X得y2=x（x-5）
Tx、y均为整数，二5x9
经验证，只有当x=5时，y=0,两位数为50
x=9时，y=6,两位数为96
例7:
方程X2+PX+q=0的两根均为正整数，且p+q=28,求方程的两根。
解：
设X2+PX+q=0的两根为Xi,x2.则xi+x2=-Pxi+x2=q
代入p+q=28中（xi-1）（x2-1）=29
由X111
x2129
得x12由x1129得x13°所以原方程两根为2、30
x230
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