点线面之间的位置关系的知识点总结.docx
《点线面之间的位置关系的知识点总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《点线面之间的位置关系的知识点总结.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
点线面之间的位置关系的知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结
第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1平面含义：
平面是无限延展的
2平面的画法及表示
（1）平面的画法：
水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的
2倍长（如图）
（2）平面通常用希腊字母a、B、y等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC平面ABCD等。
3三个公理：
（1）公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为
公理1作用：
判断直线是否在平面内
（2）公理2:
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：
AB、C三点不共线=>有且只有一个平面a,使A€a、B€a、C€a。
公理2作用：
确定一个平面的依据。
（3）公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：
P€aQB=>aPp=L，且P€L
公理3作用：
判定两个平面是否相交的依据
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1空间的两条直线有如下三种关系：
f相交直线：
同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线Y
l平行直线：
同一平面内，没有公共点；
异面直线：
不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：
设a、b、c是三条直线
a//b
2公理4：
平行
=>a//c
强调：
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4作用：
判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4注意点：
1a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与0的选择无关，为简便，点0—般取在两直线中的一条上;
2两条异面直线所成的角（0，）;
3当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a丄b;
4两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
5计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内一一有无数个公共点
（2）直线与平面相交一一有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行一一没有公共点
指岀：
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aa来表示―
aaaQa=AaIla
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：
线线平行，则线面平行。
符号表示：
aa.j.-■■■
bB=>a,Ia
aIb-■
2.2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
符号表示：
aB匸
bB匸
aQb=PB/Ia
ala
b//a
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3—
1、定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：
线面平行则线线平行。
符号表示：
a//ar
a匸BaIbaQB=b丿
作用：
利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：
如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
a//B
aQY=aa//to
BQy=b-
作用：
可以由平面与平面平行得岀直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
1、定义
如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线
L与平面a互相垂直，记作
L丄a,直线L叫做平面a的
2、
垂线，平面a叫做直线L的垂面。
如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足
注意点:
判定定理:
b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
1、
3、
二面角的概念：
表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
\
异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）•一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.
［例1］在正方体ABCD-^B1C1D1中,0是底面ABCD勺中心，MN分别是棱DD1>
D1C1的中点，则直线0M（）.
A.是AC和MN的公垂线.B.垂直于AC但不垂直于MN.C.垂直于MN但不垂直于AC.D.与AC、MN都不垂直.错解:
B.
错因：
学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.
正解：
A.
［例2］如图，已知在空间四边形
ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,
分别是
BC,CD上的点，且
BG
GC
DH
HC
占
八、、■
错解：
证明：
E、F分别是AB,AD的中点，
丄
EFIIBD,EF=2BD,
2,求证：
直线EG,FH,AC相交于
四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,
DC2,F分别是AD.AC与FH交于一点.
直线EG,FH,AC相交于一点
正解：
证明：
E、F分别是AB,AD的中点，
1
EF//BD,EF=2BD,
又GCDC
又BGDH乂GCHC
1
GH//BD,GH=3BD,
四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,
EG平面ABC,FH平面ACD,
T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,TAC,直线EG,FH,AC相交于一点T.
［例3］在立方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）找出平面AC的斜线BD在平面AC内的射影;
（2）直线BD和直线AC的位置关系如何？
（3）直线BD和直线AC所成的角是多少度？
解：
⑴连结BD,交AC于点ODD1平面AC,BD就是斜线BD1在平面AC上的射影
（2）BDi和AC是异面直线.
⑶过O作BDi的平行线交DDi于点M,连结MA、MC，则/MOA或其补角即为异面直线AC和BDi所成的角不难得到MA=MC，而O为AC的中点，因此MO丄AC,即/MOA=90°,
•••异面直线BDi与AC所成的角为90°.
［例4］a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面（）.
A•有且只有一个
B
.一个面或无数个
C•可能不存在
D
•可能有无数个
错解：
A.
错因：
过a与b垂直的平面条件不清.
正解：
C.
［例5］在正方体ABCD—ABCC中,
E、F分别是棱ABBC的中点,
O是底面ABCD勺中点.求证:
EF垂直
平面BBO.
证明：
如图，连接ACBD,贝UO为AC和BD的交点.
•/E、F分别是ABBC的中点，
•••EF>△ABC的中位线，•••EF//AC.
•/BiB丄平面ABCD,AC平面ABCD
•AC丄BB,由正方形ABCD知：
AC丄B0,
又B0与BB是平面BBO上的两条相交直线，
•AC丄平面BBO（线面垂直判定定理）•/AC//EF,
•EF丄平面BBO.
［例6］如图，在正方体ABCD-ABiGD中，E是BB的中点，0是底面正方形ABCD的中心，求证:
面ACD.
分析：
本题考查的是线面垂直的判定方法•根据线面垂直的判定方法，要证明面ACD内找两条相交直线与0E垂直.
证明：
连结BD、AD、BD，在△BiBD中，
•/E,0分别是BB和DB的中点，
•E0//BiD.
•/BA面AADD,
•DA为DB在面AADD内的射影.
又•••ADAiD,
•ADDB
同理可证BDDC.
又•••ADCD1D1,AD,DiC面ACD,
•BD平面ACD.
•/BD//0E,
•••OE平面ACD.
点评：
要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法.在证明线线垂直
时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定
理的应用.
[例7].如图，正方体ABCD-ABCD中，点N在BD上,点M且CM=DN求证:
MN//平面AABiB.
证明：
证法一.如图，作ME/BC,交BB于E,作NF//AD,交AB于F,连平面AABiB.
在BC上,
EF则EF
MEBNNF
■BC"BDaD,ME=NF
又ME/BC//AD//NF,MEFt为平行四边形
MIN/EF.MN//平面AABB.
P,连BiP,则BP
DN
CN
NDCsNBP,
NB
NP.
证法二.如图,连接并延长
CN交BA延长线于点
CM又CM=DN,BC=BD,Mb?
MN//b?
p.
BiP平面AABiB,
MN/平面AABiB.
平面AABiB.
DNCNNBNP-
证法三.如图，作MP//BB,交BC于点P,连NP.
MP/BB,
CMCPMBiPB.
BD=BC,DN=CM,BN.
NP//CD//AB.面MNP/面AABiB.
MN/平面AABiB.
点、线、面之间的位置关系单元测试
第i题.下列命题正确的是（）
A.经过三点确定一个平面
E.经过一条直线和一个点确定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
答案：
D.
第2题.如图，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别
是AB,BC,CD,DA的中点.
求证：
四边形EFGH是平行四边形.
答案：
证明：
连接BD.
因为EH是厶ABD的中位线，
1
所以EH//BD，且EHBD
2
1
同理，FG//BD，且FGBD.
2
因为EH//FG，且EHFG.
所以四边形EFGH为平行四边形.
第3题.如图，已知长方体ABCDABCD中，AB2.3，AD2、_3，AA2.
（1）BC和AC所成的角是多少度？
（2）AA和BC所成的角是多少度？
答案：
（1）45;
（2）60.
第4题.下列命题中正确的个数是（）
1若直线I上有无数个点不在平面内，则I//.
2若直线I与平面平行，则I与平面内的任意一条直线都平行.
3如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.
4若直线I与平面平行，则I与平面内的任意一条直线都没有公共点.
A.0B.1C.2D.3
答案：
B.
第5题.若直线a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是（）
A.内的所有直线与a异面
B.内不存在与a平行的直线
C.内存在唯一的直线与a平行
D.内的直线与a都相交
答案：
B.
第6题.已知a，b，c是三条直线，角a//b，且a与c的夹角为，那么b与c夹角为
答案：
第7题.如图，AA是长方体的一条棱，这个长方体中与AA垂直的棱共条.
答案：
8条.
第8题.如果a，b是异面直线，直线c与a，b都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有个.
答案：
2个.
第9题.已知两条相交直线a,b,a//平面则b与的位置关系是.
答案：
b//a，或b与a相交.
第10题.如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？
如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？
答案：
3个，3个.
第11题.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM与ED平行.②CN与BE是异面直线.
③CN与BM成60?
角.④DM与BN垂直.
以上四个命题中，正确命题的序号是（）
A.①，②，③E.②，④
C.③，④D.②，③，④
答案：
C.
第12题.下列命题中，正确的个数为（）
1两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；
2平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；
3过空间四边形ABCD的顶点A引CD的平行线段AE，则BAE是异面直线AB与CD所成的角;
4四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形
A.0
B.
1
C.2
D.3
答案：
E.
第13题.
在空间四边形
ABCD中，N
，M
分别是BC,AD的中点，贝U2MN与ABCD的大小关系
是
.答案:
2MNAB
CD
第14题.
已知a，b是一
对异面直线，且
a,
b成70°角，P为空间一定点，则在过P点的直线中与a,b所成
的角都为
70°的直线有
条'
答案：
4.
第15题.已知平面//,P是平面，外的一点，过点P的直线m与平面，分别交于A,C两点,
过点P的直线n与平面，分别交于B，D两点，若PA6,AC9，PD8，
24
则BD的长为•答案：
24或
5
第16题.空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若
ACBDa，且AC与BD所成的角为90°，则四边形EFGH的面积是.
12
答案：
丄a2.
4
第17题.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DQ，GB的中点，ACIBDP，
AGIEFQ.求证:
（1）D,B,F,E四点共面；
（2）若AiC交平面DBFE于R点，贝UP,Q,R三点共线.答案：
证明：
如图.
（1）QEF是厶D.3G的中位线，EF//BQ,.
在正方体ACi中，BD//BD,EF//BD.
EF确定一个平面，即D,B,F,E四点共面.
（2）正方体ACi中，设AACCi确定的平面为
QQA1C1，Q.又QEF，Q
则Q是与的公共点，IPQ.
又ACIR，RAC.
，又设平面BDEF为
第21题.三条直线相交于一点，可能确定的平面有（）
A.1个B.2个C.3个D.1个或3个
答案：
D.
第22题.下列命题中，不正确的是（）
1一条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；
2每两条都相交但不共点的四条直线一定共面；
3两条相交直线上的三个点确定一个平面；
4两条互相垂直的直线共面.
D.②与④
）
D.不平行直线
A.①与②E.③与④C.①与③
答案：
E.
第23题.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（
A.异面直线E.相交直线C.不相交直线
答案：
D.
第24题.在长方体ABCDAiBiCiDi中，点0,Oi分别是四边形ABCD,A,BiCiDi的对角线的交点，点
E,F分别是四边形AA|DiD，BBiCiC的对角线的交点，点G，H分别是四边形AiABBi，GCDDi的对
刁
1
角线的交点.
求证：
△OEGOiFH.Di
答案：
证明：
如图，连结ADi，AC，CDi，CiAi，CiB，BAi.
1i
由三角形中位线定理可知0E丄Cd,，O,F丄BA.
22
又BA,丄CD,，二OE丄OiF•同理可证EG丄FH.
由等角定理可得OEGO,FH
•••△OEGQFH
第25题.
若a，b是异面直线，b，c也是异面直线，则
A.异面
E.相交或平行
C.
平行或异面
答案：
D.
第26题.
a，
b是异面直线，A，
B是a上两点，C，
中点，则
MN和a的位置关系是（
）
A.异面直线
E.平行直线
C.
相交直线
a与c的位置关系是（）
D.相交或平行或异面
D是b上的两点，M,N分别是线段AC和BD的
D.平行、相交或异面
答案：
A.
第27题.如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中
1BM与ED平行；
2CN与BE是异面直线；
3CN与BM成60角；
4DM与BN垂直.
以上四个命题中，正确命题的序号是（）
A.①②③E.②④C.③④D.②③④
答案：
C.
第28题.直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（
A.—条直线不相交
E.两条直线不相交
C.任意一条直线不相交
D.无数条直线不相交
答案：
C.
第29题.如果直线a平行于平面，则（）
A.平面内有且只有一直线与a平行
E.平面内有无数条直线与a平行
c.平面内不存在与a平行的直线
D.平面内的任意直线与直线a都平行答案：
E.
升级会员 