人教版 九年级数学上册 223实际问题与二次函数 同步优化训练五含答案.docx

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人教版九年级数学上册223实际问题与二次函数同步优化训练五含答案

22.3实际问题与二次函数同步优化训练（五）

1．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：

销售单价x（元/千克）

55

60

65

70

销售量y（千克）

70

60

50

40

（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；

（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？

最大利润是多少？

2．2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：

第x天

1

2

3

4

5

销售价格p（元/只）

2

3

4

5

6

销量q（只）

70

75

80

85

90

物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200（6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．

（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；

（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；

（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围为　　．

3．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

（利润＝销售价﹣进价）

4．某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．

（1）求a，b的值；

（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？

（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在

（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．

5．某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．

（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；

（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？

（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）

（3）根据市场调查，以单价650元销售

（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？

最大利润是多少？

6．某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．

（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．

（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在

（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？

最大为多少万元？

（利润＝收入﹣成本）

7．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：

7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．

（1）当9天购买一次配料时，分别写出该厂第8天和第9天剩余配料的重量；

（2）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？

（3）设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y（元）关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？

[提示：

（x＞0）]．

8．星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；

（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；

（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．

9．商场对某种商品进行市场调查，1至6月份该种商品的销售情况如下：

①销售成本p（元/千克）与销售月份x的关系如图所示：

②销售收入q（元/千克）与销售月份x满足

；

③销售量m（千克）与销售月份x满足m＝100x+200；

试解决以下问题：

（1）根据图形，求p与x之间的函数关系式；

（2）求该种商品每月的销售利润y（元）与销售月份x的函数关系式，并求出哪个月的销售利润最大？

10．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：

每投入x万元，可获得利润P＝

（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：

在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：

每投入x万元，可获利润

（万元）．

（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？

（3）根据

（1）、

（2）该方案是否具有实施价值？

参考答案

1．解：

（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：

，

解得：

．

∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180．

（2）由题意得：

（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，

整理得：

x2﹣140x+4800＝0，

解得x1＝60，x2＝80．

答：

为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．

（3）设当天的销售利润为w元，则：

w＝（x﹣50）（﹣2x+180）

＝﹣2（x﹣70）2+800，

∵﹣2＜0，

∴当x＝70时，w最大值＝800．

答：

当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．

2．解：

（1）根据表格数据可知：

前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系为：

p＝x+1，1≤x≤5且x为整数；

q＝5x+65，1≤x≤5且x为整数；

（2）当1≤x≤5且x为整数时，

W＝（x+1﹣0.5）（5x+65）

＝5x2+

x+

；

当6≤x≤30且x为整数时，

W＝（1﹣0.5）（﹣2x2+80x﹣200）

＝﹣x2+40x﹣100．

即有W＝

，

当1≤x≤5且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，

故当x＝5时，W有最大值为：

495元；

当6≤x≤30且x为整数时，

W═﹣x2+40x﹣100＝﹣（x﹣20）2+300，

故当x＝20时，W有最大值为：

300元；

由495＞300，可知：

第5天时利润最大为495元．

（3）根据题意可知：

获得的正常利润之外的非法所得部分为：

（2﹣1）×70+（3﹣1）×75+（4﹣1）×80+（5﹣1）×85+（6﹣1）×90＝1250（元），

∴1250m≥2000，

解得m≥

．

则m的取值范围为m≥

．

故答案为：

m≥

．

3．解：

（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：

y＝kx+b，

将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：

，

解得：

，

故函数的表达式为：

y＝﹣2x+220；

（2）设药店每天获得的利润为w元，由题意得：

w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800，

∵﹣2＜0，函数有最大值，

∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，

故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．

4．解：

（1）由题意得：

，

解得：

．

∴a＝1，b＝30；

（2）由

（1）得：

y＝x2+30x，

设A，B两城生产这批产品的总成本为w，

则w＝x2+30x+70（100﹣x）

＝x2﹣40x+7000，

＝（x﹣20）2+6600，

∵a＝1＞0，

由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．

答：

A城生产20件，B城生产80件；

（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，

则从A城运往D地的产品数量为（20﹣n）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣n）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，

由题意得：

，

解得10≤n≤20，

∴P＝mn+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n），

整理得：

P＝（m﹣2）n+130，

根据一次函数的性质分以下两种情况：

①当0＜m≤2，10≤n≤20时，P随n的增大而减小，

则n＝20时，P取最小值，最小值为20（m﹣2）+130＝20m+90；

②当m＞2，10≤n≤20时，P随n的增大而增大，

则n＝10时，P取最小值，最小值为10（m﹣2）+130＝10m+110．

答：

0＜m≤2时，A，B两城总运费的和为（20m+90）万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和为（10m+110）万元．

5．解：

（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．

∴OH＝AB＝3，

∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，

∴E（0，1），D（2，0），

∴该抛物线的函数表达式为：

y＝kx2+1，

把点D（2，0）代入，得k＝﹣

，

∴该抛物线的函数表达式为：

y＝﹣

x2+1；

（2）∵GM＝2，

∴OM＝OG＝1，

∴当x＝1时，y＝

，

∴N（1，

），

∴MN＝

，

∴S矩形MNFG＝MN•GM＝

×2＝

，

∴每个B型活动板房的成本是：

425+

×50＝500（元）．

答：

每个B型活动板房的成本是500元；

（3）根据题意，得

w＝（n﹣500）[100+

]

＝﹣2（n﹣600）2+20000，

∵每月最多能生产160个B型活动板房，

∴100+

≤160，

解得n≥620，

∵﹣2＜0，

∴n≥620时，w随n的增大而减小，

∴当n＝620时，w有最大值为19200元．

答：

公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元．

6．解：

（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，

当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，

则

解得：

∴z＝﹣

x+19，

∴z关于x的函数解析式为z＝

（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，

①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，

∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；

②当12＜x≤20时，

w＝（﹣

x+19﹣10）（5x+40）

＝﹣

x2+35x+360

＝﹣

（x﹣14）2+605，

因为﹣

＜0，

∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．

综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．

7．

（1）解：

第8天剩余配料200×9﹣200×7＝400（千克），

第9天剩余配料200×9﹣200×8＝200（千克），

答：

该厂第8天和第9天剩余配料的重量分别是400千克，200千克．

（2）解：

当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用

P＝70+0.03×200×（1+2）＝88（元），

答：

当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是88元．

（3）解：

①当x≤7时，

y＝360x+10x+236＝370x+236；

②当x＞7时，

y＝360x+236+70+6[（x﹣7）+（x﹣8）+…+2+1]，

＝3x2+321x+432．

∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为W元

当x≤7时，W＝

，

当x＞7时，W＝

，

当x≤7时

，当且仅当x＝7时，W有最小值

（元），

当x＞7时

＝

，

∴当x＝12时W有最小值393元，

答：

该厂在这x天中用于配料的总费用y（元）关于x的函数关系式是y＝370x+236（x≤7）y＝3x2+321x+432（x＞7），该厂12天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少．

8．解：

（1）y＝30﹣2x（6≤x＜15）．

（2）设矩形苗圃园的面积为S

则S＝xy＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，

∴S＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，

由

（1）知，6≤x＜15，

∴当x＝7.5时，S最大值＝112.5，

即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5．

（3）∵这个苗圃园的面积不小于88平方米，

即﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥88，

∴4≤x≤11，

由

（1）可知6≤x＜15，

∴x的取值范围为6≤x≤11．

9．解：

（1）根据图形，知p与x之间的关系符合一次函数，故可设为p＝kx+b，

∴

，

解得：

，

∴p与x的函数关系式为p＝﹣x+10；

（2）根据题意得：

月销售利润y＝（q﹣p）m＝[（﹣

x+15）﹣（﹣x+10）]（100x+200），

化简得：

y＝﹣50x2+400x+1000＝﹣50（x﹣4）2+1800，

∴4月份的销售利润最大．

10．解：

（1）∵每投入x万元，可获得利润P＝﹣

（x﹣60）2+41（万元），

∴当x＝60时，所获利润最大，最大值为41万元，

∴若不进行开发，5年所获利润的最大值是：

41×5＝205（万元）；

（2）前两年：

0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，

所以x＝50时，P值最大，即这两年的获利最大为：

2×[﹣

（50﹣60）2+41]＝80（万元），

后三年：

设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为100﹣a，

∴Q＝﹣

[100﹣（100﹣a）]2+

[100﹣（100﹣a）]+160＝﹣

a2+

a+160，

∴y＝P+Q＝[﹣

（a﹣60）2+41]+[﹣

a2+

a+160]＝﹣a2+60a+165＝﹣（a﹣30）2+1065，

∴当a＝30时，y最大且为1065，

∴这三年的获利最大为1065×3＝3195（万元），

∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：

80+3195＝3275（万元）．

（3）有很大的实施价值．

规划后5年总利润为3275万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值．