高社杯全国大学生数学建模竞赛C题.docx
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高社杯全国大学生数学建模竞赛C题
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古塔变形
摘要：
本文研究古塔变形问题，通过对问题背景及附件资料进行进一步地分析，
采用数据拟合、求平均值等办法整顿出具备科学性分析数据。
通过对建筑物位移监测数据解决办法研究，釆用自回归模型对位移监测数据进行解决，依照建立模型对详细建筑物监测点位移变化量进行预报。
通过计算分析，依照位移量之间变化关系而建立自回归预测模型具备较高拟合及预测精度，运用三维坐标系和数学软件将古塔模型以空间模型形式体现出来，直观且科学，对于研究古塔变形具备较高科学性和说服性。
再通过三维坐标之间回归和三维坐标与时间回归而分析出古塔倾斜，弯曲，扭曲等变形状况，通过数学软件计算及列表列图办法将成果直观体现，通过大量计算与分析，运用儿何和代数办法将古塔变形量以数学方式阐明。
对于分析古塔变形趋势中，运用了位移差和位移残差平方公式等量及与时间关系来阐明其变形趋势。
对于问题一，通过对监测数据分析，得出此塔为八边形塔，并通过平均值法求出古塔各层中心坐标，详细见表
（一）。
对于问题二，通过问题一对变形监测数据研究和解决，咱们组运用了自回归模型办法，运用Z和X,Y之间回归关系，咱们运用数学软件计算求出al和a2,并通过代数及其儿何关系，求出每年监测出古塔倾斜角度。
详细见图
（2）和表
（2）。
对于问题中弯曲问题，咱们用古塔中点高度发生变化多少来表达弯曲限度，山于弯曲限度重要是随着时间变化而变化，因此咱们用时间和变形监测数据进行回归拟合得出AZ（表达古塔弯曲限度），通过数学软件大量计算，用列表方式将每次监测所得每层弯曲限度表达出来，详细见表（3）。
对于问题中扭曲问题，咱们用第一层作为基层，即不扭动层，其她层相对于一层扭动了多少度来阐明古塔扭曲限度。
为了这一阐明，咱们取每一层第一点和第五点作直线。
并将每一层直线与第一层直线做对比，求出两直线之间夹角，并用此夹角来阐明除第一层以外每一层相对于第一层扭动了多少度。
以此角度大小来体现古塔扭曲限度。
详细见表（4）
对于问题三，是分析古塔变形趋势，依照监测变形数据和位移与时间及波动稳定性关系，列出了一种时期对上一时期位移差，看出古塔变形趋势是向哪个方向，详细见图（5）。
再通过位移平方差公式，对古塔整体变形趋势波动进行分析,并结合时间等因素推算出古塔变形趋势在增长。
详细见表（5）。
核心词：
变形数据拟合平均值自回归模型位移变化三维坐标系数学软件儿何代数办法位移差位移平方差
一、问题重述
1.1基本状况：
某古塔在国内已有上千年历史，是国内重点保护文物。
但山于长时间受到自重、气温、风力、地震、飓风影响，古塔浮现了各种变形，如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔，文物部门需要适时对古塔进行观测，理解各种变形量，以制定必要保护办法，因而管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、3月和3月对该古塔进行了4次观测。
1.2需解决问题：
问题一：
依照附件1提供4次观测数据，给出拟定古塔各层中心位置通用办
法，并列表给出各次测量古塔各层中心坐标。
问题二：
运用数学模型和所得数据分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形状况。
问题三：
分析该塔变形趋势。
二、问题分析
2.1问题一分析：
对于问题一，通过观测所给数据，每一层8个观测点都位于古塔每层八个角落。
据此，将古塔每一层类似看做一种正八边形，可用求正八边形中点办法来拟定古塔每一层中点坐标。
通过所给每层观测数据，分别求X,Y,Z坐标平均值,近似作为古塔各层中心坐标。
2.2问题二分析：
对于问题二，重要是研究古塔倾斜，弯曲，扭曲等变形量，据此分三点来分析问题二。
对于倾斜，重要是三维坐标中X,Y轴对于Z轴倾斜角度，即是对中心轴倾斜角度，而第一题已经对每年监测数据进行了总结，得出每次监测各层中心坐标，故运用X,Y与Z自回归模型，再通过代数和儿何关系，求出每年古塔X,Y轴倾斜角度，并加以阐明，详细成果见表
（2）。
对于弯曲，重要是要找出能表达弯曲限度量，通过查找变形量详细分析资料，懂得弯曲重要是中点高度（Z）发生了变化，列出时间和每层中心坐标回归拟合，并且通过数学软件计算，得出弯曲限度△乙并列出表直观阐明，易于比较。
详细成果见表（3）。
对于扭曲变量，通过matldb软件做出古塔空间图形，及查找了扭曲问题
分析资料，咱们最后采用以第一层为基层，其她层相对于古塔扭曲度数，重要是通过每层两个点算出每层斜率，再通过斜率公式算出角度，以此阐明古塔每次扭曲限度变化及大小。
详细见表（4）
2.3问题三分析：
对于该塔变形趋势，通过第一题和第二题，已将古塔变形位置中心和变形量进行了详细分析。
本题要分析变形趋势，详细是从古塔各中心点在各个时期位移变化量，通过列位移残差公式，得出该塔变形趋势。
见图（5）。
再通过整体位移残差平方公式，得到古塔每层在某个时期变形趋势波动，详细见表（5）。
三、问题假设
1.
假设该塔为正八边形塔
2.
假设该塔底层不扭曲变形
3.
假设监测该塔时后两次变化了监测位置
4.
假设地质变动对古塔无影响
四、建立模型及求解
（-）
符号阐明：
1ZA|为古塔与X轴构成角度
2ZA2为古塔与Y轴构成角度
3Z为中点高度
4AZ来表达古塔弯曲限度
5Bi为表达两直线夹角
6AX为X轴位置偏移量
7AY为Y轴位置偏移量
8AZ1为Z轴位置偏移量
9AS2为古塔整体位置偏移平方差
10i为古塔层数
11t为从1886年开始所通过时间
（二）模型建立及求解
3.1对问题1求解
依照数据中给出各层各个点坐标值，可把古塔每一层类似当作一种正八边形。
依照数学逻辑和模型，正八边形中心坐标可用平均值法求出，故塔中心坐标为
（X,Y,Z）。
附件一是每次测量出古塔各层各个点坐标，通过平均值法整顿数
据，得出如下成果：
表
（一）
1986
1996
1
X
566.8377
566.665
566.7268
566.727
Y
522.7105
522.7102
522.7015
522.7014
Z
1.787375
1.783
1.7645
1.76325
2
X
566.7196
566.7205
566.764
566.7642
Y
522.6684
522.6674
522.6693
522.669
Z
7.32025
7.314625
7.309
7.2905
X
566.7735
566.7751
566.8001
566.8004
3
Y
522.6273
522.6256
522.6384
522.6387
z
12.75525
12.75075
12.73225
12.72688
4
X
566.8161
566.8183
566.8293
566.8297
Y
522.5944
522.5922
522.6132
522.6127
Z
17.07825
17.07513
17.06975
17.052
5
X
566.8621
566.8649
566.8604
566.861
Y
522.5591
522.5563
522.5866
522.586
Z
21.7205
21.716
21.70938
21.70388
6
X
566.9084
566.9118
566.9471
566.9478
Y
522.5244
522.521
522.5342
522.5335
Z
26.23513
26.2295
26.211
26.2045
7
X
566.9468
566.9506
566.9792
566.98
Y
522.5081
522.5042
522.5123
522.5115
Z
29.83688
29.83225
29.82463
29.817
8
X
566.9843
566.9884
567.0305
567.0313
Y
522.4924
522.4881
522.4797
522.4788
Z
33.35088
33.34538
33.33988
33.33663
9
X
567.0218
567.0265
567.0816
567.0825
Y
522.4764
522.4714
522.4466
522.4457
Z
36.85488
36.84825
36.84375
36.82225
10
X
567.0569
567.062
567.137
567.1381
Y
522.4624
522.4572
522.3937
522.3926
Z
40.17213
40.16763
40.16113
40.14413
11
X
567.1045
567.1102
567」799
567.181
Y
522.423
522.4173
522.3547
522.3535
Z
44.44088
44.43538
44.43263
44.42488
12
X
567.1518
567.1578
567.2225
567.2238
Y
522.3836
522.3775
522.316
522.3147
Z
48.71188
48.70738
48.69975
48.68388
13
X
567.085
567.0912
567.2712
567.2725
Y
522.7403
522.734
522.2715
522.2701
Z
52.83429
52.83
52.81838
52.81313
塔尖
X
567.2473
567.2544
567.336
567.3375
Y
522.2438
522.2367
522.2148
522.2135
Z
55.12325
55.11975
55.091
55.087
其中X=（xl+x2+……+x8）/8得来,Y,Z值同理。
通过mntlab做出古塔模型图片:
下图
（1）
图
（1）
3・2对问题二求解：
对于古塔倾斜，弯曲、扭曲等变形状况分析，第一题通过科学分析和数学逻辑思维，用平均值法对建筑物位置监测数据进行总结，得岀各个时期各个层中心坐标值，通过这些数据，运用过对建筑物位移监测数据解决办法研究，采用自回归模型对位移监测数据进行解决，依照建立模型对详细建筑物监测点位移变化量进行预报。
通过计算分析，对古塔变形状况进行阐明。
3.2.1关于古塔倾斜问题，咱们建立了空间直角坐标（如上图1）对此进行了讨论，发现古塔与X轴构成角度为NA】，与Y轴构成角为ZA2o因而建立了Zi八与XY自回归模型如下式①，且ZA^arctanai,ZA2=arctanazo
从问题一中所求得平均值可得出下图2：
1986
（1）
1996（11）
X
Y
Z
X
Y
Z
566.8377
522.7105
1.787375
566.665
522.7102
1.783
566.7196
522.6684
7.32025
566.7205
522.6674
7.314625
566.7735
522.6273
12.75525
566.7751
522.6256
12.75075
566.8161
522.5944
17.07825
566.8183
522.5922
17.07513
566.8621
522.5591
21.7205
566.8649
522.5563
21.716
566.9084
522.5244
26.23513
566.9118
522.521
26.2295
566.9468
522.5081
29.83688
566.9506
522.5042
29.83225
566.9843
522.4924
33.35088
566.9884
522.4881
33.34538
567.0218
522.4764
36.85488
567.0265
522.4714
36.84825
567.0569
522.4624
40.17213
567.062
522.4572
40.16763
567.1045
522.423
44.44088
567.1102
522.4173
44.43538
567.1518
522.3836
4&71188
567.1578
522.3775
48.70738
567.085
522.7403
52.83429
567.0912
522.734
52.83
567.2473
522.2438
55.12325
567.2544
522.2367
55.11975
a2
al
aO
a2
al
aO
13.15844
112.1343
-70421.4
32.12952
115.3736
-82169.8
（24）（11
（26）
X
Y
z
X
z
Y
566.7268
522.7015
1.7645
566.727
522.7014
1.76325
566.764
522.6693
7.309
566.7642
522.669
7.2905
566.8001
522.6384
12.73225
566.8004
522.6387
12.72688
566.8293
522.6132
17.06975
566.8297
522.6127
17.052
566.8604
522.5866
21.70938
566.861
522.586
21.70388
566.9471
522.5342
26.211
566.9478
522.5335
26.2045
566.9792
522.5123
29.82463
566.98
522.5115
29.817
567.0305
522.4797
33.33988
567.0313
522.4788
33.33663
567.0816
522.4466
36.84375
567.0825
522.4457
36.82225
567.137
522.3937
40.16113
567.1381
522.3926
40.14413
567.1799
522.3547
44.43263
567.181
522.3535
44.42488
567.2225
522.316
48.69975
567.2238
522.3147
48.68388
567.2712
522.2715
52.81838
567.2725
522.2701
52.81313
567.336
522.2148
55.091
567.3375
522.2135
55.087
a2
al
a0
a2
al
aO
10.62587
92.54033
-57992.7
9.617655
91.59094
-56927.7
图2
因而，在所观测4年里古塔对于X轴和Y轴倾斜角度如下表
（2）
1986
（1）
1996（11）
（24）
（26）
A
89.48905
89.5034
89.381
89.37446
4
85.65405
89.999
84.6236
84.064
表
（2）
山分析和计算得出每次监测时对中心轴倾斜角度均有变大趋势，古塔变形
不容小觑。
3.2.2弯曲
关于古塔弯曲，咱们考虑到古塔弯曲后，中点高度会发生变化，即Z发生
了变化，故咱们用AZ来表达古塔弯曲限度，即
详细计算值如下表（3）
1986
（1）
1996（11）
层数
z
z
△z
z
z
△z
1
1.787375
1.788956
0.001581
1.783
1.779195
-0.0038
2
7.32025
7.32203
0.00178
7.314625
7.312763
-0.00186
3
12.75525
12.75789
0.00264
12.75075
12.74644
-0.00431
4
17.07825
17.0805
0.00225
17.07513
17.07242
-0.00271
5
21.7205
21.72117
0.00067
21.716
21.71515
-0.00085
6
26.23513
26.23764
0.00251
26.2295
26.2255
-0.004
7
29.83688
29.83794
0.00106
29.83225
29.83087
-0・00138
8
33.35088
33.35086
-2E-05
33.34538
33.34557
0.00019
9
36.85488
36.85659
0.00171
36.84825
36.84672
-0.00153
10
40.17213
40.17415
0.00202
40.16763
40.16526
-0.00237
11
44.44088
44.44093
5E-05
44.43538
44.43577
0.00039
12
48.71188
48.71395
0.00207
48.70738
48.70483
-0.00255
13
52.83429
52.83582
0.00153
52.83
52.82763
-0.00237
14
55.12325
55.12768
0.00443
55.11975
55.11221
-0・00754
（24）
（26）
层数
Z
Z
△z
Z
△z
1
1.7645
1.765721
0.001221
1.76325
1.763648
0.000398
2
7.309
7.300718
-0.00828
7.2905
7.298864
0.008364
3
12.73225
12.73154
-0.00071
12.72688
12.72925
0.00237
4
17.06975
17.06191
-0.00784
17.052
17.0603
0.0083
5
21.70938
21.70732
-0.00206
21.70388
21.70612
0.00224
6
26.211
26.20971
-0.00129
26.2045
26.20729
0.00279
7
29.82463
29.82168
-0.00295
29.817
29.82027
0.00327
8
33.33988
33.3387
-0.00118
33.33663
33.33764
0.00101
9
36.84375
36.8339
-0.00985
36.82225
36.83193
0.00968
10
40.16113
40.1537
-0.00743
40.14413
40.15192
0.00779
11
44.43263
44.42905
-0.00358
44.42488
44.42802
0.00314
12
48.69975
48.69297
-0.00678
48.68388
48.69114
0.00726
13
52.81838
52.81699
-0.00139
52.81313
52.81535
0.00222
14
55.091
55.0921
0.0011
55.087
55.089
0.002
表（3）
表中表达是古塔每次每层中心点变化及弯曲限度，对于1986和1996及和比较，前者（即1986和1996）弯曲限度明显加大，这不但由于时间长达十年关系，尚有各个方面影响，例如倾斜，风化，地壳运动等对变形位移数据影响，必定是古塔弯曲限度在很小很小范畴内变化，后者（与）虽没有前者那么明显，但是考虑届时间因素话，平均每年弯曲限度变化还是高于前者，因此古塔安全维护必要尽快贯彻做好。
3.2.3扭曲
对于古塔扭曲，咱们取每一层第一点和第五点作直线。
并将每一层直线与第一层直线做对比，求出两直线之间夹角Bi（下图为第一层和第十三层事例），并用此夹角来阐明除第一层以外每一层相对于第一层扭动了多少度，计算公式如下：
B产arctan（丫2・X）/（X
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