九年级上《第22章二次函数》导学案.docx
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九年级上《第22章二次函数》导学案
第22章二次函数
22.1.1二次函数
一.阅读教科书
二.学习目标:
1.知道二次函数的一般表达式;2.会利用二次函数概念分析解题;3.列二次函数表达式解实际问题.
三.知识点:
一般地,形如______________的函数,叫做二次函数。
其中x是________,a是_______,b是_______,c是_____.
四.基本知识练习
1.观察:
①y＝6x2;②y＝－
x2＋30x;③y＝200x2＋400x＋200.这三个式子中,虽然函数有一项的,两项的或三项的,但自变量的最高次项的次数都是____次.一般地,如果y＝ax2＋bx＋c（a.b.c是常数,a≠0）,那么y叫做x的__.
2.函数y＝（m－2）x2＋mx－3（m为常数）.1）当m_____时,该函数为二次函数;2）当m_______时,该函数为一次函数.
3.下列函数表达式中,哪些是二次函数？
哪些不是？
若是二次函数,请指出各项对应项的系数.
（1）y＝1－3x2
（2）y＝3x2＋2x（3）y＝x（x－5）＋2（4）y＝3x3＋2x2（5）y＝x＋
五.课堂训练
1.y＝（m＋1）x
－3x＋1是二次函数,则m的值为_________________.
2.下列函数中是二次函数的是（）A.y＝x＋
B.y＝3（x－1）2C.y＝（x＋1）2－x2D.y＝
－x
3.一定条件下,若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为s＝5t2＋2t,则当t＝4秒时,该物体所经过的路程为
A.28米B.48米C.68米D.88米
4.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________.
5.已知y与x2成正比例,并且当x＝－1时,y＝－3.
求:
（1）函数y与x的函数关系式;
（2）当x＝4时,y的值;（3）当y＝－
时,x的值.
6.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC边长为xm,绿化带的面积为ym2.求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
六.目标检测
1.若函数y＝（a－1）x2＋2x＋a2－1是二次函数,则（）A.a＝1B.a＝±1C.a≠1D.a≠－1
2.下列函数中,是二次函数的是（）A.y＝x2－1B.y＝x－1C.y＝
D.y＝
3.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.
4.已知二次函数y＝－x2＋bx＋3.当x＝2时,y＝3,求这个二次函数解析式.
22.1.2二次函数y＝ax2的图象与性质
一.阅读课本
二.学习目标:
1.知道二次函数的图象是一条抛物线;
2.会画二次函数y＝ax2的图象;3.掌握二次函数y＝ax2的性质,并会灵活应用.
三.探索新知:
画二次函数y＝x2的图象.【提示:
画图象的一般步骤:
①列表（取几组x.y的对应值;②描点（表中x.y的数值在坐标平面中描点（x,y）;③连线（用平滑曲线）.】
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
列表:
描点,并连线
图象可得二次函数y＝x2的性质:
1.二次函数y＝x2是一条曲线,把这条曲线叫做______________.
2.二次函数y＝x2中,二次函数a＝_______,抛物线y＝x2的图象开口__________.
3.自变量x的取值范围是____________.
4.观察图象,当两点的横坐标互为相反数时,函数y值相等,所描出的各对应点关于________对称,从而图象关于___________对称.
5.抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（,）叫做抛物线y＝x2的___.因此,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_
6.抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）.
四.例题分析
例1.在同一直角坐标系中,画出函数y＝
x2,y＝x2,y＝2x2的图象.
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝
x2
…
…
解:
列表并填:
x
…
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y＝2x2
…
…
y＝x2的图象刚画过,再把它画出来.
归纳:
抛物线y＝
x2,y＝x2,y＝2x2的二次项系数a_______0;顶点都是__________;对称轴是_________;顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）.
例2.请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2,y＝－
x2,y＝－2x2的图象.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
列表:
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=－
x2
…
…
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝－2x2
…
…
归纳:
抛物线y＝－x2,y＝－
x2,y＝－2x2的二次项系数a______0,顶点都是________,对称轴是___________,顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”）.
五.理一理:
1.抛物线y＝ax2的性质
图象（草图）
开口方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
最值
a＞0
当x＝____时,y有最___值,是______.
a＜0
当x＝____时,y有最____值,是______.
2.抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称,因此,抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_______对称,开口大小______.
3.当a＞0时,a越大,抛物线的开口越___________;当a＜0时,｜a｜越大,抛物线的开口越_________;
因此,｜a｜越大,抛物线的开口越________,反之,｜a｜越小,抛物线的开口越________.
六.课堂训练
开口方向
顶点
对称轴
有最高或低点
最值
y＝
x2
当x＝____时,y有最_____值,是______.
y＝－8x2
1填表:
2.若二次函数y＝ax2的图象过点（1,－2）,则a的值是___________.
3.二次函数y＝（m－1）x2的图象开口向下,则m____________.
4.如图,①y＝ax2②y＝bx2③y＝cx2④y＝dx2比较a.b.c.d的大小,用“＞”连接.__________
七.目标检测
1.函数y＝
x2的图象开口向_______,顶点是_____,对称轴是____,当x＝____时,有最___值是_____.
2.二次函数y＝mx
有最低点,则m＝_____.3.二次函数y＝（k＋1）x2的图象如图所示,则k的取值范围为_____.
4.写出一个过点（1,2）的函数表达式_________________.
22.1.3二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质
一.阅读课本:
二.学习目标:
1.会画二次函数的顶点式y＝a（x－h）2＋k的图象;2.掌握二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质;
3.会应用二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质解题.
三.探索新知:
画出函数y＝－
（x＋1）2－1的图象,指出它的开口方向.对称轴及顶点.最值.增减性.
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
…
y＝－
（x＋1）2－1
…
…
列表:
由图象归纳:
1.函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y＝－
（x＋1）2－1
2.把抛物线y＝－
x2向____平移_____个单位,再向____平移_______个单位,就得到抛物线y＝－
（x＋1）2－1.
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a（x-h）2
y＝a（x－h）2＋k
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性（对称轴右侧）
四.理一理知识点
2.抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2形状___________,位置________________.
五.课堂练习
1.
y＝3x2
y＝－x2＋1
y＝
（x＋2）2
y＝－4（x－5）2－3
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性（对称轴左侧）
2.y＝6x2＋3与y＝6（x－1）2＋10_____________相同,而____________不同.
3.顶点坐标为（－2,3）,开口方向和大小与抛物线y＝
x2相同的解析式为（）
A.y＝
（x－2）2＋3B.y＝
（x＋2）2－3C.y＝
（x＋2）2＋3D.y＝－
（x＋2）2＋3
4.二次函数y＝（x－1）2＋2的最小值为__________________.
5.将抛物线y＝5（x－1）2＋3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的解析式为____________.
6.若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上,且x＝1时,y＝－3,求a.k的值.
7.若抛物线y＝a（x－1）2＋k上有一点A（3,5）,则点A关于对称轴对称点A’的坐标为______________.
六.目标检测
1.
开口方向
顶点
对称轴
y＝x2＋1
y＝2（x－3）2
y＝－（x＋5）2－4
2.抛物线y＝－3（x＋4）2＋1中,当x＝_______时,y有最________值是________.
3.足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化,这一过程可近似地用下列哪幅图表示（）
ABCD
4.将抛物线y＝2（x＋1）2－3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为______________.
5.一条抛物线的对称轴是x＝1,与x轴有唯一的公共点,且开口方向向下,则这条抛物线的解析式为_.（任写一个）
22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质1
一.阅读课本:
二.学习目标:
1.配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标.对称轴;
2.熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式;3.会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象.
三.探索新知:
1.求二次函数y＝
x2－6x＋21的顶点坐标与对称轴.（解:
将函数等号右边配方:
y＝
x2－6x＋21）
2.画二次函数y＝
x2－6x＋21的图象.（解:
y＝
x2－6x＋21配成顶点式为_______________________.）
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
y＝
x2－6x＋21
…
…
列表:
3.用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴.
四.理一理知识点:
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a（x－h）2
y＝a（x－h）2＋k
y＝ax2＋bx＋c
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性（对称轴左侧）
五.课堂练习
1.用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标.2.用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标.
3.二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1,－2）,则b＝________,c＝_________.
4.已知二次函数y＝－2x2－8x－6,当________时,y随x的增大而增大;当x＝________时,y有______值是_____.
六.目标检测:
1.用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝
x2－2－1的顶点坐标.
2.二次函数y＝－x2＋mx中,当x＝3时,函数值最大,求其最大值.
22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质2
一.复习知识点:
二.学习目标:
1.懂得二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴.y轴的交点的方法；2.知道二次函数中a,b,c以及△＝b2－4ac对图象的影响.
三.基本知识练习
1.求二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为_______________,与x轴的交点坐标____________.
2.二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为______________,对称轴为______________.
3.一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝______________.
4.二次函数y＝x2＋bx过点（1,4）,则b＝________________.
5.一元二次方程y＝ax2＋bx＋c（a≠0）,△＞0时,一元二次方程有_______________,
△＝0时,一元二次方程有___________,△＜0时,一元二次方程_______________.
四.知识点应用
1.求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（含y＝0时,则在函数值y＝0时,x的值是抛物线与x轴交点的横坐标）.
例1求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标.
2.求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点（含x＝0时,则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标）.
例2求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标.3.a.b.c以及△＝b2－4ac对图象的影响.
（1）a决定:
开口方向.形状
（2）c决定与y轴的交点为（0,c）
（3）b与－
共同决定b的正负性（4）△＝b2－4ac
例3如图,由图可得:
a_______0,b_______0,c_______0,△______0
例4已知二次函数y＝x2＋kx＋9.
1当k为何值时,对称轴为y轴；
②当k为何值时,抛物线与x轴有两个交点；
③当k为何值时,抛物线与x轴只有一个交点.
五.课后练习
1.求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________,与y轴的交点坐标为_______.
2.抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上,则m＝__________.
3.如图:
由图可得:
a_______0,b_______0,c_______0,△＝b2－4ac______0
六.目标检测:
1.求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为_______________.
2.若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点,求m的范围.
3.如图:
由图可得:
a_________0,b_________0, c_________0, △＝b2－4ac_________0
22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质3
一.阅读教科书:
P15的探究
二.学习目标:
几何问题中应用二次函数的最值.
三.课前基本练习
1.抛物线y＝－（x＋1）2＋2中,当x＝___________时,y有_______值是__________.
2.抛物线y＝
x2－x＋1中,当x＝___________时,y有_______值是__________.
3.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中,当x＝___________时,y有_______值是__________.
四.例题分析:
（P15的探究）
用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化,当l是多少时,场地的面积S最大？
五.课后练习
1.已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大,最大值是多少？
2.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h（单位:
m）与小球运动时间t（单位:
s）之间的关系式是h＝30t－5t2.小球运动的时间是多少时,小球最高？
小球运动中的最大高度是多少？
3.如图,四边形的两条对角线AC.BD互相垂直,AC＋BD＝10,当AC.BD的长是多少时,四边形ABCD的面积最大？
4.一块三角形废料如图所示,∠A＝30°,∠C＝90°,AB＝12.用这块废料剪出一个长方形CDEF,其中,点D.E.F分别在AC.AB.BC上.要使剪出的长方形CDEF面积最大,点E应造在何处？
六.目标检测
如图,点E.F.G.H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形.当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小？
22.2二次函数与一元二次方程
一.阅读课本:
二.学习目标:
1.知道二次函数与一元二次方程的关系.
2.会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数.
三.探索新知
1.问题:
如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h（单位:
m）与飞行时间t（单位:
s）之间具有关系h＝20t－5t2.
考虑以下问题:
（1）球的飞行高度能否达到15m？
如能,需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？
如能,需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？
为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
2.观察图象:
（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点,则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0;
（2）二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有___个交点,则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝_____0;
（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点,则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0.
四.理一理知识
1.已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程__________________.反之,解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值.
一般地:
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m.反之,解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系:
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac.
（1）当△＝b2－4ac＞0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;
（2）当△＝b2－4ac＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点;
（3）当△＝b2－4ac＜0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点.
五.基本知识练习
1.二次函数y＝x2－3x＋2,当x＝1时,y＝________;当y＝0时,x＝_______.
2.二次函数y＝x2－4x＋6,当x＝________时,y＝3.
3.如图,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________
4.如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为_________________
5.如图填空:
（1）a________0
（2）b________0
（3）c________0（4）b2－4ac________0
六.课堂训练
1.特殊代数式求值:
①如图看图填空:
（1）a＋b＋c_______0
（2）a－b＋c_______0（3）2a－b_______0
②如图2a＋b_______04a＋2b＋c_______0
2.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________;
（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________;
（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________;
（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________;
（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________;
（6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________.
七.目标检测
根据图象填空:
（1）a_____0;
（2）b_____0;（3）c______0;
（4）△＝b2－4ac_____0;（5）a＋b＋c_____0;
（6）a－b＋c_____0;（7）2a＋b_____0;
（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________;
（9）当y＞0时,x的范围为___________;
（10）当y＜0时,x的范围为___________;
八.课后训练
1.已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上,则k＝____________.
2.已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点,则k的取值范围___________.
3.已知函数y＝ax2＋bx＋c（a,b,c为常数,且a≠0）的图象如图所示,则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是（
A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等实数根D.无实数根
4.如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象,在下列说法中:
①ac＜0;②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1,x2＝3;③a＋b＋c＞0;
④当x＞1时,y随x的增大而增大.正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）.
22.3实际问题与二次函数1
一.阅读课本:
二.学习目标:
1.懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2.会应用二次函数的性质解决问题.
三.探索新知
某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:
如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件；每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大？
分析:
调整价格包括涨价和降价两种情况,用怎样的等量关系呢？
解:
（1）设每件涨价x元,则每星期少卖_________件,实际卖出_________件,设商品的利润为y元.
（2）设每件降价x元,则每星期多卖_________件,实际卖出__________件.
四.课堂训练
1.某种
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