数学新学案同步必修二北师大版渝皖琼讲义第一章 立体几何初步51 Word版含答案.docx

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数学新学案同步必修二北师大版渝皖琼讲义第一章立体几何初步51Word版含答案

§5　平行关系

5．1　平行关系的判定

学习目标

　1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．

知识点一　直线与平面平行的判定定理

思考　如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD（不落在α内）和平面α有何位置关系？

答案　平行．

梳理　判定定理

表示

定理　　

图形

文字

符号

直线与平面平行的判定定理

若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行

⇒a∥α

知识点二　平面与平面平行的判定定理

思考1　三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？

答案　不一定．

思考2　三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？

答案　平行．

梳理　判定定理

表示

定理　　

图形

文字

符号

平面与平面平行的判定定理

如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

⇒α∥β

1．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.（　×　）

2．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．（　×　）

3．若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．（　×　）

4．若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．（　√　）

类型一　直线与平面平行的判定问题

命题角度1　以锥体为背景证明线面平行

例1　如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且

＝

.

求证：

MN∥平面SBC.

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的证明

证明　连接AN并延长交BC于点P，连接SP.

因为AD∥BC，所以

＝

，

又因为

＝

，所以

＝

，所以MN∥SP，

又MN⊈平面SBC，SP平面SBC，

所以MN∥平面SBC.

引申探究

本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明MN∥平面SBC.

证明　连接AC，由平行四边形的性质可知，AC必过BD的中点N，在△SAC中，M，N分别为SA，AC的中点，所以MN∥SC，又因为SC平面SBC，MN⊈平面SBC，所以MN∥平面SBC.

反思与感悟　利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤

上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：

利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．

跟踪训练1　在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的证明

答案　平面ABD与平面ABC

解析　如图，取CD的中点E，连接AE，BE，MN.

则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，

所以MN∥AB.

又AB平面ABD，MN⊈平面ABD，

所以MN∥平面ABD，

同理，AB平面ABC，MN⊈平面ABC，

所以MN∥平面ABC.

命题角度2　以柱体为背景证明线面平行

例2　在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？

请证明你的结论．

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的证明

解　存在．证明如下：

如图，取线段AB的中点为M，

连接A1M，MC，A1C，AC1，

设O为A1C，AC1的交点．

由已知得，O为AC1的中点，

连接MD，OE，

则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，

所以MD∥AC且MD＝

AC，OE∥AC且OE＝

AC，

因此MD∥OE且MD＝OE.

连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，

则DE∥MO.

因为直线DE⊈平面A1MC，MO平面A1MC，

所以直线DE∥平面A1MC.

即线段AB上存在一点M（线段AB的中点），

使直线DE∥平面A1MC.

反思与感悟　证明以柱体为背景包装的线面平行证明题时，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点时，常利用取中点去寻找平行线．

跟踪训练2　如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.

（1）求证：

BC1∥平面AB1D1；

（2）若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：

EF∥平面ADD1A1.

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的证明

证明　

（1）∵BC1⊈平面AB1D1，AD1平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.

（2）∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点，又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF⊈平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.

类型二　平面与平面平行的判定

例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的证明

证明　

（1）因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

所以GH是△A1B1C1的中位线，

所以GH∥B1C1.

又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，

所以B，C，H，G四点共面．

（2）因为E，F分别是AB，AC的中点，

所以EF∥BC.

因为EF⊈平面BCHG，BC平面BCHG，

所以EF∥平面BCHG.

因为A1G∥EB，A1G＝EB，

所以四边形A1EBG是平行四边形，

所以A1E∥GB.

因为A1E⊈平面BCHG，GB平面BCHG，

所以A1E∥平面BCHG.

因为A1E∩EF＝E，

所以平面EFA1∥平面BCHG.

反思与感悟　判定平面与平面平行的四种常用方法

（1）定义法：

证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．

（2）利用判定定理：

一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．

（3）转化为线线平行：

平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.

（4）利用平行平面的传递性：

若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

跟踪训练3　如图所示，已知A为平面BCD外一点，M，N，G分别是△ABC，△ABD，△BCD的重心．

求证：

平面MNG∥平面ACD.

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的证明

证明　如图，设BM，BN，BG分别交AC，AD，CD于点P，F，H，连接PF，PH.

由三角形重心的性质，得

＝

＝

＝2，

∴MG∥PH，又PH平面ACD，MG⊈平面ACD，

∴MG∥平面ACD.

同理可证MN∥平面ACD，

又MN∩MG＝M，MN平面MNG，MG平面MNG，

∴平面MNG∥平面ACD.

1．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的判定

答案　D

解析　由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．

2．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面（　　）

A．有且只有一个B．有无数多个

C．至多一个D．不存在

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的判定

答案　A

解析　在直线a上任选一点A，过点A作b′∥b，则b′是唯一的，因为a∩b′＝A，所以a与b′确定一个平面并且只有一个平面．

3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是（　　）

A．平面E1FG1与平面EGH1

B．平面FHG1与平面F1H1G

C．平面F1H1H与平面FHE1

D．平面E1HG1与平面EH1G

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

答案　A

解析　如图，∵EG∥E1G1，EG⊈平面E1FG1，

E1G1平面E1FG1，

∴EG∥平面E1FG1.

又G1F∥H1E，

同理可证H1E∥平面E1FG1，

又H1E∩EG＝E，H1E，EG平面EGH1，

∴平面E1FG1∥EGH1.

4．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作（　　）

A．1个或2个

B．0个或1个

C．1个

D．0个

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

答案　B

解析　①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使β∥α.

②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．

5.如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，CD⊥AD，F，E分别是PA，AD的中点，求证：

平面PCD∥平面FEB.

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

证明　连接BD，在△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，

∴△ABD是等边三角形，E为AD的中点，

∴BE⊥AD，又CD⊥AD，

∴在四边形ABCD中，BE∥CD.

又CD⊈平面FEB，BE平面FEB，∴CD∥平面FEB.

在△APD中，EF∥PD，

同理可得PD∥平面FEB.

又CD∩PD＝D，

∴平面PCD∥平面FEB.

1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．

2．证明面面平行的一般思路：

线线平行⇒线面平行⇒面面平行．

3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键．

一、选择题

1．能保证直线a与平面α平行的条件是（　　）

A．bα，a∥b

B．bα，c∥α，a∥b，a∥c

C．bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD

D．a⃘α，bα，a∥b

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的判定

答案　D

解析　由线面平行的判定定理可知，D正确．

2．如果两直线a∥b且a∥α，则b与α的位置关系是（　　）

A．相交B．b∥α

C．bαD．b∥α或bα

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的判定

答案　D

解析　由a∥b且a∥α知，b与α平行或bα.

3．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于D，E，且AD∶DB＝AE∶EC，如图所示，则BC与α的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．异面D．BCα

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的判定

答案　A

解析　在△ABC中，因为AD∶DB＝AE∶EC，所以BC∥DE.因为BC⊈α，DEα，所以BC∥α.

4．若六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有（　　）

A．1对B．2对C．3对D．4对

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

答案　D

解析　由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，

∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．

5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（　　）

A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的判定

答案　B

解析　易证EF∥平面BCD.

由AE∶EB＝AF∶FD知，EF∥BD，且EF＝

BD.

又因为H，G分别为BC，CD的中点，

所以HG∥BD，且HG＝

BD.

综上可知，EF∥HG，EF≠HG，

所以四边形EFGH是梯形，且EF∥平面BCD.

6．如图，下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是（　　）

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的判定

答案　C

解析　在图A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.

7．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为（　　）

A．平行B．相交

C．平行或相交D．可能重合

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

答案　C

解析　若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．

8．已知直线l，m，平面α，β，下列说法正确的是（　　）

A．l∥β，lα⇒α∥β

B．l∥β，m∥β，lα，mα⇒α∥β

C．l∥m，lα，mβ⇒α∥β

D．l∥β，m∥β，lα，mα，l∩m＝M⇒α∥β

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

答案　D

解析　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，

则AB∥平面DC1，AB平面AC，

但是平面AC与平面DC1不平行，

所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，可证EF∥平面AC，

B1C1∥平面AC.EF平面BC1，B1C1平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；AD∥B1C1，AD平面AC，B1C1平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确．

二、填空题

9．设m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个推断：

①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个________．

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的判定

答案　①②⇒③（或①③⇒②）

解析　若m∥n，m∥α，则n∥α，同样，若m∥n，n∥α，则m∥α.

10．如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的判定

答案　平行

解析　∵M，N分别是BF，BC的中点，

∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，

∴CF∥DE，

∴MN∥DE.又MN⊈平面ADE，DE平面ADE，

∴MN∥平面ADE.

11．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面ADNE；②CN∥平面ABFE；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.

以上四个说法中正确的是________．

考点　平行问题的综合应用

题点　线线、线面、面面平行的相互转化

答案　①②③④

解析　以ABCD为下底面还原正方体，如图．

则易知四个说法都是正确的．

12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的判定

答案　M∈线段FH

解析　∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，

故线段FH上任意一点M与N连接，

都有MN∥平面B1BDD1.

三、解答题

13．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB，A1D1的中点分别为M，N，求证：

MN∥平面B1D1DB.

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的判定

证明　如图，取BD的中点O，连接MO，D1O，则OM∥AD且OM＝

AD，∵ND1＝

A1D1，AD∥A1D1，且AD＝A1D1，

∴OM∥ND1，且OM＝ND1，

∴四边形OMND1为平行四边形，

∴MN∥OD1.又MN⊈平面B1D1DB，OD1平面B1D1DB，

∴MN∥平面B1D1DB.

四、探究与拓展

14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：

①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.

其中推断正确的序号是（　　）

A．①③B．①④C．②③D．②④

考点　平行问题的综合应用

题点　线线、线面、面面平行的相互转化

答案　A

解析　∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.

∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG⊈平面AA1D1D，

AD1平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；

∵FG∥BC1，FG⃘平面BC1D1，BC1平面BC1D1，

∴FG∥平面BC1D1，故③正确；

∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.

15．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：

当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

考点　平面与平面平行的判定

题点　平面与平面平行的判定

解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.

∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，

∴QB∥PA，

又O为DB的中点，

∴D1B∥PO.

又PO∩PA＝P，BQ∩D1B＝B，

∴平面D1BQ∥平面PAO.