电磁感应中的导轨模型.docx
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电磁感应中的导轨模型
电磁感应中的“杆+导轨
一、单棒模型
阻尼式
”模型
1．电路特点导体棒相当于电源
2．安培力的特点
安培力为阻力，并随速度减小而减小。
3．加速度特点
加速度随速度减小而减小
FB
B2l
．运动特点
a减小的减速运动
a
m（R
4
m
5．最终状态
静止
B2l2v
FBBIl
Rr
2v
r）
v0
6．三个规律
1
mv02
0
Q
（1）
能量关系：
mv0
Bl
s
（2）
动量关系：
2
BIl
t
0mv0
q
qn
（3）
瞬时加速度：
a
FB
B2l2v
Bl
RrR
r
磁场方向不沿竖直方向
7．变化
（1）有摩擦
（2）
m
m（Rr）
电动式
1．电路特点
导体为电动棒，运动后产生反电动势（等效于电机）
2．安培力的特点
安培力为运动动力，并随速度增大而减
（E
E反）
B
l
小。
R
r
3．加速度特点
加速度随速度增大而减小
4．运动特点
a减小的加速运动
5．最终特征
匀速运动
6．两个极值
Im
E
FmBIml,
am
Fmmg
R
r
m
（1）最大加速度：
v=0时,E反=0,电流、加速度最大
（2）最大速度：
稳定时，速度最大，电流最小
7．稳定后的能量转化规律
IminE
IminE反
Imin2（R
r）mgvm
8．起动过程中的三个规律
（1）
动量关系：
BLq
mgtmvm
0
（2）
能量关系：
qE
QE
mgS
1mvm2
（3）
瞬时加速度：
FB
mg
2
=B（E
）
g
a
m
Blvl
发电式
m（R
r）
1．电路特点导体棒相当于电源，当速度为v时，电动势E＝Blv
2．安培力的特点安培力为阻力，并随速度增大而增大
Blv
Bl
Rr
F
3．加速度特点
4．运动特点
加速度随速度增大而减小
a减小的加速运动
5．最终特征匀速运动
6．两个极值
F
mg
（1）
v=0时,有最大加速度：
am
m
22
（2）
a=
时
有最大速度：
0
a
FFB
mg
F
Blv
（F
mg）（Rr）
7．稳定后的能量转化规律
m（BLvm）2m
g0
vm
2
l
2
8．起动过程中的三个规律
m（R
r）
B
Fvm
R0r
mgvm
（1）
动量关系：
Ft
BLq
mgt
mv
m
（2）
能量关系：
Fs
QE
mgS
1mvm2
（3）
瞬时加速度：
2
F
B2l2v
FFBmg
0
a
m
m
m（R
g
电容放电式：
r）
1．电路特点电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力
而运动。
2．电流的特点电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时产生阻碍
放电的反电动势，导致电流减小，直至电流为零，此时UC=Blv
3．运动特点a渐小的加速运动，最终做匀速运动。
4．最终特征
匀速运动，但此时电容器带电量不为零
5．最大速度vm
QCUCBlvm
Q0CE
放电结束时电量：
电容器充电量：
QQ0
QCECBlvm
电容器放电电量：
vm
BlCE
对杆应用动量定理：
mvm
BIl
tBlQ
m
B2l2C
6．达最大速度过程中的两个关系
mBlCE
安培力对导体棒的冲量
I安
mvm
m
B2l2C
安培力对导体棒做的功：
易错点：
认为电容器最终带电量为零
电容无外力充电式
1．电路特点
导体棒相当于电源;电容器被充电.
v0
2．电流的特点
导体棒相当于电源;
F安为阻力，棒减速,
E减小
BlvUC
I
感渐小
电容器被充电。
有II感
R
UC渐大，阻碍电流
当Blv=UC时，I=0，F安=0，棒匀速运动。
3．运动特点a渐小的减速运动，最终做匀速运动。
4．最终特征匀速运动但此时电容器带电量不为零
qCU
5．最终速度电容器充电量：
UBlv
最终导体棒的感应电动势等于电容两端电压：
mvmvBIltBlq
对杆应用动量定0理：
电容有外力充电式
1．电路特点导体棒为发电棒；电容器被充电。
2．三个基本关系
导体棒受到的安培力为：
FB
BIl
导体棒加速度可表示为：
F
FB
a
m
回路中的电流可表示为：
3．四个重要结论：
mg
（1）导体棒做初速度为零匀加速运动：
amCB2L2
CBlmg
（2）
I
回路中的电流恒定：
mgCB2l
2
（3）
导体棒受安培力恒定：
CB2l2mg
FB
2l2
（4）
mCB
证明
导体棒克服安培力做的功等于电容器储存的电能：
二、双棒模型
无外力等距式
1．电路特点棒2相当于电源;棒1受安培力而加速起动,
运动后产生反电动势.
2．电流特点随着棒2的减速、棒1的加速，两
棒的相对速度v2-v1变小，回路中电流也变小。
3．两棒的运动
情况
安培力大
小：
两棒的相对速度变小
感应电流变小
安培力变小
.
棒1做加速度变小的加速运动
棒2做加速度变小的减速运动
最终两棒具有共同速度
4．两个规律
（1）动量规律
两棒受到安培力大小相等方向相反
m2v0（m1
m2）v共
系统合外力为零
系统动
量守恒.
（2）能量转化规律系统机械能的减小量等于内能的增加量.
两棒产生焦耳热之比：
5．几种变化：
（1）初速度的提供方式不同
（2）磁场方向与导轨不垂直（3）
无外力不等距式
（4）两棒都有初速度（5）两棒位于不同磁场中
有外力等距式
1．电路特点棒2相当于电源;棒1受安培力而起动.
2．运动分析：
某时刻回路中电流：
最初阶段，a2>a1,
3．稳定时的速度差
4．变化
（1）两棒都受外力作用
（2）外力
提供方式变化
无外力不等距式
1．电路特点棒1相当于电源;棒2受安培力而加速起动,运
动后产生反电动势.
2．电流特点随着棒1的减速、棒2的加速，最终当Bl1v1=
Bl2v2时,
电流为零
两棒
都做匀速运动
3．两棒的运动情况
安培力
大小：
两棒的相对速度变小,感应电流变小,安培力变小.
棒1做加速度变小的减速运动，最终匀速;棒2做加速度变小的加速运动，最终匀速;
4．最终特征
Bl1v1
Bl2v2
回路中电流为零
5．能量转化规律
系统动能
电能
内能
两棒产生焦耳热之比：
6．流过某一截面的电量
有外力不等距式
运动分析：
杆1做a渐小的加速运动
a1≠a2
a1、
a2恒定
杆2做a渐大的加速运动I恒定
某时刻两棒速度分别为v1、v2
加速度分别为a1、a2
经极短时间t后其速度分别为：
此时回路中电流为：
练习1．（多选）如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的足够长平行金属导轨，导轨
间距为L，两导轨顶端连有一定值电阻R，导轨平面与水平面的夹角为θ，匀强
磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上，质量为m、电阻为r的光
滑导体棒从某一高度处由静止释放，导体棒运动过程中始终与导轨垂直且与导
轨接触良好，其他部分的电阻不计，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）
A．导体棒先做加速度减小的加速运动，后做匀速运动
B．若导体棒的速度为v，则R两端的电压为BLv
mg?
R＋r?
C．导体棒的最大速度为B2L2
D．在导体棒下滑过程中，电路中产生的焦耳热等于导体棒克服安培力所做的功
【解析】AD[导体棒随着速度的增加，受到的安培力越来越大，因此受到的合
力越来越小，加速度越来越小，故导体棒做加速度减小的加速运动，当加速度
为零时，做匀速运动，A正确；导体棒中产生的感应电动势为
E＝BLv，所以在
RBLv
B2L2v
电阻R上的电压为R＋r，B错误；由于导体棒匀速运动时有
mgsinθ＝R＋r，
mg?
R＋r?
sinθ
因此导体棒的最大速度为B2L2，C错误；根据功能关系，感应电流所
产生的焦耳热在数值上等于导体棒克服安培力所做的功，D正确．]
练习2．（多选）如图所示，间距为l＝1m的导轨PQ、MN由电阻不计的光滑水平导轨和与水平面成37°角的粗糙倾斜导轨组成，导体棒ab、cd的质量均为m＝
1kg、长度均为l＝1m、电阻均为R＝0.5Ω，ab棒静止在水平导轨上，
cd棒静止在倾斜导轨上，整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强
度的大小B＝2T．现ab棒在水平外力F作用下由静止开始沿水平导轨运动，
当ab棒的运动速度达到一定值时cd棒开始滑动．已知cd棒与倾斜导轨间的动摩擦因数为μ＝0.8，且
cd棒受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两导体
棒与导轨始终接触良好，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝
0.8.
关于该运动过程，下列说法正确的是（）
A．cd棒所受的摩擦力方向始终沿倾斜导轨向上
B．cd棒所受的摩擦力方向先沿倾斜导轨向上后沿倾斜导轨向下
C．cd棒开始滑动时，ab棒的速度大小约为20m/s
D．cd棒开始滑动时，ab棒的速度大小约为10m/s
【解析】BC[cd棒刚开始静止在倾斜导轨上，μ＝0.8>tan37°＝0.75，cd
棒受到的摩擦力沿倾斜导轨向上，ab棒向右运动切割磁感线使得ab棒、cd棒
中产生感应电流，cd棒受到水平向右的安培力作用，cd棒受到的摩擦力先沿倾
斜导轨向上减小到零，后反向沿倾斜导轨向下增大，故A错误，B正确；当cd
B2l2v
棒即将滑动时，由平衡条件2Rcos37°＝mgsin37°＋μ
B2l2v
mgcos37°＋2Rsin37°，代入数据可得v＝19.375m/s，C正确，D错误．]
练习3．如图所示，阻值均为2Ω的定值电阻R和R通过水平和倾斜平行金属
1
2
导轨连接，水平导轨和倾斜导轨平滑相接，导轨间距离为
0.5m，倾斜导轨与水
平面夹角为60°，水平导轨间存在方向竖直向上、磁感应强度大小为
0.03T的
匀强磁场，倾斜导轨处没有磁场．一根质量为
0.1kg、长度为0.5m、阻值为2
Ω的导体棒从倾斜导轨上一定高度处由静止释放，导体棒与倾斜导轨间的动摩
3
s＝2m停下来，在
擦因数为4，水平导轨光滑，导体棒在水平导轨上向右运动
此过程中电阻R上产生的热量为0.3
J，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，重
1
力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（
）
A．导体棒在倾斜导轨上释放点离水平面的高度为
2m
B．导体棒在导轨上运动的最大速度为
6m/s
C．R1两端的最大电压为0.045V
D．导体棒在导轨上运动过程中通过
R1的电荷量为0.01C
【解析】B[导体棒滑上水平导轨后做减速运动，因此滑上水平导轨的初速度
v0是导体棒在导轨上运动的最大速度，导体棒在水平导轨上运动时，若电阻
R1
上产生热量为Q，则导体棒上产生热量为4Q，电路产生的总热量为6Q，由功能
2
mv0
关系可得2＝6Q，又Q＝0.3J，得v0＝6m/s，B选项正确；导体棒在倾斜导轨
2
hmv0
上运动，有mgh－μmgcosθ·sinθ＝2，得h＝2.4m，A选项错误；导体
Em
棒运动的最大速度为v0，最大感应电动势为Em＝Blv0，R1两端的最大电压Um＝3，
得Um＝0.03
V，C选项错误；通过导体棒的电荷量
ΔΦq
q＝R总，q1＝2＝0.005C，D
选项错误．]
练习4．如图甲所示，dc和ef是足够长的光滑的金属导轨（不计电阻）水平放置，
相距L＝1m，de处接有一个电阻，在其两端的电压低于某个特定的值U0时，它
的阻值与其两端的电压成正比，而其两端的电压大于等于U0时，它的电阻恒为
R0＝5
Ω，导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为
B＝1T，质量
为m＝0.5kg，长度恰好能跨放在导轨上的金属杆电阻不计，在水平向右的拉力作用下，从紧靠de处由静止开始做加速度为a＝1m/s2的匀加速运动，水平拉力F与时间的关系如图乙所示．
（1）试求电压的特定值U0和图中所标的F0的大小；
（2）当t＝0.5s时和t＝2s时，电阻的发热功率分别为多大？
（3）从开始到运动2m时，通过R的电荷量为多少？
（4）运动到2m时刻撤去外力，金属杆还能运动多远？
U1
【解析】
（1）当电压小于U0时，设电阻R＝kU，所以电流I＝R＝k，则I为定
值
1
1
F－BLk＝ma，F＝ma＋BLk
0
B2L2v
＝ma，F＝ma＋
B2L2a
时，速度v
当电压大于等于U时，F－
R
R
t，而当t＝1s
0
0
＝at＝1m/s，U0＝BLv＝1V
B2L2a
1
又当t＝1s
时，F＝ma＋R0
t＝ma＋BLk，所以有k＝5
故F＝0.7N
1s
以后的拉力与时间的关系为F＝0.5＋0.2t
0
（2）t＝0.5s
时，v＝0.5m/s
，U＝E＝BLv＝0.5V，R＝kU＝2.5Ω
U2
P1＝R＝0.1Wt＝2s时，F＝0.9N，安培力F安＝F－ma＝0.4N，v＝2m/s
P2＝F安v＝0.8W
U1
（3）前1s，电流恒为I＝R＝k＝0.2A，q1＝It＝0.2C，运动了0.5m.
余下的1.5m是通过定值电阻R
的电荷量，q＝
ΔΦ
＝0.3C
所以q＝q
0
2
R
1
0
＋q2＝0.5C
（4）撤去外力时，速度为v2＝2m/s，电压U2＝2V，变减速运动到速度v1＝1m/s，
于是有：
22
BLx1
R0＝m（v－v），x
＝2.5m
此后，电流恒为
0.2A，F
′＝BLI＝0.2N，
211
安
做匀减速运动，
F′
2
v
2
1
安
a′＝m＝0.4m/s
x2＝2a′＝1.25m
所以x＝x1＋x2＝
3.75m.
练习５.如图所示,金属导轨是由倾斜和水平两部分圆滑相接而成
倾斜部分与
q
abcd
矩形区域内有垂直导轨平面的匀强磁场，
水平夹角=37°，导轨电阻不计。
===0.20m。
导轨上端搁有垂直于导轨的两根相同金属杆
1、2，且
1位
bcads
PP
P
于ab与P2的中间位置，两杆电阻均为R，它们与导轨的动摩擦因数m=0.30,P1杆离水平轨道的高度h=0.60m,
现使杆P2不动，让P1杆静止起滑下，杆进入磁场时恰能
做匀速运动，最后P1杆停在AA￠位置。
求：
（1）P1杆在水平轨道上滑动的距离x；
（2）P1杆停止后，再释放P2杆，为使P2杆进入磁场时也做匀速运动，事先要把磁
场的磁感应强度大小调为原来的多少倍？
（3）若将磁感应强度B调为原来3倍，再释放P2，问P2杆是否有可能与P1杆不碰
撞?
为什么？
【解析】
（1）设杆的质量为
m
Fmgqmmgq
则杆进入磁场时受到的安培力
=sin-cos
对P1杆运动的全过程，根据动能定理：
解得:
（2）设杆长为l、进入磁场时速度为v,杆进入磁场能做匀速运动，满足:
BIl=mgsinq-mmgcosq
得：
可见B与成反比.
设杆下滑加速度为a,由题意P1、P2杆到ab的距离可记为L、2L，则
可得磁感应强度调后B2与调前B1之比
=0.84所以应调到原来的0.84倍
（3）P2杆必与P1杆发生碰撞.
因为此条件下,P2杆进入磁场后做加速度变小的减速运动,它离开磁场时的速度
必大于P1杆离开磁场时的速度.
练习6.
如图所示放置,间距为d=1m,在左端斜轨道部分
如图所示，两足够长且不计其电阻的光滑金属轨道
高h=1.25m处放置一金属杆
a,斜轨道与平直轨道区域以光滑圆弧连接
在平直轨道右端放置另一金属杆b,
杆a、b电阻Ra=2Ω、Rb=5Ω，在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场
磁感强度B=2T.现杆b以初速度
v=5m/s开始向左滑动,同时由静止释放杆
a，杆a由静止滑到水平轨道的过程中
通过杆b的平均电流为
0
0.3A；从a下滑到水平轨道时开始计时，
a、b杆运动速度-时间图象如图所示
（以a运动方向为正）,其中
ma=2kg，mb=1kg，g=10m/s
2，求：
（1）杆a在斜轨道上运动的时间；
（2）杆a在水平轨道上运动过程中通过
其截面的电量；（3）在整个运动过程中杆
b产生的焦耳热.
【解析】
（1）对b棒运用动量定理,
有:
其中
代入数据得到:
（2）对杆a下滑的过程中,机械能守恒:
，解得
最后两杆共同的速度为,由动量守恒得
代入数据计算得出
杆a动量变化等于它所受安培力的冲量，由动量定理可得
而
由以上公式代入数据得q=7/3C
（3）由能量守恒得,共产生的焦耳热为
b棒中产生的焦耳热为
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