电磁感应中的导轨模型.docx
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电磁感应中的导轨模型
电磁感应中的“杆+导轨
一、单棒模型
阻尼式
”模型
1.电路特点导体棒相当于电源
2.安培力的特点
安培力为阻力,并随速度减小而减小。
3.加速度特点
加速度随速度减小而减小
FB
B2l
.运动特点
a减小的减速运动
a
m(R
4
m
5.最终状态
静止
B2l2v
FBBIl
Rr
2v
r)
v0
6.三个规律
1
mv02
0
Q
(1)
能量关系:
mv0
Bl
s
(2)
动量关系:
2
BIl
t
0mv0
q
qn
(3)
瞬时加速度:
a
FB
B2l2v
Bl
RrR
r
磁场方向不沿竖直方向
7.变化
(1)有摩擦
(2)
m
m(Rr)
电动式
1.电路特点
导体为电动棒,运动后产生反电动势(等效于电机)
2.安培力的特点
安培力为运动动力,并随速度增大而减
(E
E反)
B
l
小。
R
r
3.加速度特点
加速度随速度增大而减小
4.运动特点
a减小的加速运动
5.最终特征
匀速运动
6.两个极值
Im
E
FmBIml,
am
Fmmg
R
r
m
(1)最大加速度:
v=0时,E反=0,电流、加速度最大
(2)最大速度:
稳定时,速度最大,电流最小
7.稳定后的能量转化规律
IminE
IminE反
Imin2(R
r)mgvm
8.起动过程中的三个规律
(1)
动量关系:
BLq
mgtmvm
0
(2)
能量关系:
qE
QE
mgS
1mvm2
(3)
瞬时加速度:
FB
mg
2
=B(E
)
g
a
m
Blvl
发电式
m(R
r)
1.电路特点导体棒相当于电源,当速度为v时,电动势E=Blv
2.安培力的特点安培力为阻力,并随速度增大而增大
Blv
Bl
Rr
F
3.加速度特点
4.运动特点
加速度随速度增大而减小
a减小的加速运动
5.最终特征匀速运动
6.两个极值
F
mg
(1)
v=0时,有最大加速度:
am
m
22
(2)
a=
时
有最大速度:
0
a
FFB
mg
F
Blv
(F
mg)(Rr)
7.稳定后的能量转化规律
m(BLvm)2m
g0
vm
2
l
2
8.起动过程中的三个规律
m(R
r)
B
Fvm
R0r
mgvm
(1)
动量关系:
Ft
BLq
mgt
mv
m
(2)
能量关系:
Fs
QE
mgS
1mvm2
(3)
瞬时加速度:
2
F
B2l2v
FFBmg
0
a
m
m
m(R
g
电容放电式:
r)
1.电路特点电容器放电,相当于电源;导体棒受安培力
而运动。
2.电流的特点电容器放电时,导体棒在安培力作用下开始运动,同时产生阻碍
放电的反电动势,导致电流减小,直至电流为零,此时UC=Blv
3.运动特点a渐小的加速运动,最终做匀速运动。
4.最终特征
匀速运动,但此时电容器带电量不为零
5.最大速度vm
QCUCBlvm
Q0CE
放电结束时电量:
电容器充电量:
QQ0
QCECBlvm
电容器放电电量:
vm
BlCE
对杆应用动量定理:
mvm
BIl
tBlQ
m
B2l2C
6.达最大速度过程中的两个关系
mBlCE
安培力对导体棒的冲量
I安
mvm
m
B2l2C
安培力对导体棒做的功:
易错点:
认为电容器最终带电量为零
电容无外力充电式
1.电路特点
导体棒相当于电源;电容器被充电.
v0
2.电流的特点
导体棒相当于电源;
F安为阻力,棒减速,
E减小
BlvUC
I
感渐小
电容器被充电。
有II感
R
UC渐大,阻碍电流
当Blv=UC时,I=0,F安=0,棒匀速运动。
3.运动特点a渐小的减速运动,最终做匀速运动。
4.最终特征匀速运动但此时电容器带电量不为零
qCU
5.最终速度电容器充电量:
UBlv
最终导体棒的感应电动势等于电容两端电压:
mvmvBIltBlq
对杆应用动量定0理:
电容有外力充电式
1.电路特点导体棒为发电棒;电容器被充电。
2.三个基本关系
导体棒受到的安培力为:
FB
BIl
导体棒加速度可表示为:
F
FB
a
m
回路中的电流可表示为:
3.四个重要结论:
mg
(1)导体棒做初速度为零匀加速运动:
amCB2L2
CBlmg
(2)
I
回路中的电流恒定:
mgCB2l
2
(3)
导体棒受安培力恒定:
CB2l2mg
FB
2l2
(4)
mCB
证明
导体棒克服安培力做的功等于电容器储存的电能:
二、双棒模型
无外力等距式
1.电路特点棒2相当于电源;棒1受安培力而加速起动,
运动后产生反电动势.
2.电流特点随着棒2的减速、棒1的加速,两
棒的相对速度v2-v1变小,回路中电流也变小。
3.两棒的运动
情况
安培力大
小:
两棒的相对速度变小
感应电流变小
安培力变小
.
棒1做加速度变小的加速运动
棒2做加速度变小的减速运动
最终两棒具有共同速度
4.两个规律
(1)动量规律
两棒受到安培力大小相等方向相反
m2v0(m1
m2)v共
系统合外力为零
系统动
量守恒.
(2)能量转化规律系统机械能的减小量等于内能的增加量.
两棒产生焦耳热之比:
5.几种变化:
(1)初速度的提供方式不同
(2)磁场方向与导轨不垂直(3)
无外力不等距式
(4)两棒都有初速度(5)两棒位于不同磁场中
有外力等距式
1.电路特点棒2相当于电源;棒1受安培力而起动.
2.运动分析:
某时刻回路中电流:
最初阶段,a2>a1,
3.稳定时的速度差
4.变化
(1)两棒都受外力作用
(2)外力
提供方式变化
无外力不等距式
1.电路特点棒1相当于电源;棒2受安培力而加速起动,运
动后产生反电动势.
2.电流特点随着棒1的减速、棒2的加速,最终当Bl1v1=
Bl2v2时,
电流为零
两棒
都做匀速运动
3.两棒的运动情况
安培力
大小:
两棒的相对速度变小,感应电流变小,安培力变小.
棒1做加速度变小的减速运动,最终匀速;棒2做加速度变小的加速运动,最终匀速;
4.最终特征
Bl1v1
Bl2v2
回路中电流为零
5.能量转化规律
系统动能
电能
内能
两棒产生焦耳热之比:
6.流过某一截面的电量
有外力不等距式
运动分析:
杆1做a渐小的加速运动
a1≠a2
a1、
a2恒定
杆2做a渐大的加速运动I恒定
某时刻两棒速度分别为v1、v2
加速度分别为a1、a2
经极短时间t后其速度分别为:
此时回路中电流为:
练习1.(多选)如图所示,在匀强磁场中有一倾斜的足够长平行金属导轨,导轨
间距为L,两导轨顶端连有一定值电阻R,导轨平面与水平面的夹角为θ,匀强
磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上,质量为m、电阻为r的光
滑导体棒从某一高度处由静止释放,导体棒运动过程中始终与导轨垂直且与导
轨接触良好,其他部分的电阻不计,重力加速度为g,则下列说法正确的是()
A.导体棒先做加速度减小的加速运动,后做匀速运动
B.若导体棒的速度为v,则R两端的电压为BLv
mg?
R+r?
C.导体棒的最大速度为B2L2
D.在导体棒下滑过程中,电路中产生的焦耳热等于导体棒克服安培力所做的功
【解析】AD[导体棒随着速度的增加,受到的安培力越来越大,因此受到的合
力越来越小,加速度越来越小,故导体棒做加速度减小的加速运动,当加速度
为零时,做匀速运动,A正确;导体棒中产生的感应电动势为
E=BLv,所以在
RBLv
B2L2v
电阻R上的电压为R+r,B错误;由于导体棒匀速运动时有
mgsinθ=R+r,
mg?
R+r?
sinθ
因此导体棒的最大速度为B2L2,C错误;根据功能关系,感应电流所
产生的焦耳热在数值上等于导体棒克服安培力所做的功,D正确.]
练习2.(多选)如图所示,间距为l=1m的导轨PQ、MN由电阻不计的光滑水平导轨和与水平面成37°角的粗糙倾斜导轨组成,导体棒ab、cd的质量均为m=
1kg、长度均为l=1m、电阻均为R=0.5Ω,ab棒静止在水平导轨上,
cd棒静止在倾斜导轨上,整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中,磁感应强
度的大小B=2T.现ab棒在水平外力F作用下由静止开始沿水平导轨运动,
当ab棒的运动速度达到一定值时cd棒开始滑动.已知cd棒与倾斜导轨间的动摩擦因数为μ=0.8,且
cd棒受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,两导体
棒与导轨始终接触良好,重力加速度g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=
0.8.
关于该运动过程,下列说法正确的是()
A.cd棒所受的摩擦力方向始终沿倾斜导轨向上
B.cd棒所受的摩擦力方向先沿倾斜导轨向上后沿倾斜导轨向下
C.cd棒开始滑动时,ab棒的速度大小约为20m/s
D.cd棒开始滑动时,ab棒的速度大小约为10m/s
【解析】BC[cd棒刚开始静止在倾斜导轨上,μ=0.8>tan37°=0.75,cd
棒受到的摩擦力沿倾斜导轨向上,ab棒向右运动切割磁感线使得ab棒、cd棒
中产生感应电流,cd棒受到水平向右的安培力作用,cd棒受到的摩擦力先沿倾
斜导轨向上减小到零,后反向沿倾斜导轨向下增大,故A错误,B正确;当cd
B2l2v
棒即将滑动时,由平衡条件2Rcos37°=mgsin37°+μ
B2l2v
mgcos37°+2Rsin37°,代入数据可得v=19.375m/s,C正确,D错误.]
练习3.如图所示,阻值均为2Ω的定值电阻R和R通过水平和倾斜平行金属
1
2
导轨连接,水平导轨和倾斜导轨平滑相接,导轨间距离为
0.5m,倾斜导轨与水
平面夹角为60°,水平导轨间存在方向竖直向上、磁感应强度大小为
0.03T的
匀强磁场,倾斜导轨处没有磁场.一根质量为
0.1kg、长度为0.5m、阻值为2
Ω的导体棒从倾斜导轨上一定高度处由静止释放,导体棒与倾斜导轨间的动摩
3
s=2m停下来,在
擦因数为4,水平导轨光滑,导体棒在水平导轨上向右运动
此过程中电阻R上产生的热量为0.3
J,导体棒始终与导轨垂直且接触良好,重
1
力加速度g=10m/s2,则下列说法正确的是(
)
A.导体棒在倾斜导轨上释放点离水平面的高度为
2m
B.导体棒在导轨上运动的最大速度为
6m/s
C.R1两端的最大电压为0.045V
D.导体棒在导轨上运动过程中通过
R1的电荷量为0.01C
【解析】B[导体棒滑上水平导轨后做减速运动,因此滑上水平导轨的初速度
v0是导体棒在导轨上运动的最大速度,导体棒在水平导轨上运动时,若电阻
R1
上产生热量为Q,则导体棒上产生热量为4Q,电路产生的总热量为6Q,由功能
2
mv0
关系可得2=6Q,又Q=0.3J,得v0=6m/s,B选项正确;导体棒在倾斜导轨
2
hmv0
上运动,有mgh-μmgcosθ·sinθ=2,得h=2.4m,A选项错误;导体
Em
棒运动的最大速度为v0,最大感应电动势为Em=Blv0,R1两端的最大电压Um=3,
得Um=0.03
V,C选项错误;通过导体棒的电荷量
ΔΦq
q=R总,q1=2=0.005C,D
选项错误.]
练习4.如图甲所示,dc和ef是足够长的光滑的金属导轨(不计电阻)水平放置,
相距L=1m,de处接有一个电阻,在其两端的电压低于某个特定的值U0时,它
的阻值与其两端的电压成正比,而其两端的电压大于等于U0时,它的电阻恒为
R0=5
Ω,导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场,磁感应强度为
B=1T,质量
为m=0.5kg,长度恰好能跨放在导轨上的金属杆电阻不计,在水平向右的拉力作用下,从紧靠de处由静止开始做加速度为a=1m/s2的匀加速运动,水平拉力F与时间的关系如图乙所示.
(1)试求电压的特定值U0和图中所标的F0的大小;
(2)当t=0.5s时和t=2s时,电阻的发热功率分别为多大?
(3)从开始到运动2m时,通过R的电荷量为多少?
(4)运动到2m时刻撤去外力,金属杆还能运动多远?
U1
【解析】
(1)当电压小于U0时,设电阻R=kU,所以电流I=R=k,则I为定
值
1
1
F-BLk=ma,F=ma+BLk
0
B2L2v
=ma,F=ma+
B2L2a
时,速度v
当电压大于等于U时,F-
R
R
t,而当t=1s
0
0
=at=1m/s,U0=BLv=1V
B2L2a
1
又当t=1s
时,F=ma+R0
t=ma+BLk,所以有k=5
故F=0.7N
1s
以后的拉力与时间的关系为F=0.5+0.2t
0
(2)t=0.5s
时,v=0.5m/s
,U=E=BLv=0.5V,R=kU=2.5Ω
U2
P1=R=0.1Wt=2s时,F=0.9N,安培力F安=F-ma=0.4N,v=2m/s
P2=F安v=0.8W
U1
(3)前1s,电流恒为I=R=k=0.2A,q1=It=0.2C,运动了0.5m.
余下的1.5m是通过定值电阻R
的电荷量,q=
ΔΦ
=0.3C
所以q=q
0
2
R
1
0
+q2=0.5C
(4)撤去外力时,速度为v2=2m/s,电压U2=2V,变减速运动到速度v1=1m/s,
于是有:
22
BLx1
R0=m(v-v),x
=2.5m
此后,电流恒为
0.2A,F
′=BLI=0.2N,
211
安
做匀减速运动,
F′
2
v
2
1
安
a′=m=0.4m/s
x2=2a′=1.25m
所以x=x1+x2=
3.75m.
练习5.如图所示,金属导轨是由倾斜和水平两部分圆滑相接而成
倾斜部分与
q
abcd
矩形区域内有垂直导轨平面的匀强磁场,
水平夹角=37°,导轨电阻不计。
===0.20m。
导轨上端搁有垂直于导轨的两根相同金属杆
1、2,且
1位
bcads
PP
P
于ab与P2的中间位置,两杆电阻均为R,它们与导轨的动摩擦因数m=0.30,P1杆离水平轨道的高度h=0.60m,
现使杆P2不动,让P1杆静止起滑下,杆进入磁场时恰能
做匀速运动,最后P1杆停在AA¢位置。
求:
(1)P1杆在水平轨道上滑动的距离x;
(2)P1杆停止后,再释放P2杆,为使P2杆进入磁场时也做匀速运动,事先要把磁
场的磁感应强度大小调为原来的多少倍?
(3)若将磁感应强度B调为原来3倍,再释放P2,问P2杆是否有可能与P1杆不碰
撞?
为什么?
【解析】
(1)设杆的质量为
m
Fmgqmmgq
则杆进入磁场时受到的安培力
=sin-cos
对P1杆运动的全过程,根据动能定理:
解得:
(2)设杆长为l、进入磁场时速度为v,杆进入磁场能做匀速运动,满足:
BIl=mgsinq-mmgcosq
得:
可见B与成反比.
设杆下滑加速度为a,由题意P1、P2杆到ab的距离可记为L、2L,则
可得磁感应强度调后B2与调前B1之比
=0.84所以应调到原来的0.84倍
(3)P2杆必与P1杆发生碰撞.
因为此条件下,P2杆进入磁场后做加速度变小的减速运动,它离开磁场时的速度
必大于P1杆离开磁场时的速度.
练习6.
如图所示放置,间距为d=1m,在左端斜轨道部分
如图所示,两足够长且不计其电阻的光滑金属轨道
高h=1.25m处放置一金属杆
a,斜轨道与平直轨道区域以光滑圆弧连接
在平直轨道右端放置另一金属杆b,
杆a、b电阻Ra=2Ω、Rb=5Ω,在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场
磁感强度B=2T.现杆b以初速度
v=5m/s开始向左滑动,同时由静止释放杆
a,杆a由静止滑到水平轨道的过程中
通过杆b的平均电流为
0
0.3A;从a下滑到水平轨道时开始计时,
a、b杆运动速度-时间图象如图所示
(以a运动方向为正),其中
ma=2kg,mb=1kg,g=10m/s
2,求:
(1)杆a在斜轨道上运动的时间;
(2)杆a在水平轨道上运动过程中通过
其截面的电量;(3)在整个运动过程中杆
b产生的焦耳热.
【解析】
(1)对b棒运用动量定理,
有:
其中
代入数据得到:
(2)对杆a下滑的过程中,机械能守恒:
,解得
最后两杆共同的速度为,由动量守恒得
代入数据计算得出
杆a动量变化等于它所受安培力的冲量,由动量定理可得
而
由以上公式代入数据得q=7/3C
(3)由能量守恒得,共产生的焦耳热为
b棒中产生的焦耳热为