北师大版九年级数学下第二章《二次函数》单元测试题含答案doc.docx

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北师大版九年级数学下第二章《二次函数》单元测试题含答案doc

第二章二次函数单元测试

一、选择题（本大题共7小题，共28分）

1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为（2，－3），那么该抛物线有（）

A．最小值－3

B．最大值－3

C．最小值2

D．最大值2

2．已知二次函数

y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：

x

－1

0

1

2

3

y

5

1

－1

－1

1

则该二次函数图象的对称轴为

（

）

5

3

A．y轴

B．直线x＝2

C．直线x＝2

D．直线x＝

2

3．若二次函数y＝（m－1）x2－mx－m2＋1的图象过原点，则m的值为（）

A．±1

B．0

C．1

D．－1

图8－Z－1

c

4．一次函数y＝ax＋b和反比例函数

y＝x在同一平面直角坐标系中的图象如图8－Z－1

所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致为（）

图8－Z－2

为

5．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为

18元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为（）

x，该药品原价

A．y＝36（1－x）

B．y＝36（1＋x）

C．y＝18（1－x）2

D．y＝18（1＋x2）

图8－Z－3

6．如图8－Z－3是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点（－3，0），对称轴

①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a＋b＋c>0；④若点B－

5

为直线x＝－1，给出四个结论：

2，y1，

C－1，y2为函数图象上的两点

，则y1＜y2.其中正确的是（

）

2

A．②④

B．①④

C．①③

D．②③

图8－Z－4

7．如图8－Z－4，Rt△OAB的顶点A（－2，4）在抛物线y＝ax

2上，将Rt△OAB绕点O

顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点

P，则点P的坐标为（

）

A．（2，2）

B．（2，2）

C．（2，2）

D．（2，2）

二、填空题（本大题共5小题，共25分）

8．函数y＝（x－2）（3－x）取得最大值时，x＝________．

9．将抛物线y＝2（x－1）2＋2向左平移3个单位，再向下平移

4个单位长度，那么得到

的抛物线的表达式为____________．

10．如图8－Z－5，某公路隧道横截面为抛物线

，其最大高度为

8m，以隧道底部宽AB

所在直线为x轴，以AB垂直平分线为

y轴建立如图

2－Z－7所示的平面直角坐标系

，若抛

物线的表达式为y＝－

1

2

2

x＋b，则隧道底部宽AB为________m.

图8－Z－5

图8－Z－6

11．如图8－Z－6所示，已知抛物线y＝ax

2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的

纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线

2

y＝a1x＋b1x＋c1，则下列结

论正确的是________．（写出所有正确结论的序号

）

①b>0；②a－b＋c<0；③阴影部分的面积为

4；④若c＝－1，则b2＝4a.

12．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图8－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为

23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________________．

图8－Z－7

三、解答题（共47分）

13．（14分）如图8－Z－8，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y.

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）根据

（1）中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．

图8－Z－8

14．（16分）大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了

一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为

每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：

调整价格时，售价每涨1元，每月要少卖

10件；售价每下降1元，每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为（60＋x）元/件（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y件，月利润为w元．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？

求最大月利润；

（3）为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？

15．（17分）如图8－Z－9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（－1，

0），B（4，0），C（0，－4）三点，P是直线BC下方抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）动点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积．

图8－Z－9

详解详析

1．B[解析]因为抛物线开口向下，其顶点坐标为（2，－3），所以该抛物线有最大值－

3.故选B.

2．D[解析]观察表格可知，点（0，1）与点（3，1）、点（1，－1）与点（2，－1）的纵坐标分

别相等，所以可知它们分别关于图象的对称轴对称

，进而可求得对称轴为直线

x＝

0＋3

2（或

1＋23

2）＝2.故选D.

3．D4.C5.C

2

6．B[解析]①由抛物线与x轴有两个交点，得b－4ac＞0，所以①正确；②因为对

称轴为直线x＝－1，则－b＝－1，即2a－b＝0，所以②错误；③因为抛物线经过点A（－3，

2a

0），对称轴为直线

x＝－1，则抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），于是有a＋b＋c＝0，所

5

1

以③错误；④点

B－2，y1在对称轴左侧1.5个单位长度处，点

C－2，y2

在对称轴右侧

0.5个单位长度处，找出相应的点，显然y1＜y2，所以④正确．故选

B.

5

7．C8.2

9．y＝2（x＋2）2－2（或y＝2x2＋8x＋6）

10．8[解析]由题意可知抛物线

y＝－

1

x2＋b的顶点坐标为（0，8），

2

∴b＝8，∴抛物线的函数表达式为

12

当y＝0时，0＝－2x＋8，解得

12

y＝－2x＋8.

x＝4或－4，

∴水面宽AB＝4＋4＝8（m）．故答案为8.

11．③④[解析]由题图知，抛物线开口向上，

∴a>0.又对称轴在y轴的右侧，

b

∴x＝－>0，

∴b<0，①错误．当x＝－1时，抛物线在x轴上方，

∴y＝a－b＋c>0，②错误．设平移后的抛物线顶点为E，与x轴右边的交点为D，则阴

影部分的面积与平行四边形CEDB的面积相同．

∵平移了2个单位长度，点C的纵坐标是－2，∴S＝2×2＝4，③正确．由抛物线的顶点坐标公式，得yC＝－2，

2

4ac－b

∴＝－2.

∵c＝－1，解得b2＝4a，④正确．故填③④.

12．（1＋7，3）或（2，－3）

13．解：

（1）∵矩形ABCD的周长为12，AB＝x，

1

∴BC＝2×12－x＝6－x.

∵E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，

1

1

2

∴y＝x（6－x）＝－x＋3x，

2

2

即y＝－12x2＋3x.

1

2

1

2

＋4.5，

（2）y＝－x＋3x＝－

（x－3）

2

2

∵a＝－1＜0，

2

∴y有最大值，

当x＝3时，y有最大值，为4.5.

14．解：

（1）由题意可得：

300－10x（0≤x≤30），

y＝

300－20x（－20≤x<0）.

（2）由题意可得：

（20＋x）（300－10x）（0≤x≤30），

w＝

（20＋x）（300－20x）（－20≤x<0），

化简得：

－10x2＋100x＋6000（0≤x≤30），

w＝－20x2－100x＋6000（－20≤x<0），

－10（x－5）2＋6250（0≤x≤30），

即w＝－20（x＋5）2＋6125（－20≤x<0）.2

由题意可知x应取整数，所以当x＝－2或x＝－3时，w＜6125＜6250，

故当销售价格为每件

65元时，月利润最大，最大月利润为

6250元．

（3）由题意得w≥6000，如图，令w＝6000，

5

2

2

＋6250，

即6000＝－20（x＋）＋6125，6000＝－10（x－5）

2

解得x1＝－5，x2＝0，x3＝10，

∴－5≤x≤10，

故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元），才能使每月利润不少于6000

元．

15．解：

（1）设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，

a－b＋c＝0，a＝1，

把A，B，C三点的坐标分别代入可得16a＋4b＋c＝0，解得b＝－3，

c＝－4，c＝－4，

∴这个二次函数的表达式为y＝x2－3x－4.

（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，连接OP，CP，

如图①，

∴PO＝PC，此时点P即为满足条件的点．∵C（0，－4），

∴D（0，－2），

∴点P的纵坐标为－2.

当y＝－2时，即x2－3x－4＝－2，

解得x1＝3－17（不合题意，舍去），x2＝3＋17.

22

3＋17

∴存在满足条件的点P，其坐标为（，－2）．

（3）∵点P在抛物线上，

∴可设P（t，t2－3t－4）．

过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图②，

∵B（4，0），C（0，－4），

∴直线BC的函数表达式为y＝x－4，

∴F（t，t－4），

∴PF＝（t－4）－（t2－3t－4）＝－t2＋4t，

∴S△PBC＝S△PFC＋S△PFB＝

1

1

1

1

1

2

×4

2

PF·OE＋PF·BE＝PF·（OE＋BE）＝

PF·OB＝

（－t＋4t）

2

2

2

2

＝－2（t－2）2＋8，

∴当t＝2时，S△PBC最大，且最大值为8，

此时t2－3t－4＝－6，

∴当点P的坐标为（2，－6）时，△PBC的面积最大，最大面积为8.