答案：
（－1,3）
【针对训练】
1．下列命题中是假命题的是（ ）
A．∀x∈
，x>sinxB．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2
C．∀x∈R,3x>0D．∃x0∈R，lgx0＝0
解析：
选B 因为对∀x∈R，sinx＋cosx＝
sin
≤
，所以“∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2”为假命题．
2．设命题p：
∀x>0，log2x<2x＋3，则綈p为（ ）
A．∀x>0，log2x≥2x＋3B．∃x0>0，log2x0≥2x0＋3
C．∃x0>0，log2x0<2x0＋3D．∀x>0，log2x>2x＋3
解析：
选B 该命题含有量词“∀”，故该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故綈p为：
∃x0>0，log2x0≥2x0＋3.
3．若“∀x∈
，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：
因为“∀x∈
，tanx≤m”是真命题，所以m≥（tanx）max.当x∈
时，函数y＝tanx是单调递增函数，故（tanx）max＝tan
＝1，所以m≥1，m的最小值为1.
答案：
1
【课后演练】
1．命题“函数y＝f（x）（x∈M）是偶函数”的否定可表示为（ ）
A．∃x0∈M，f（－x0）≠f（x0）
B．∀x∈M，f（－x）≠f（x）
C．∀x∈M，f（－x）＝f（x）
D．∃x0∈M，f（－x0）＝f（x0）
解析：
选A 命题“函数y＝f（x）（x∈M）是偶函数”即“∀x∈M，f（－x）＝f（x）”，该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即“∃x0∈M，f（－x0）≠f（x0）”．
2．已知命题q：
∀x∈R，x2＞0，则（ ）
A．命题綈q：
∀x∈R，x2≤0为假命题
B．命题綈q：
∀x∈R，x2≤0为真命题
C．命题綈q：
∃x0∈R，x
≤0为假命题
D．命题綈q：
∃x0∈R，x
≤0为真命题
解析：
选D 全称命题的否定是将“任意”改为“存在”，然后再否定结论．又当x＝0时，x2≤0成立，所以綈q为真命题，故选D.
3．已知命题p：
所有有理数都是实数，命题q：
正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．（綈p）∨q B．p∧q
C．（綈p）∧（綈q）D．（綈p）∨（綈q）
解析：
选D 因为有理数集合是实数集合的真子集，所以命题p是真命题，綈p是假命题．因为lg10＝1＞0，所以命题q是假命题，綈q是真命题，所以D项（綈p）∨（綈q）是真命题，A、B、C都是假命题．
4．已知命题p：
对任意x∈R，总有|x|≥0；
q：
x＝1是方程x＋2＝0的根．
则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧（綈q）B．（綈p）∧q
C．（綈p）∧（綈q）D．p∧q
解析：
选A 由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧（綈q）是真命题．
5．若∃x0∈
，使得2x
－λx0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）
A．（－∞，2
]B．（2
，3]
C.
D．{3}
解析：
选A 因为∃x0∈
，使得2x
－λx0＋1<0成立是假命题，所以∀x∈
，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈
，使得λ≤2x＋
恒成立是真命题，令f（x）＝2x＋
，则f′（x）＝2－
，当x∈
时，f′（x）<0，当x∈
时，f′（x）>0，所以f（x）≥f
＝2
，则λ≤2
.
6．下列四种说法中，正确的是（ ）
A．集合A＝{－1,0}的子集有3个
B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真
C．“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件
D．命题“∀x∈R，x2－3x－2≥0”的否定是“∃x0∈R，使得x
－3x0－2≥0”
解析：
选C 对于选项A，A＝{－1,0}的子集有∅，{－1}，{0}，{－1,0}，共4个，A错；对于选项B，“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，当m＝0时为假命题，B错；对于选项C，“命题p∨q为真”，表示命题p与q至少有一个为真，而“命题p∧q为真”，表示命题p与q全为真，C正确；对于选项D，命题“∀x∈R，x2－3x－2≥0”的否定是“∃x0∈R，使得x
－3x0－2＜0”，D错．综上，选C.
7．命题p的否定是“对所有正数x，
＞x＋1”，则命题p可写为_______________．
解析：
因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．
答案：
∃x0∈（0，＋∞），
≤x0＋1
8．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________．
解析：
“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有k<0且Δ＝（－k）2－4×k×（－1）＝k2＋4k<0，解得－4答案：
（－4,0]
9．已知命题p：
x2＋4x＋3≥0，q：
x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则x＝________.
解析：
若p为真，则x≥－1或x≤－3，
因为“綈q”为假，则q为真，即x∈Z，
又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，
由题意，得x＝－2.
答案：
－2
10．已知命题p：
∃x0∈R，x0－2＞lgx0；命题q：
∀x∈R，－x2＋x－1＜0.给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧（綈q）”是假命题；
③命题“（綈p）∨q”是真命题；
④命题“p∨（綈q）”是假命题．
其中所有正确结论的序号为________．
解析：
对于命题p，取x＝10，则有10－2＞lg10成立，故命题p为真命题；对于命题q，由－x2＋x－1<0，得x2－x＋1>0，由Δ＝－3<0，知命题q为真命题．综上“p∧q”是真命题，“p∧（綈q）”是假命题，“（綈p）∨q”是真命题，“p∨（綈q）”是真命题，即正确的结论为①②③.
答案：
①②③
11．若命题p：
函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞），命题q：
函数y＝x－
的单调递增区间是[1，＋∞），则（ ）
A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题D．綈q是真命题
解析：
选D 因为函数y＝x2－2x在[1，＋∞）上是增函数，所以其单调递增区间是[1，＋∞），所以p是真命题；因为函数y＝x－
的单调递增区间是（－∞，0）和（0，＋∞），所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题．故选D.
12．已知命题p：
∀x∈R，log2（x2＋4）≥2，命题q：
y＝x
是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∨（綈q）B．p∧q
C．（綈p）∨qD．（綈p）∧（綈q）
解析：
选A 命题p：
函数y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，x2＋4≥4，所以log2（x2＋4）≥log24＝2，即命题p是真命题，因此綈p为假命题；命题q：
y＝x
在定义域上是增函数，故命题q是假命题，綈q是真命题．因此选项A是真命题，选项B、C、D都是假命题，故选A.
13．下列说法错误的是（ ）
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．若命题p：
存在x0∈R，x
＋x0＋1<0，则綈p：
对任意x∈R，x2＋x＋1≥0
C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥
2”的充要条件
D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假
解析：
选D 由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy≥
2⇔4xy≥（x＋y）2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔（x－y）2≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．
14．已知命题“∃x0∈R，x
＋ax0－4a＜0”为真命题，则实数a的取值范围为______________．
解析：
“∃x0∈R，x
＋ax0－4a＜0”为真命题的充要条件是Δ＝a2＋16a＞0，解得a＜－16或a＞0.
答案：
（－∞，－16）∪（0，＋∞）
15．已知命题p：
a2≥0（a∈R），命题q：
函数f（x）＝x2－x在区间[0，＋∞）上单调递增，则下列命题：
①p∨q；②p∧q；③（綈p）∧（綈q）；④（綈p）∨q.
其中为假命题的序号为________．
解析：
显然命题p为真命题，綈p为假命题．
∵f（x）＝x2－x＝
2－
，
∴函数f（x）在区间
上单调递增．
∴命题q为假命题，綈q为真命题．
∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，（綈p）∧（綈q）为假命题，（綈p）∨q为假命题．
答案：
②③④
16．设t∈R，已知命题p：
函数f（x）＝x2－2tx＋1有零点；命题q：
∀x∈[1，＋∞），
－x≤4t2－1.
（1）当t＝1时，判断命题q的真假；
（2）若p∨q为假命题，求t的取值范围．
解：
（1）当t＝1时，
max＝0，
－x≤3在[1，＋∞）上恒成立，故命题q为真命题．
（2）若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．
当p为假命题时，Δ＝（－2t）2－4<0，解得－1当q为真命题时，
max≤4t2－1，即4t2－1≥0，
解得t≤－
或t≥
，
∴当q为假命题时，－
，
∴t的取值范围是
.
17．已知命题p：
“存在a>0，使函数f（x）＝ax2－4x在（－∞，2]上单调递减”，命题q：
“存在a∈R，使∀x∈R，16x2－16（a－1）x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
解：
若p为真，则对称轴x＝－
＝
在区间（－∞，2]的右侧，即
≥2，∴0若q为真，则方程16x2－16（a－1）x＋1＝0无实数根．
∴Δ＝[－16（a－1）]2－4×16<0，∴
.
∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p，q都为真，
∴
∴
故实数a的取值范围为
.
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