高中数学选修47全册教案.docx

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高中数学选修47全册教案

高三数学选修4-7

全套教案

第一讲优选法

一什么叫优选法

二单峰函数

知识与技能：

通过本节课的学习，初步了解优选法的概念，帮助学生了解优选问题的广泛存在，能正确的判断出单峰函数，能建立实际优选问题的数学模型，并寻找模型的最佳点，从数学角度加深对解决优选问题的认知.

情感、态度与价值：

通过本节课的学习帮助学生思考和解决一些简单的实际问题.

教学过程

1.有一种商品价格竞猜游戏，参与者在知道售价范围的前提下，对一件商品的价格进行竞猜.当竞猜者给出的估价不正确时，主持人以“高了”“低了”作为提示语，再让竞猜者继续估价，在规定的时间或次数内猜对的，即可获得这件商品.如果参加类似的游戏，每次你将怎

么给出估价呢？

2.蒸馒头是日常生活中常做的事情，为了使蒸出的馒头好吃，就要放碱.如果碱放少了，蒸出的馒头就发酸；碱放多了，蒸出的馒头就发黄且有碱味.对于一定量的面粉来说，放多少碱最合适呢？

如果你没有做馒头的经验，也没有人可以请教，如何迅速地找出合适的碱量？

3.一个农场希望知道某个玉米品种的高产栽培条件，如果可以掌握的因素是:

种植密度、施化肥量、施化肥时间，如何迅速地找出高产栽培的条件？

如何找出其中对玉米的产量影响比较大的因素呢？

一、优选法

优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法.

二、单峰函数

如果函数f（x）在区间[a,b]上只有唯一的最大值点（或最小值点）C，而在最大值点（或最小

值点）C的左侧，函数单调增加（减少）；在点C的右侧，函数单调减少（增加），则称这个函数

为区间[a,b]上的单峰函数.例如，图中的两个函数f（x），g（x）就是单峰函数.

我们规定，区间[a,b]上的单调函数也是单峰函数.

在炮弹发射试验中，除发射角外，初速度、空气阻力等也会影响炮弹的射程，我们把影响试验目标的初速度、发射角、空气阻力等称为因素.

在一个试验过程中，只有（或主要有）一个因素在变化的问题，称为单因素问题.

射程（目标）可以表示为发射角（因素）的函数.像这样表示目标与因素之间对应关系的函数，称为目标函数.

若函数f（x）在区间[a,b]上是单峰函数,C是最佳点，如果在区间[a,b]上任取x1，x2，如果在试验中效果较好的点是x1，则必有C和x1在x2的同侧，若以x2为分界点,含x1点的区间范围是函数的一个存优范围.

练习.判断下列函数在区间[－1,5]上哪些是单峰函数：

（1）y＝3x2－5x＋2;

（2）y＝－x2－3x＋1;

（3）y＝cosx;（4）y＝ex;

（5）y＝x3.

课后作业

1.阅读教材P.2-P.10；2.《学案》P.32-P.34.

教学后记

第一讲优选法

三、黄金分割法——0.618法

知识与技能：

黄金分割法——0.618法是非常著名的优选法，在生产实践中有广泛应用，通过学习这一内容，不仅可以使学生学会一种用数学知识解决实际问题的方法（数学建模），了解黄金分割常数，而且还可以使学生感受数学在解决实际问题中的作用.

情感、态度与价值：

通过本课学习，增加学生的数学文化内涵，让学生感受到数学的美.

教学过程

一、黄金分割常数

对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？

假设因素区间为[0,1]，取两个试点

、

，那么对峰值在

中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为

的区间（图1）；但对于峰值在

的函数，只能去掉长度

为

的区间（图2），试验效率就不理想了.

怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点？

在安排试点时，最好使两个试点关于[a,b]的中心

对称.

为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：

每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同.

黄金分割常数：

，用表示.

试验方法中，利用黄金分割常数确定试点的方法叫做黄金分割法.由于

是无理数，具体应用时，我们往往取其近似值0.618.相应地，也把黄金分割法叫做0.618法.

二、黄金分割法——0.618法

例.炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量？

我们用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值

叫做精度，即n次试验后的精度为

用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n次试验后的精度为

一般地，给定精度，为了达到这个精度，所要做的试验次数n满足

即

所以

黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.

课后作业

1.阅读教材P.5-P.10；

2.《学案》第一讲第三课时.

教学后记

第一讲优选法

四、分数法

知识与技能：

本节结合具体问题介绍分数法，让学生认识到分数法最优性的含义，并能初步了解它的推导原理，注意斐波那契数列的表示.

情感、态度与价值：

通过本节内容的学习，丰富了数学内容，传播了数学文化.

一、复习

黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.

用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n次试验后的精度为

二、新课

案例1在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130ml肯定不好.用150ml的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.

斐波那契数列和黄金分割

每个月兔子数构成的数列：

这个数列是意大利数学家斐波那契首先给出的，为了纪念他，此数列被称为斐波那契数列.斐波那契数列有着广泛的应用，其中之一是由它可以构造出黄金分割常数的近似分数列.

数列{Fn}为

案例1中，加入量大于130ml时肯定不好，因此试验范围就定为0~130ml.我们看到，10ml，20ml;，30ml，…，120ml把试验范围分为13格，对照的渐进分数列，如果用

来代替0.618，那么我们有

用“加两头，减中间”的方法，

在存优范围50~130ml内：

继续用“加两头，减中间”的方法确定试点，几次试验后，就能找到满意的结果.

优选法中，像这样用渐进分数近似代替确定试点的方法叫分数法.

如果因素范围由一些不连续的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定数，这是只能采用分数法.

案例2在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有阻值为0.5K，1K，1.3K，2K，3K，5K，5.5K等七种阻值不等的定值电阻.他应当如何优选这个阻值?

如果用0.618法，则计算出来的电阻调试者手里可能没有.这时，可以先把这些电阻由小到大的顺序排列：

阻值（K）

0.5

1

1.3

2

3

5

5.5

排列

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

为了便于分数法，可在两端增加虚点（0），（8），使因素范围凑成为8格，用

代替0.618.

一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑.

（1）可能的试点总数正好是某一个（Fn－1）.这时，前两个试点放在因素范围的

位置上，即先在第Fn－1和Fn－2上做实验.

（2）所有可能的试点总数大于某一（Fn－1），而小于（Fn+1－1）.这时可以用如下方法解决.

先分析能否减少试点数，把所有可能的试点减少为（Fn－1）个，从而转化为前一种情形.如果不能减少，则采取在试点范围之外，虚设几个试点，凑成Fn+1－1个试点，从而转化成

（1）的情形.对于这些虚设点，并不增加实际试验次数.

分数法的最优性

在目标函数为单峰的情形，通过n次试验，最多能从（Fn+1－1）个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n次试验中的最优试验点.

在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n次试验保证从（Fn+1－1）个试点中找出最佳点.

综上所述，对于试点个数为某常数时，用分数法找出其中最佳点的试验次数最少，这就是分数的最优性.分数法在有有限个试点优选问题中被广泛使用.

课后作业

1.阅读教材P.11-P.17

教学后记

第一讲优选法

五、其他几种常用的优选法

知识与技能：

通过本节内容的学习，结合具体实例了解其他几种常用的优选法，对分法，盲人爬山法，分批试验法.

情感、态度、价值：

通过本部分的学习，可以培养学生的应用能力，同时通过例题的分析与比较，提升思维的比较迁移能力.

教学过程;

复习

1.0.618法

适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.

用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n次试验后的精度为

2.斐波那契数列

1，1，2，3，5，8，13，21，34,…

3.黄金分割常数的近似分数列

3.分数法

适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的黄金分割近似分数处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.

4.0.618法和分数法的区别

0.618法:

适合[a,b]区间上的实数试点问题

分数法:

适合[a,b]区间上的有限试点问题

5.分数法的最优性

2次试验可以最多处理2个试点问题

3次试验可以最多处理4个试点问题

4次试验可以最多处理7个试点问题

5次试验可以最多处理12个试点问题

6次试验可以最多处理20个试点问题

…

n次试验可以最多处理（Fn+1－1）个试点问题

新课

一、对分法

案例1有一条10km长的输电线路出现了故障，在线路的一端A处有电，在另一端B处没有电，要迅速查出故障所在位置.

0.618法和分数法都是先做两个试验，然后再通过比较，确定存优范围，不断地将试验范围缩小，最后找到最佳点.现在找输电线路故障所在位置，我们只需在AB之间的任意点C做检查，就能根据点C是否有电，判断出故障在哪一段，从而缩小故障范围，而不需要做两个试验进行比较.那么，如何选取每次的检查点才能迅速找出故障位置呢？

第一个检查点C安排在线路中间，如果有电，说明故障不在AC而在CB段，接着在CB中点D检查，如果没有电，说明故障在CD部分，再在CD中点E检查，如此类推，很快就能找出故障的位置.

这个方法的要点是每个试点都取在因素范围的中点，将因素范围对分为两半，所以这种方法就称为对分法.用这种方法做试验的效果较0.618法好，每次可以去掉一半.

那么是不是所有的问题都可以用对分法呢？

不是的.如果每做一次试验，根据结果，可以决定下次试验的方向，就可以用对分法.

例如案例1中，根据有没有电就可以判断是哪段线路有故障，下次就在有故障的一段

检查.决定下次试验方向，只要满足以下两个条件就可以：

一是要有一个标准，对分法每

次只有一个试验结果，如果没有一个标准，就无法鉴别试验结果的好坏，案例1中的标准

是有没有电；二是要预知该因素对指标的影响规律，也就是说，能够从一个试验的结果

直接分析出该因素的值是取大了还是取小了，案例1中，根据检查点是否有电，知道下一个应该离A点更近些还是更远些.如果没有这一条件就不能确定下一次应该在哪个因素范围

进行试验.

案例2在商品价格竞猜游戏中,每一次试猜时，如何给出商品估价就可以最迅速地猜出真实价格？