概率论与数理统计教案.docx
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概率论与数理统计教案
概率论与数理统计教案(48课时)(总10页)
《概率论与数理统计》课程教案
第一章随机事件及其概率
一.本章的教学目标及基本要求
(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念;
(2)掌握随机事件之间的关系与运算,;
(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算;学会几何概率的计算;
(4)理解事件频率的概念,了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes公式及其意义。
理解事件的独立性。
二.本章的教学内容及学时分配
第一节随机事件及事件之间的关系
第二节频率与概率2学时
第三节等可能概型(古典概型)2学时
第四节条件概率
第五节事件的独立性2学时
三.本章教学内容的重点和难点
1)随机事件及随机事件之间的关系;
2)古典概型及概率计算;
3)概率的性质;
4)条件概率,全概率公式和Bayes公式
5)独立性、n重伯努利试验和伯努利定理
四.教学过程中应注意的问题
1)使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件;
2)注意让学生理解事件
…的具体含义,理解事件的互斥关系;
3)让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律;
4)古典概率计算中,为了计算样本点总数和事件的有利场合数,经常要用到排列和组合,复习排列、组合原理;
5)讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回;
五.思考题和习题
思考题:
1.集合的并运算
和差运算-是否存在消去律?
2.怎样理解互斥事件和逆事件?
3.古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点哪些相同点
习题:
第二章随机变量及其分布
一.本章的教学目标及基本要求
(1)理解随机变量的概念,理解随机变量分布函数的概念及性质,理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质,会运用概率分布计算各种随机事件的概率;
(2)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质;
二.本章的教学内容及学时分配
第一节随机变量
第二节第二节离散型随机变量及其分布
离散随机变量及分布律、分布律的特征
第三节常用的离散型随机变量
常见分布(0-1分布、二项分布、泊松分布)2学时
第四节随机变量的分布函数
分布函数的定义和基本性质,公式
第五节连续型随机变量及其分布
连续随机变量及密度函数、密度函数的性质2学时
第六节常用的连续型随机变量
常见分布(均匀分布、指数分布、正态分布)及概率计算2学时
三.本章教学内容的重点和难点
a)随机变量的定义、分布函数及性质;
b)离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数,如何用分布律或密度函数求任何事件的概率;
c)六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布);
四.教学过程中应注意的问题
a)注意分布函数
的特殊值及左连续性概念的理解;
b)构成离散随机变量X的分布律的条件,它与分布函数
之间的关系;
c)构成连续随机变量X的密度函数的条件,它与分布函数
之间的关系;
d)连续型随机变量的分布函数
关于
处处连续,且
,其中
为任意实数,同时说明了
不能推导
。
e)注意正态分布的标准化以及计算查表问题;
五.思考题和习题
思考题:
1.函数
是否是某个随机变量的分布函数?
2.分布函数
有两种定义——
,主要的区别是什么?
3.均匀分布与几何概率有何联系?
4.讨论指数分布与泊松分布之间的关系。
5.列举正态分布的应用。
习题:
第三章多维随机变量及其分布
一.教学目标及基本要求
(1)了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质,了解二维离散型和连续
型随机变量定义及其概率分布和性质,了解二维均匀分布和正态分布。
(2)会用联合概率分布计算有关事件的概率,会求边缘分布。
(3)掌握随机变量独立性的概念,掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。
(4)会求两个独立随机变量的简单函数(如函数X+Y,max(X,Y),min(X,Y))的分布。
二.教学内容及学时分配
第一节二维随机变量
二维随机变量及其分布,离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其密度函数、它们的性质、n维随机变量2学时
第二节边缘分布
边缘分布律、边缘密度函数2学时
第三节条件分布1学时
第四节相互独立的随机变量
两个变量的独立性,n个变量的独立性1学时
第四节二维随机变量的函数的分布
已知(X,Y)的分布率pij或密度函数
,求
的分布律或密度函数
。
特别如函数形式:
。
2学时
三.本章教学内容的重点和难点
a)二维随机变量的分布函数及性质,与一维情形比较有哪些不同之处;
b)边缘密度函数的计算公式:
的运用,特别是积分限的确定和变量x的取值范围的讨论;
c)随机变量独立性的判定条件以及应用独立性简化计算,如由边缘分布律或密度函数可以确定联合分布律或联合密度函数;
d)推导
的密度函数的卷积公式:
,正确使用卷积公式;
e)在X,Y独立性的条件下,推导
的密度函数,注意它们在可靠性方面的应用。
四.教学过程中应注意的问题
a)注意联合分布函数能决定任意随机变量X或Y的分布(边缘分布),反之则不能确定(X,Y)的联合分布,由正态分布可以说明;
b)在判断两个随机变量是否独立过程中,如果存在某点
,使得:
或
,则称变量X与Y不独立;
c)一般计算概率使用如下公式:
,注意二重积分运算知识点的复习。
d)二维均匀分布的密度函数的具体表达形式。
五.思考题和习题
思考题:
1.由随机变量
的边缘分布能否决定它们的联合分布?
2.条件分布是否可以由条件概率公式推导?
3.事件的独立性与随机变量的独立性是否一致?
4.如何利用随机变量之间的独立性去简化概率计算,试举例说明。
习题:
第四章随机变量的数字特征
一.教学目标及基本要求
(1)理解数学期望和方差的定义并且掌握它们的计算公式;
(2)掌握数学期望和方差的性质与计算,会求随机变量函数的数学期望,特别是利用期望或方差的性质计算某些随机变量函数的期望和方差。
(3)熟记0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望和方差;
(4)了解矩、协方差和相关系数的概念和性质,并会计算。
二.教学内容及学时分配
第一节数学期望
离散型、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期望的应用、数学期望的性质3学时
第二节方差
方差的概念及计算、方差的性质、常见分布的数学期望及方差简单归纳
2学时
第三节协方差与相关系数2学时
第四节矩和协方差矩阵1学时
三.本章教学内容的重点和难点
a)数学期望、方差的具体含义;
b)数学期望、方差的性质,使用性质简化计算的技巧;特别是级数的求和运算。
c)期望、方差的应用;
四.本章教学内容的深化和拓宽
将数学期望拓展到数学期望向量和数学期望矩阵;协方差及相关系数概念和公式拓宽到n维随机变量的协方差矩阵和相关系数矩阵。
五.教学过程中应注意的问题
a)一个随机变量并不一定存在数学期望和方差,也有可能数学期望存在,而方差不存在,如柯西分布是最着名的例子;
b)数学期望的一个具体的数字,不是函数;
c)由方差的定义知,方差是非负的;
d)独立性和不相关性之间的关系,一般地,X与Y独立,则X与Y不相关,反之则不然,但对于正态分布,两者却是等价的;
六.思考题和习题
思考题:
1.假定一个系统由5个电子元件组装而成,假定它们独立同服从于指数分布,将它们串接起来,求系统的平均寿命,若将它们并行连接,其系统的平均寿命是多少?
并比较其优劣。
2.方差的定义为什么不是
3.工程上经常遇到计算误差,它是否与方差是同一个概念?
4.协方差与相关系数有什么本质上的区别?
5.随机变量
与
独立可以推导
,反之呢对正态分布又如何呢
习题:
第五章大数定律和中心极限定理
一.教学目标及基本要求
了解切比雪夫不等式、大数定律和中心极限定理。
二.教学内容及学时分配
第一节大数定律
第二节中心极限定理2学时
三.本章教学内容的重点和难点
大数定律和中心极限定理的含义;
四.本章教学内容的深化和拓宽
中心极限定理的条件拓宽。
五.教学过程中应注意的问题
1)大数定律的变形,大数定律的证明关键是使用了切比契夫不等式;
2)注意中心极限定理的条件和结论,如何使用这一结论解决应用题;
习题:
第六章样本及抽样分布
一.教学目标及基本要求
(1)理解总体、样本和统计量的概念;了解经验分布函数
(2)掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。
(3)了解卡方分布、t-分布和F分布的定义及性质,了解分位数的概念并会查表计算概率。
(4)掌握在正态总体下样本均值、样本方差、t统计量的分布及性质。
二.教学内容及学时分配
(1)
第一节总体与样本
第二节统计量(包括经验分布函数)2学时
第三节几个常用的分布
正态分布,
-分布,t-分布,F-分布)、抽样分布定理、分位数2学时
三.本章教学内容的重点和难点
a)数理统计与概率论在研究问题和方法上的根本区别;
b)总体、样本的概念;
c)统计量的定义和常用的统计量;
d)正态分布以及由正态分布导出的三大统计分布,抽样分布定理,分位数的概念。
e)
-分布、
分布和
分布的定义
四.教学过程中应注意的问题
a)正态分布的标准化:
若
,则
;
b)“独立正态变量之和仍为正态变量”和中心极限定理的应用;
c)对三大统计分布定义深入分析,补充例子加以说明,如
取自正态总体
,的一个样本,令
,求系数
,使Y服从
-分布,并求自由度;
d)查常用分布数值表是实际计算中不可缺少的一步,务必掌握;
e)掌握统计学的思想应该从正态总体出发,因为数理统计学的许多基本理论是在正态总体的假定下建立起来的;
六.思考题和习题
思考题:
1.样本平均值、中位数、众数的定义和区别。
2.样本
是相互独立且具有相同分布的,那么顺序统计量
是否也是独立同分布的?
3.经验分布函数是统计量吗?
4.什么叫上侧分位数?
习题:
第七章参数估计
一.本章的教学目标及基本要求
(1)理解总体参数的点估计和区间估计的概念;
(2)掌握求点估计的方法——矩估计法和极大似然法;
(3)了解估计量的评选标准(无偏性、有效性、一致性)。
(4)会求单个,两个正态总体的均值和方差的置信区间;
二.本章的教学内容及学时分配
第一节点估计量——矩估计法和极大似然法2学时
第二节估计量的评选标准(无偏性、有效性、一致性)2学时
第三节区间估计1学时
第四节单个正态总体参数的区间估计2学时
第五节两个正态总体参数的区间估计(简介)1学时
三.本章教学内容的重点和难点
a)点估计量的求解方法——矩估计法和极大似然法;
b)估计量评价标准——无偏性;
c)置信区间的求解方法;
d)正态总体参数的区间估计
四.教学过程中应注意的问题
a)要善于比较矩估计法和极大似然法各自的优良性;
b)强调极大似然函数的正确书写步骤以及典型例子分析步骤;
c)强调估计量的无偏性的实际含义,提出对不满足无偏性的估计量进行修正,讲解修正的方法;
d)讲清楚区间估计方法的实际含义;
e)对于各正态总体参数的区间估计问题,要讲清楚基本思想,原理,基本流程及相同之处。
六.思考题和习题
思考题:
1.设
服从如下分布:
0
1
2
3
利用总体的样本观测值:
3,1,3,0,3,1,2,3,求参数
的矩估计和极大似然估计,如何求?
2.利用参数的置信区间,如何求样本容量
3.比例参数
的置信区间如何求?
习题:
第八章假设检验
一.本章的教学目标及基本要求
(1)理解显着性假设检验的基本思想;
(2)掌握假设检验的基本步骤,了解假设检验可能产生的两类错误。
(3)掌握单个正态总体的均值和方差的假设检验,了解两个正态总体的均值和方差的假设检验。
二.本章的教学内容及学时分配
第一节假设检验
基本概念与两类错误、假设检验的基本原理和主要步骤2学时
第二节单个正态总体参数的假设检验2学时
第三节两个正态总体参数的假设检验2学时
三.本章教学内容的重点和难点
假设检验的基本思想和基本检验步骤;
四.本章教学过程中应注意的问题
a)通过举例叙述假设检验的思想;
b)强调典型例子分析,使学生理解假设检验的步骤;
c)对实际问题提出假设(特别是单侧检验)比计算更难;
六.思考题和习题
思考题:
1.怎样计算两类错判概率?
列举生活中遇到的1~2个错判事件。
2.为什么说假设检验的基本思想是数学上的反证法?
3.比例参数
的假设检验怎样进行?
习题: