电大离散数学网络课程形成性考核第6次形考任务.doc

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★形成性考核作业★

姓名：

王稼骏

学号：

1815001209149

得分：

教师签名：

离散数学作业6

离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业．

要求：

学生提交作业有以下三种方式可供选择：

1.可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．

2.在线提交word文档

3.自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．

一、填空题

1．命题公式的真值是　1或T　．

2．设P：

他生病了，Q：

他出差了．R：

我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为P∨Q→R

．

3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式PÙQ的主析取范式是（PÙQÙ┐R）∨（PÙQÙR）

4．设P（x）：

x是人，Q（x）：

x去上课，则命题“有人去上课．”可符号化为

∃x（P（x）∧Q（x））．

5．设个体域D＝{a,b},那么谓词公式消去量词后的等值式为（A（a）∨A（b））∨（B（a）∧B（b））．

6．设个体域D＝{1,2,3}，A（x）为“x大于3”，则谓词公式（$x）A（x）的真值为0．

7．谓词命题公式（"x）（（A（x）ÙB（x））ÚC（y））中的自由变元为y．

8．谓词命题公式（"x）（P（x）®Q（x）ÚR（x，y））中的约束变元为x．

三、公式翻译题

1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．

解：

设P：

今天是天晴

则该语句符号化为P

2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．

解：

设P：

小王去旅游，Q：

小李也去旅游

则该语句符号化为P∧Q

3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

解：

设P：

他去旅游Q：

他有时间

则该语句符号化为P→Q

4．将语句“41次列车下午五点开或者六点开．”翻译成命题公式．

解：

命题P：

41次列车下午5点开；

命题Q：

41次列车下午6点开；

P或Q.

5．请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式．

解：

设P（x）：

x是人Q（x）：

x不去工作

则谓词公式为（∃x）（P（x）∧Q（x））

6．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．

解：

设P（x）：

x是人Q（x）：

x努力工作

则谓词公式为（∀x）（P（x）→Q（x））

四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．命题公式ØPÙP的真值是1．

解：

不正确，┐P∧P的真值是0，它是一个永假式，命题公式中的否定律

就是┐P∧P=F

2．（$x）（P（x）→Q（y）∧R（z））中的约束变元为y．

解：

不正确。

该式中的约束变元为x。

3．谓词公式中$x量词的辖域为．

解：

错误。

谓词公式中$x量词的辖域为P（x，y）。

4．下面的推理是否正确，请给予说明．

（1）（"x）A（x）®B（x）前提引入

（2）A（y）®B（y）US

（1）

解：

不正确，

（1）中（"）x的辖域仅是A（x），而不是A（x）ÙB（x）。

四．计算题

1．求P®QÚR的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．

解：

┐PÚ（Q∨R）=┐PÚQ∨R

所以合取范式和析取范式都是┐PÚQ∨R

所以主合取范式就是┐PÚQ∨R

所以主析取范式就是（ØPÙØQÙØR）Ú（ØPÙØQÙR）Ú（ØPÙQÙØR）（ØPÙQÙR）Ú（PÙØQÙR）Ú（PÙQÙØR）Ú（PÙQÙR）

2．求命题公式（PÚQ）®（RÚQ）的主析取范式、主合取范式．

解：

（PÚØQ）®（RÙQ）=Ø（PÚØQ）Ú（RÙQ）=（ØPÙQ）Ú（RÙQ）

其中（ØPÙQ）=（ØPÙQ）Ù（RÚØR）=（ØPÙQÙR）Ú（ØPÙQÙØR）

其中（RÙQ）=（RÙQ）Ù（PÚØP）=（PÙQÙR）Ú（ØPÙQÙR）

所以原式=（ØPÙQÙR）Ú（ØPÙQÙØR）Ú（PÙQÙR）Ú（ØPÙQÙR）

=（ØPÙQÙR）Ú（ØPÙQÙØR）Ú（PÙQÙR）

=（ØPÙQÙØR）Ú（ØPÙQÙR）Ú（PÙQÙR）=m2Úm3Úm7

这就是主析取范式

所以主合取范式为M0ÙM1ÙM4ÙM5ÙM6

可写为（PÚQÚR）Ù（PÚQÚØR）Ù（ØPÚØQÚR）Ù（ØPÚQÚØR）Ù（ØPÚØQÚR）

3．设谓词公式．

（1）试写出量词的辖域；

（2）指出该公式的自由变元和约束变元．

解：

（1）量词$x的辖域为P（x,y）®（"z）Q（y,x,z）

量词"z的辖域为Q（y,x,z）

量词"y的辖域为R（y,x）

（2）P（x,y）中的x是约束变元，y是自由变元

Q（y,x,z）中的x和z是约束变元，y是自由变元

R（y,x）中的x是自由变元，y是约束变元

4．设个体域为D={a1,a2}，求谓词公式"y$xP（x,y）消去量词后的等值式；

解：

"y$xP（x,y）=$xP（x,a1）Ù$xP（x,a2）

=（P（a1,a1）ÚP（a2,a1））Ù（P（a1,a2）ÚP（a1,a2））

五、证明题

1．试证明（P®（QÚØR））ÙØPÙQ与Ø（PÚØQ）等价．

证明：

（P®（QÚØR））ÙØPÙQÛ（ØPÚ（QÚØR））ÙØPÙQ

Û（ØPÚQÚØR）ÙØPÙQ

Û（ØPÙØPÙQ）Ú（QÙØPÙQ）Ú（ØRÙØPÙQ）

Û（ØPÙQ）Ú（ØPÙQ）Ú（ØPÙQÙØR）

ÛØPÙQ（吸收律）

ÛØ（PÚØQ）（摩根律）

2．试证明：

┐（A∧┐B）∧（┐B∨C）∧┐CÞ┐A．

证明：

┐（A∧┐B）∧（┐B∨C）∧┐C

Û（┐A∨B）∧（┐B∨C）∧┐C

Û（┐A∨B）∧（（┐B∧┐C）∨（C∧┐C））

Û（┐A∨B）∧（（┐B∧┐C）∨0）

Û（┐A∨B）∧（┐B∧┐C）

Û（┐A∧（┐B∧┐C））∨（B∧（┐B∧┐C））

Û（┐A∧（┐B∧┐C））∨0

Û┐A∧（┐B∧┐C）

Û┐（A∨B∨C）

故由左边不可推出右边┐A。

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