电大复变函数形成性考核册参考答案.doc
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复变函数习题总汇与参考答案第1章复数与复变函数
一、单项选择题
1、若Z1=（a,b）,Z2=（c,d）,则Z1·Z2=（C）
A（ac+bd,a）B（ac-bd,b）C（ac-bd,ac+bd）D（ac+bd,bc-ad）
2、若R>0，则N（∞，R）={z：
（D）}
A|z|R
3、若z=x+iy,则y=（D）
ABCD
4、若A=，则|A|=（C）
A3B0C1D2
二、填空题
1、若z=x+iy,w=z2=u+iv,则v=（2xy）
2、复平面上满足Rez=4的点集为（{z=x+iy|x=4}）
3、（设E为点集，若它是开集，且是连通的，则E）称为区域。
4、设z0=x0+iy0,zn=xn+iyn（n=1,2,……），则{zn}以zo为极限的充分必要条件是xn=x0，且yn=y0。
三、计算题
1、求复数-1-i的实部、虚部、模与主辐角。
解：
Re（-1-i）=-1Im（-1-i）=-1
2、写出复数-i的三角式。
解：
3、写出复数的代数式。
解：
4、求根式的值。
解：
四、证明题
1、证明若，则a2+b2=1。
证明：
而
3、证明：
证明：
第2章解析函数一、单项选择题
1．若f（z）=x2-y2+2xyi,则
2、若f（z）=u（x,y）+iv（x,y）,则柯西—黎曼条件为（D）
AB
CD
3、若f（z）=z+1,则f（z）在复平面上（C）
A仅在点z=0解析B无处解析C处处解析D在z=0不解析且在z≠0解析
4、若f（z）在复平面解析，g（z）在复平面上连续，则f（z）+g（z）在复平面上（C）A解析B可导C连续D不连续
二、填空题
1、若f（z）在点a不解析，则称a为f（z）的奇点。
2、若f（z）在点z=1的邻域可导，则f（z）在点z=1解析。
3、若f（z）=z2+2z+1，则
4、若，则不存在。
三、计算题：
1、设f（z）=zRe（z）,求
解：
=
2、设f（z）=excosy+iexsiny,求
解：
f（z）=excosy+iexsiny=ez,z=x+iy
u=excosyv=exsiny
f（z）=u+iv
∴f（z）在复平面解析，且=excosy+iexsiny
3、设f（z）=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=x3-3xy2，
f（i）=0,试求f（z）。
解：
依C-R条件有Vy=ux=3x2-3y2
则V（x1y）=3x2y-y3+c（c为常数）
故f（z）=x3-3xy2+i（3x2y-y3+c）=x3-3xy2+i（cx2y-y3）+ic
=z3+ic，为使f（i）=0,当x=0,y=1时，
f（i）=0,有f（0）=-i+ic=0
∴c=1∴f（z）=Z3+i
4、设f（z）=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=2（x-1）y,
f
（2）=-i,试求f（z）。
解：
依C-R条件有Vy=ux=2y
∴V==y2+（x）∴Vx=
∴（x）=
V=y2-x2+2x+c（c为常数）
∴f（z）=2（x-1）y+i（y2-x2+2x+c）
为使f（z）=-i,当x=2y=0时,f
（2）=ci=-i∴c=-1
∴f（z）=2（x-1）y+i（y2-x2+2x-1）
=-（z-1）2i
四、证明题
1、试在复平面讨论f（z）=iz的解析性。
解：
令f（z）=u+ivz=x+iy
则iz=i（x+iy）=-y+ix
∴u=-yv=x
于是ux=0uy=-1
Vx=1Vy=0
∵ux、uy、vx在复平面内处处连接
又Ux=VyUy=-Vx。
∴f（z）=iz在复平面解析。
2、试证：
若函数f（z）在区域G内为解析函数，且满足条件（z）=0，z∈G，则f（z）在G内为常数。
证：
设f（z）=u+iv,z=x+iy,z∈G
∵f（z）在G内解析，
Ux=Vy,Uy=-Vx
又（z）=0,（z）=Ux+iVx
Ux=0Vx=0
Uy=-Vx=0Ux=Vy=0
U为实常数C1，V也为实常数C2，
f（z）=C1+iC2=Z0
f（z）在G内为常数。
复变函数课程作业参考解答2第3章初等函数
一、单项选择题
1.z=（A）是根式函数的支点.
（A）0（B）1（C）（D）i
2.z=（D）是函数的支点.
（A）i（B）2i（C）-1（D）0
3.ei=（B）.
（A）e-1+e（B）cos1+isin1（C）sin1（D）cos1
4.sin1=（A）
（A）（B）（C）（D）
二、填空题
1.cosi=2.=e（cos1+isin1）
3.lni=4.ln（1+i）=k为整数.
三、计算题
1.设z=x+iy，计算.
解:
∴
∴=
=
2.设z=x+iy,计算.
解:
∵z=x+iy
∴
∴
∴
3.求方程的解.
解:
∵lnz=
∴由对数函数的定义有:
Z=
∴所给方程的解为z=i
4.求方程的解.
解:
∵
=
根据指数函数的定义有:
z=n2+i或z=n（1+）
四、证明题
1.试证:
.
证明：
根据正弦函数及余弦正数定义有：
∴sin2z=2sinz·cosz
2.证明:
.
证明:
令A=
B=sinx+sin2x+…sinnx
∴
=
∴
第4章解析函数的积分理论
一、单项选择题
1.（D）,c为起点在0,终点在1+i的直线段.
（A）0（B）1（C）2i（D）2（1+i）
2..
（A）0（B）10（C）i（D）
3.
（A）i（B）10（C）10i（D）0
4.=（A）.
（A）（B）（C）（D）
二、填空题
1.若与沿曲线c可积，则.
2.设L为曲线c的长度,若f（z）沿c可积,且在c上满足,则.3.4.
三、计算题
1.计算积分,其中c为自0到2+i的直线段.
解:
c的方程为:
其次由得
∴
=
=
2.计算积分.
解:
=
作区域D:
积分途径在D内被积函数的奇点Z=2与Z=3均不在D内,所以被积函数在D内解析.
由定理4.2得:
=0
3.计算积分.
解:
∵奇点z=1和z=-1不在区域D,内
的三个根也不在D内
∴由定理4.2得
=0
4.计算积分,.
解:
由定理4.6得
四、证明题
1.计算积分，并由此证明.
证明：
∵在圆域
|z|≤1内解析
∴=
另一方面,在圆|z|=
∴=（实部和虚部为0）
=
=
=
=
∵=0∴
∴
而为偶函数∴0==
∴
复变函数课程作业参考解答3第5章解析函数的幂级数表示
一、单项选择题
1.幂级数的收敛半径等于（B）
（A）0（B）1（C）2（D）3
2.点z=-1是f（z）=r（B）级零点.
（A）1（B）2（C）3（D）5
3.级数的收敛圆为（D）.
（A）|z-1|<3（B）|z|<3（C）|z-1|>1（D）|z|<1
4.设f（z）在点a解析,点b是f（z）的奇点中离点a最近的奇点,于是,使f（z）=成立的收敛圆的半径等于（C）.
（A）a+b+1（B）b-a+1（C）|a-b|（D）|a+b|
二、填空题
1.级数1+z+的收敛圆R=+．即整个复平面．
2.若f（z）=（k为常数）,则z=m（m=0,……）为f（z）的1级零点.
3.幂有数的收敛半径等于0.
4.z=0是f（z）=ez-1的1级零点.
三、计算题
1.将函数f（z）=在点z=0展开幂级数.
解:
f（z）=
=-
2.将函数f（z）=（1-z）-2在点z=0展开成幂级数.
解：
而（1-z）-1=
=
3．将函数f（z）=（z+2）-1在点z=1展开成幂级数.
解：
f（z）=（z+2）-1=
=
4．将函数f（z）=ez在点z=1展开成幂级数.
解：
f（z）=ezf（n）=ez
＝
四、证明题
1．证明:
1-ei2z=-2isinzeiz
证：
eiz=cosz+isinze-iz=cos-isinzeiz-e-iz=2isinz
-2isinz=-（eiz-e-iz）=eiz-e-iz
-2isinzeiz =（e-iz-eiz）eiz=e0-e2iz=1-e2iz
2．试用解析函数的唯一性定理证明等式:
cos2z=cos2z-sin2z
证①f1（z）=cos2z,则f1（z）复平面G解析
设f2（z）＝cosz－sin2ｚ，则f2（z）也在整个复平面G解析
②取E=K为实数轴,则E在G内有聚点.
③当E为实数时,知cos2z=cos2z-sin2z,即f1（z）=f2（z）
由解析函数唯一性定理,由以上三条知
f1（z）=f2（z）成立
即cos2z=cos2z-sin2z
第6章解析函数的罗朗级数表示一、单项选择题
1．函数f（z）=在点z=2的去心邻域（D）内可展成罗朗级数.（A）0<（B）0<（C）1<（D）0<
2．设点为f（z）
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