学年最新人教版八年级数学上册《全等三角形》综合练习题及答案解析精品试题.docx

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学年最新人教版八年级数学上册《全等三角形》综合练习题及答案解析精品试题

《第12章全等三角形》

一、解答题

1．如图，如果AD=BC，∠1=∠2，那么△ABC≌△CDA，根据是　　．

2．如图，已知：

∠A=∠D，∠1=∠2，下列条件中能使△ABC≌△DEF的有　　．

①∠E=∠B；②ED=BC；③AB=EF；④AF=CD．

3．如图AC与BD交于O点，若OA=OD，要证明△AOB≌△DOC，

（1）若以“ASA”为依据，需添加的条件是　　；

（2）若以“SAS”为依据，需添加的条件是　　；

（3）若以“AAS”为依据，需添加的条件是　　．

4．如图BC=EF，AC=DF，要证明△ABC≌△DEF，还需添加一个条件：

（1）若以“　　”为依据，需添加的条件是　　；

（2）若以“　　”为依据，需添加的条件是　　．

5．如图，△ABC≌△ADE，∠B=70°，∠C=26°，∠DAC=30°，则∠EAC的度数为　　．

6．如图，用直尺和圆规画出∠ABC的平分线BM，

①点P是∠ABC的平分线BM上一点，画出点P到边AB的距离PD；

②若PD=8cm，点P到边AB的距离为　　cm．理由是　　．

7．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线交AC于点D，

①由垂直平分线定义得到：

BE=　　，DE　　BC；

②还可得到：

BD=DC，理由是：

　　；

③已知，AB=3，AC=7，BC=8，则△ABD的周长为　　．

8．已知三条线段长度分别为4cm，2cm，3cm，这三条线段能否组成一个三角形？

　　理由：

①若能，请在下面画出这个三角形，②再尺规作出这个三角形最大角的平分线．

9．如图，已知AB∥DC，AD∥BC，求证：

AB=CD．

10．如图，AC=DC，BC=EC，求证：

DE∥AB．

11．如图，已知AB=AC，且DC⊥AC，DB⊥AB，求证：

AD平分∠CAB．

12．已知：

如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：

AF=DE．

13．如图，已在AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求证：

∠B=∠C．

14．如图，在△ABC中，AC=AB，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，请说明理由．

15．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？

请说明你判断的理由．

16．如图，AD是BC的中垂线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，说明下列结论的理由：

（1）△ABD≌△ACD；

（2）DE=DF．

二、训练题

17．如图，D、E分别是AB，BC上一点，△ABE≌△ACD．若点B和C对应，则AB对应边　　，AD对应边　　，∠A对应角　　，则∠AEB=　　，理由是　　，EB=　　，理由是　　．

18．下列说法正确的有　　．

①三个角对应相等的两个三角形全等；

②三条边对应相等的两个三角形全等；

③两边和一个角相等两个三角形全等；

④有一条边和两个角相等两个三角形全等．

19．如图1，已知△ABC的六个元素，则图2中甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的有　　．

20．如图AE=AD，要证明△ABD≌△AEC，

（1）若以“ASA”为依据，需添加的条件是　　；

（2）若以“SAS”为依据，需添加的条件是　　；

（3）若以“AAS”为依据，需添加的条件是　　．

21．如图，AB=DB，∠1=∠2，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△DBE，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的有　　．

①BC=BE；②AC=DE；③∠A=∠D；④∠ACB=∠DEB．

22．如图，在Rt△ABD中，∠D=90°，BP是∠ABD的平分线．

①画出点P到边AB的距离；

②若PD=8cm，点P到边AB的距离为　　cm．理由是　　．

23．如图，在△ABC中，DE是线段AB的中垂线，由中垂线定义得到　　，图中相等线段还有　　，理由是　　，如果AC=10cm，△BDC的周长为16cm，求BC的长，并写出推理过程．

24．已知线段a，b，c．

（1）用直尺和圆规画出△ABC，使得AB=a，AC=b，BC=c；

（2）画出△ABC的∠B的平分线；

（3）在△ABC内到边BC和BA两边距离相等的点在哪里？

到A、B两点距离相等的点在哪里？

请你画出满足下面条件的点M：

点M既到BC和BA两边距离的相等，又到A、B两点距离的也相等．

25．如图，已知：

A、F、C、D四点在一条直线上，AF=CD，DE∥AB，且AB=DE．求证：

EF∥CB．

26．如图，点E、A、B、F在同一条直线上，AD与BC交于点O，已知∠CAE=∠DBF，AC=BD．求证：

（1）BC=AD；

（2）∠CAD=∠DBC．

《第12章全等三角形》

参考答案与试题解析

一、解答题

1．如图，如果AD=BC，∠1=∠2，那么△ABC≌△CDA，根据是　　．

【考点】全等三角形的判定．

【分析】△ABC和△CDA中，已知了AD=BC，∠1=∠2，隐含的条件是AC=AC，因此可根据SAS判断出△ABC≌△CDA．

【解答】解：

∵AD=BC，∠1=∠2，AC=AC，

∴△ABC≌△CDA（SAS）．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法．注意两个三角形中的公共边通常是证两个三角形全等隐含的条件．

2．如图，已知：

∠A=∠D，∠1=∠2，下列条件中能使△ABC≌△DEF的有　　．

①∠E=∠B；②ED=BC；③AB=EF；④AF=CD．

【考点】全等三角形的判定．

【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理和已知条件逐个判断即可．

【解答】解：

①∠E=∠B，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，∴①错误；

②ED=BC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，∴②错误；

③AB=EF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，∴③错误；

④∵AF=CD，

∴AF+FC=CD+FC，

∴AC=DF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA），

∴④正确；

故答案为：

④．

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：

全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

3．如图AC与BD交于O点，若OA=OD，要证明△AOB≌△DOC，

（1）若以“ASA”为依据，需添加的条件是　　；

（2）若以“SAS”为依据，需添加的条件是　　；

（3）若以“AAS”为依据，需添加的条件是　　．

【考点】全等三角形的判定．

【分析】

（1）全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理和已知条件填上即可；

（2）全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理和已知条件填上即可；

（3）全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理和已知条件填上即可．

【解答】解：

（1）∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，

∴当∠A=∠D时，符合ASA定理，

故答案为：

∠A=∠D；

（2）∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，

∴当OB=OC时，符合SAS定理，

故答案为：

OB=OC；

（3）∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，

∴当∠B=∠C时，符合AAS定理，

故答案为：

∠B=∠C．

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：

全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

4．如图BC=EF，AC=DF，要证明△ABC≌△DEF，还需添加一个条件：

（1）若以“　　”为依据，需添加的条件是　　；

（2）若以“　　”为依据，需添加的条件是　　．

【考点】全等三角形的判定．

【分析】

（1）全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理和已知条件填上即可；

（2）全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理和已知条件填上即可．

【解答】解：

（1）根据定理SSS，添加条件为AB=DE，

故答案为：

SSS，AB=DE；

（2）根据SAS，添加条件为∠ACB=∠F，

故答案为：

SAS，∠ACB=∠F．

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：

全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

5．如图，△ABC≌△ADE，∠B=70°，∠C=26°，∠DAC=30°，则∠EAC的度数为　　．

【考点】全等三角形的性质．

【分析】首先利用三角形内角和计算出∠BAC，再计算出∠BAD的度数，然后再根据全等三角形的性质可得答案．

【解答】解：

∵∠B=70°，∠C=26°，

∴∠BAC=180°﹣70°﹣26°=84°，

∵∠DAC=30°，

∴∠BAD=84°﹣30°=54°，

∵△ABC≌△ADE，

∴∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

即∠EAC=∠BAD=54°，

故答案为：

54°．

【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．

6．如图，用直尺和圆规画出∠ABC的平分线BM，

①点P是∠ABC的平分线BM上一点，画出点P到边AB的距离PD；

②若PD=8cm，点P到边AB的距离为　　cm．理由是　　．

【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．

【分析】①作出∠ABC的平分线BM，过点P作PD⊥AB即可求解；

②根据点到直线的距离即可求解．

【解答】解：

①如图所示：

②若PD=8cm，点P到边AB的距离为5cm．理由是：

点到直线的距离的定义．

故答案为：

5，点到直线的距离的定义．

【点评】考查了作图﹣基本作图，角平分线性质：

角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．

7．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线交AC于点D，

①由垂直平分线定义得到：

BE=　　，DE　　BC；

②还可得到：

BD=DC，理由是：

　　；

③已知，AB=3，AC=7，BC=8，则△ABD的周长为　　．

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】①根据线段垂直平分线的定义可直接得到；

②根据线段垂直平分线的性质可得到；

③根据△ABD的周长=AB+AC可得出．

【解答】解：

①∵DE是线段BC的中垂线，

∴BE=CE，DE⊥BC．

故答案为：

=，⊥；

②∵点D是线段BC垂直平分线上的点，

∴BD=DC．

故答案为：

线段垂直平分线的性质；

③∵BD=CD，

∴BD+AD=CD+AD=AC，

∴△ABD的周长=AB+AC=3+7=10．

故答案为：

10．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．

8．已知三条线段长度分别为4cm，2cm，3cm，这三条线段能否组成一个三角形？

　　理由：

①若能，请在下面画出这个三角形，②再尺规作出这个三角形最大角的平分线．

【考点】三角形三边关系．

【分析】根据三角形的三边关系可以判断三条线段能否组成三角形，然后利用尺规作图作出最大角的平分线即可．

【解答】解：

∵2+3＞4，

∴长度分别为4cm，2cm，3cm的三条线段能组成一个三角形；

图形为：

【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够用三角形的三边关系判断能否组成三角形，难度不大．

9．如图，已知AB∥DC，AD∥BC，求证：

AB=CD．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】根据平行线的性质得出∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA，根据ASA推出△BAC≌△DCA，根据全等三角形的性质得出即可．

【解答】证明：

∵AB∥DC，AD∥BC，

∴∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA，

在△BAC和△DCA中

∴△BAC≌△DCA，

∴AB=CD．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，注意：

全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．

10．如图，AC=DC，BC=EC，求证：

DE∥AB．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】根据SAS推出△ECD≌△BCA，根据全等三角形的性质得出∠D=∠A，根据平行线的判定得出即可．

【解答】证明：

∵在△ECD和△BCA中

∴△ECD≌△BCA（SAS），

∴∠D=∠A，

∴DE∥AB．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，注意：

全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．

11．如图，已知AB=AC，且DC⊥AC，DB⊥AB，求证：

AD平分∠CAB．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】求出∠C=∠B=90°，根据HL推出Rt△ACD≌Rt△ABD，根据全等得出∠CAD=∠BAD即可．

【解答】证明：

∵DC⊥AC，DB⊥AB，

∴∠C=∠B=90°，

∴在Rt△ACD和Rt△ABD中

∴Rt△ACD≌Rt△ABD，

∴∠CAD=∠BAD，

即AD平分∠CAB．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：

全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．

12．已知：

如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：

AF=DE．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】要证明AF=DE，可以证明它们所在的三角形全等，即证明△ABF≌△DEC，已知两边（由BE=CF得出BF=CE，AB=DC）及夹角（∠B=∠C），由SAS可以证明．

【解答】证明：

∵BE=CF，

∴BE+EF=CF+EF，

即BF=CE，

又∵AB=DC，∠B=∠C，

∴△ABF≌△DCE，

∴AF=DE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；证明两边相等时，如果这两边不在同一个三角形中，通常是证明它们所在的三角形全等来证明它们相等，是一种很重要的方法．

13．如图，已在AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求证：

∠B=∠C．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】求出∠DAB=∠CAE，根据SAS推出△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质得出即可．

【解答】证明：

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，

∴∠DAB=∠CAE，

在△DAB和△EAC中

∴△DAB≌△EAC，

∴∠B=∠C．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：

全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．

14．如图，在△ABC中，AC=AB，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，请说明理由．

【考点】三角形的角平分线、中线和高．

【专题】证明题．

【分析】证明△ABD≌△ACD，利用全等三角形的对应角相等，说明∠ADB=∠ADC=90°，从而说明AD⊥BC．

【解答】证明：

∵AD是BC边上的中线，∴BD=DC，

∵AC=AB，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠ADB=∠ADC，

∵∠ADB+∠ADC=180°，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴AD⊥BC．

【点评】本题考查垂直的证明问题，关键是理解把握垂直的定义．

15．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？

请说明你判断的理由．

【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．

【专题】探究型．

【分析】我们可以通过证明△BDE和△CDF全等来确定其为中线．

【解答】解：

AD是△ABC的中线．

理由如下：

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠BED=∠CFD=90°，

在△BDE和△CDF中，

∴△BDE≌△CDF（AAS），

∴BD=CD．

∴AD是△ABC的中线．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：

判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要根据实际情况灵活运用．

16．如图，AD是BC的中垂线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，说明下列结论的理由：

（1）△ABD≌△ACD；

（2）DE=DF．

【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．

【专题】证明题．

【分析】

（1）根据线段垂直平分线性质求出AB=AC，求出BD=DC，根据SSS推出即可；

（2）根据全等得出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质得出即可．

【解答】解：

（1）∵AD是BC的中垂线，

∴AB=AC，

∴BD=DC，

在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SSS）；

（2）∵△ABD≌△ACD，

∴∠BAD=∠CAD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，角平分线性质的应用，注意：

全等三角形的对应角相等，对应边相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．

二、训练题

17．如图，D、E分别是AB，BC上一点，△ABE≌△ACD．若点B和C对应，则AB对应边　　，AD对应边　　，∠A对应角　　，则∠AEB=　　，理由是　　，EB=　　，理由是　　．

【考点】全等三角形的性质．

【分析】利用全等三角形的性质分别得出对应点进而得出对应线段与对应角关系．

【解答】解：

∵△ABE≌△ACD，点B和C对应，

∴AB对应边AC，AD对应边AE，∠A对应角∠A，

则∠AEB=∠ADC，理由是：

全等三角形的对应角相等，

EB=DC，理由是：

全等三角形的对应边相等，

故答案为：

AC，AE，∠A，∠ADC，全等三角形的对应角相等，DC，全等三角形的对应边相等．

【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，得出对应点是解题关键．

18．下列说法正确的有　　．

①三个角对应相等的两个三角形全等；

②三条边对应相等的两个三角形全等；

③两边和一个角相等两个三角形全等；

④有一条边和两个角相等两个三角形全等．

【考点】全等三角形的判定．

【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据判定定理判断即可．

【解答】解：

∵老师用的三角板和学生用的三角板符合三角对应相等，但是两三角形不全等，∴①错误；

∵根据全等三角形的判定定理SSS可以推出两三角形全等，∴②正确；

∵当是两边和其中一边的对角时，两三角形就不全等，∴③错误；

∵当一个三角形的边是两角的夹边，而另一个三角形边是其中一角的对边时，两三角形就不全等，∴④错误；

故答案为：

②．

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：

全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

19．如图1，已知△ABC的六个元素，则图2中甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的有　　．

【考点】全等三角形的判定．

【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案．

【解答】解：

如图：

在△ABC和△MNK中，

，

∴△ABC≌△NKM（SAS）；

在△ABC和△HIG中，

，

∴△ABC≌△GHI（AAS）．

∴甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是：

乙和丙．

故答案为：

乙和丙．

【点评】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是注意掌握判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

20．如图AE=AD，要证明△ABD≌△AEC，

（1）若以“ASA”为依据，需添加的条件是　　；

（2）若以“SAS”为依据，需添加的条件是　　；

（3）若以“AAS”为依据，需添加的条件是　　．

【考点】全等三角形的判定．

【分析】

（1）利用“ASA”判定三角形全等的方法得出一组对应角相等即可；

（2）利用“SAS”判定三角形全等的方法得出一组对应边相等即可；

（3）利用“AAS”判定三角形全等的方法得出一组对应角相等即可．

【解答】解：

（1）∵AE=AD，要证明△ABD≌△AEC，

∴若以“ASA”为依据，需添加的条件是：

∠AEC=∠ADB；

故答案为：

∠AEC=∠ADB；

（2）∵AE=AD，要证明△ABD≌△AEC，

∴若以“SAS”为依据，需添加的条件是：

AB=AC，

故答案为：

AB=AC；

（3）∵AE=AD，要证明△ABD≌△AEC，

∴若以“AAS”为依据，需添加的条件是：

∠B=∠C．

故答案为：

∠B=∠C．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

21．如图，AB=DB，∠1=∠2，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△DBE，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的有　　．

①BC=BE；②AC=DE；③∠A=∠D；④∠ACB=∠DEB．

【考点】全等三角形的判定．

【分析】首先由∠1=∠2，根据等式的性质可得∠1+∠ABE=∠2+∠ABE，进而得到∠DBE=∠ABC，然后再利用三角形全等的判定方法分别进行分析即可．

【解答】解：

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE，

∴∠DBE=∠ABC，

①添加条件BC=BE，可利用SAS定理判定△ABC≌△DBE；

②添加条件AC=DE，不能判定△ABC≌△DBE；

③添加条件∠A=∠D，可利用ASA定理判定△ABC≌△DBE；

④添加条件BC=BE，可利用AAS定理判定△ABC≌△DBE；

故答案为：

①③④．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

22．如图，在Rt△ABD中，∠D=90°，BP是∠ABD的平分线．

①画出点P到边AB的距离；

②若PD=8cm，点P到边AB的距离为　　cm．理由是　　．

【考点】角平分线的性质．

【分析】①作PE⊥AB即可；

②根据角平分线性质得出PE=PD，即可得出答案．

【解答】解：

①如图所示，P到AB的距离是线段PE的长．

②∵在Rt△ABD中，∠D=90°，BP是∠ABD的平分线，PE⊥AB，

∴PE=PD=8cm，理由是：

角平分线上的点到角的两边的距离相等，

故答案为：

8，角平分线上的点到角的两边的距离相等．

【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：

角平分线上的点到角的两边的距离相等．

23．如图，在△ABC中，DE是线段AB的中垂线，由中垂线定义得到　　，图中相等线段还有　　，理由是　　，如果AC=10cm，△BDC的周长为16cm，求BC的长，并写出推理过程．

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】先根据中垂线的定义及线段垂直平分线的性质得出AE=BE，AD=BD，进而可得出结论．

【解答】解：

∵DE是线段AB的中垂线，

∴AE=BE，AD=BD，

∴BD+CD=AD+CD=AC=10cm，

∵△BDC的周长为16cm，

∴BC=16﹣10=6（cm）．

故答案为：

AE=BE，AD=BD，线