晶体学基础与晶体结构习题与答案.docx
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晶体学基础与晶体结构习题与答案
晶体学基础与晶体结构习题与答案
1.由标准的（001）极射赤面投影图指出在立方晶体中属于[110]晶带轴的晶带，除了已在图2-1中标出晶面外，在下列晶面中哪些属于[110]晶带？
（1-12），（0-12），（-113），（1-32），（-221）。
图2-1
2.试证明四方晶系中只有简单立方和体心立方两种点阵类型。
3.为什么密排六方结构不能称作为一种空间点阵？
4.标出面心立方晶胞中（111）面上各点的坐标。
5.标出具有下列密勒指数的晶面和晶向：
a）立方晶系（421），（-123），（130），[2-1-1]，[311]；b）六方晶系（2-1-11），（1-101），（3-2-12），[2-1-11]，[1-213]。
6.在体心立方晶系中画出{111}晶面族的所有晶面。
7.在立方晶系中画出以[001]为晶带轴的所有晶面。
8.已知纯钛有两种同素异构体，密排六方结构的低温稳定的α-Ti和体心立方结构的高温稳定的β-Ti，其同素异构转变温度为882.5℃，使计算纯钛在室温（20℃）和900℃时晶体中（112）和（001）的晶面间距（已知aα20℃=0.29506nm，cα20℃=0.46788nm，aα900℃=0.33065nm）。
9.试计算面心立方晶体的（100），（110），（111），等晶面的面间距和面致密度，并指出面间距最大的面。
10.平面A在极射赤平面投影图中为通过NS及核电0°N，20°E的大圆，平面B的极点在30°N，50°W处，a）求极射投影图上两极点A、B间的夹角；b）求出A绕B顺时针转过40°的位置。
11.a）说明在fcc的（001）标准极射赤面投影图的外圆上，赤道线上和0°经线上的极点的指数各有何特点，b）在上述极图上标出（-110），（011），（112）极点。
12.图2-2为α-Fe的x射线衍射谱，所用x光波长λ=0.1542nm，试计算每个峰线所对应晶面间距，并确定其晶格常数。
图2-2
13.采用Cukα（λ=0.15418nm）测得Cr的x射线衍射谱为首的三条2θ=44.4°，64.6°和81.8°，若（bcc）Cr的晶格常数a=0.28845nm，试求对应这些谱线的密勒指数。
14.归纳总结三种典型的晶体结构的晶体学特征。
15.试证明理想密排六方结构的轴比c/a=1.633。
16.Ni的晶体结构为面心立方结构，其原子半径为r=0.1243nm，试求Ni的晶格常数和密度。
17.Mo的晶体结构为体心立方结构，其晶格常数a=0.31468nm，试求Mo的原子半径r。
18.Cr的晶格常数a=0.28844nm，密度为
ρ=7.19g/cm3，试确定此时Cr的晶体结构。
19.In具有四方结构其原子量M=114.82，原子半径r=0.1625nm，晶格常数a=0.32517nm，c=0.49459nm，密度ρ=7.286g/cm3，试问In的单位晶胞内有多少个原子?
In致密度为多少？
20.Mn的同素异构体有一为立方结构，其晶格常数为0.632nm，ρ为7.26g/cm3，r为0.112nm，问Mn晶胞中有几个原子，其致密度是多少？
21.a）按晶体的钢球模型，若球的直径不变，当Fe从fcc转变为bcc时，计算其体积膨胀多少？
b）经x射线衍射测定在912℃时，α-Fe的a=0.2892nm，γ-Fe的a=0.3633nm,计算从γ-Fe转变为α-Fe时，其体积膨胀为多少？
与a）相比，说明其差别原因。
22.a）算出fcc和bcc晶体中四面体间隙及八面体间隙的大小，用原子半径R表示，并注明间隙中心坐标；b）写出溶解在γ-Fe中C原子所处位置，若此类位置全部被C原子占据，那么问在此情况下，γ-Fe能溶解多少重量百分比的C？
而实际上碳在铁中的最大溶解度是多少？
两者在数值上有差异的原因是什么？
23.a）根据下表所给之值，确定哪一种金属可作为溶质与钛形成溶解度较大的固溶体：
Tihcpa=0.295nm；Behcpa=0.228nm；Alfcca=0.404nm；Vbcca=0.304nm；Crbcca=0.288nm。
b）计算固溶体中此溶质含量为10%（原子百分比）时，相应重量百分数为多少？
24.Cu-Zn和Cu-Sn组成固溶体最多可溶入多少百分比的Zn或Sn？
若Cu晶体中固溶入10at.%的Zn，最多还能溶入多少at.%的Sn？
25.含12.3wt%Mo，1.34wt%C的奥氏体钢，点阵常数为0.3624nm，密度为7.83g/cm3，C，Fe，Mn的原子量分别为12，55.84，54.92，试判断此固溶体的类型。
26.MgO具有NaCl型结构。
Mg2+的离子半径为0.078nm，O2-的离子半径为0.132nm。
试求MgO的密度（ρ）、致密度（k）。
27.铯与氯的离子半径分别为0.167nm，0.181nm，试问a）在氯化铯内离子在<100>或<111>方向是否相接触？
b）每个单位晶胞内有几个离子？
c）各离子的配位数是多少？
d）ρ和k？
28.K2+和Cl-的离子半径分别为0.133nm，0.181nm，KCl具有CsCl型结构，试求其ρ和k？
29.Al3+和O2-的离子半径分别为0.051nm，0.132nm，试求Al2O3的配位数。
30.渗碳体（Fe3C）是一种间隙化合物，它具有正交点阵结构，其点阵常数a=0.4514nm，b=0.508nm，c=0.6734nm，其密度ρ=7.66g/cm3，试求每单位晶胞中Fe原子与C原子的数目？
31.试计算金刚石结构的致密度。
32.聚丙烯是由丙烯聚合而成，其化学式是C3H6，结晶态聚丙烯属单斜晶系，其晶格常数a=0.665nm，b=0.6734nm，c=0.65nm，α=γ=90°，β=99.3°，其密度ρ=0.91/cm3。
试求结晶态聚丙烯的单位晶胞中C和H原子的数目。
33.已知线性聚四氟乙烯的平均相对分子质量为5×105g/mol，试计算其总链长L和平均一个高分子链尾至链尾的距离r。
答案
5.
8.20℃d（112）=0.1248nmd（001）=0.2339nm
900℃d（112）=0.135nmd（001）=0.1653nm
9.d（100）=0.5aρ（100）=0.7854
d（110）=0.3536aρ（110）=0.5554
d（111）=0.577aρ（111）=0.9069
10.a）A、B间的夹角为74°。
b）A′（32°S,6W）为A绕B顺时针转过40°的位置。
12.d（110）=0.2015nma=0.2850nm峰d（hkl）a（200）0.1433nm0.2866nm
（211）0.1166nm0.2856nm
13.2θ=44.4°为（110）或（1-10）或（101）或（10-1）或（011）或（01-1）
2θ=64.6°为（200）或（020）或（002）
2θ=81.8°为（112）或（1-12）或（1-1-2）或（11-2）或（121）或（12-1）或（1-21）或（1-2-1）或
（211）或（21-1）或（2-11）或（2-1-1）
16.a=0.3516nmρ=8.977g/cm3
17.r=0.13626nm
18.bcc结构。
19.a）In的单位晶胞中有2个原子。
b）k=0.6874
20.每单位晶胞内20个原子。
k=0.46493
21.a）
ΔVγ-α%=9%
b）ΔVγ-α%=0.87%
23.a）Al在Ti中可有较大的固溶度。
b）Alwt%=5.9%
24.Cu-Zn固溶体最多可溶入36at%Zn。
Cu-Sn固溶体最多可溶入12at%Sn。
若Cu已溶入10at%Zn后，最多尚能固溶8.67at%Sn。
26.ρ=3.614g/cm3k=0.6275
27.ρ=4.3101g/cm3k=0.6835
28.ρ=2.598g/cm3k=0.72786
30.Fe3C化合物中每个晶胞内C原子4个，Fe原子12个。
31.k=0.34
32.C3H6晶胞中含有35个C原子，70个H原子。
33.L=1254nmr=15.4nm
例题
1.
已知纯钛有两种同素异构体，低温稳定的密排六方结构
和高温稳定的体心立方结构
，其同素异构转变温度为882.5℃，计算纯钛在室温（20℃）和900℃时晶体中（112）和（001）的晶面间距（已知aa20℃=0.2951nm,ca20℃=0.4679nm,aβ900℃=0.3307nm）。
答案
20℃时为α-Ti：
hcp结构
当h+2k=3n（n=0,1,2,3…），l=奇数时，有附加面。
；
900℃时为β-Ti：
bcc结构
当
奇数时，有附加面。
2.
Mn的同素异构体有一为立方结构，其晶格常数为0.632nm，ρ为7.26g/cm3，r为0.112nm，问Mn晶胞中有几个原子，其致密度为多少？
答案
每单位晶胞内20个原子
3.
铯与氯的离子半径分别为0.167nm，0.181nm,试问a）在氯化铯内离子在<100>或<111>方向是否相接触？
b）每个单位晶胞内有几个离子？
c）各离子的配位数是多少？
d）ρ和K？
答案
CsCl型结构系离子晶体结构中最简单一种，属立方晶系，简单立方点阵，Pm3m空间群，
离子半径之比为0.167/0.181=0.92265，其晶体结构如图2-13所示。
从图中可知，在<111>方向离子相接处，<100>方向不接触。
每个晶胞有一个Cs+和一个Cl-，的配位数均为8。
4.
金刚石为碳的一种晶体结构，其晶格常数a=0.357nm，当它转换成石墨（
=2.25g/cm3）结构时，求其体积改变百分数？
答案
金刚石的晶体结构为复杂的面心立方结构，每个晶胞共含有8个碳原子。
金刚石的密度
（g/cm3）
对于1g碳，当它为金刚石结构时的体积
（cm3）
当它为石墨结构时的体积
（cm3）
故由金刚石转变为石墨结构时其体积膨胀
5.
已知线性聚四氟乙烯的数均相对分子质量为5⨯105，其C-C键长为0.154nm，键角
为109°，试计算其总链长L和均方根长度。
答案
对线性高分子而言，其总链长L取决于原子间键长d，键的数目N以及相邻键的夹角
，即
。
对聚四氟乙烯而言，每链节有两个C原子和四个F原子。
首先计算其聚合度
，而每个链节有两个C原子，因此每个链节就有两个C-C主键，所以在此高分子中总键数目N=2nn=2⨯5⨯103=1.0⨯104。
若每C-C键长d=0.154nm，键角
=109°
则
均方根长度
本章习题
1. 试证明四方晶系中只有简单四方和体心四方两种点阵类型。
2. 为什么密排六方结构不能称作为一种空间点阵？
3. 标出面心立方晶胞中（111）面上各点的坐标，并判断
是否位于（111）面上，然后计算
方向上的线密度。
4. 标出具有下列密勒指数的晶面和晶向：
a）立方晶系
；b）六方晶系
，
，
，
，
5. 在立方晶系中画出
晶面族的所有晶面，并写出{123}晶面族和﹤221﹥晶向族中的全部等价晶面和晶向的密勒指数。
6. 在立方晶系中画出以
为晶带轴的所有晶面。
7. 试证明在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定相互垂直。
8. 已知纯钛有两种同素异构体，低温稳定的密排六方结构
和高温稳定的体心立方结构
，其同素异构转变温度为882.5℃，计算纯钛在室温（20℃）和900℃时晶体中（112）和（001）的晶面间距（已知aa20℃=0.2951nm,ca20℃=0.4679nm,
aβ900℃=0.3307nm）。
9. 试计算面心立方晶体的（100），（110），（111）等晶面的面间距和面致密度，并指出面间距最大的面。
10.
平面A在极射赤平面投影图中为通过NS极和点0°N，20°E的大圆，平面B的极点在30°N，50°W处，a）求极射投影图上两极点A、B间的夹角；b）求出A绕B顺时针转过40°的位置。
11. a）说明在fcc的（001）标准极射赤面投影图的外圆上，赤道线上和0°经线上的极点的指数各有何特点？
b）在上述极图上标出
、
、
极点。
12. 由标准的（001）极射赤面投影图指出在立方晶体中属于[110]晶带轴的晶带，除了已在图2-1中标出晶面外，在下列晶面中那些属于[110]晶带？
。
13. 不用极射投影图，利用解析几何方法，如何确定立方晶系中a）两晶向间的夹角
；b）两晶面夹角
；c）两晶面交线的晶向指数；d）两晶向所决定的晶面指数。
14. 图2-2为α-Fe的x射线衍射谱，所用x光波长λ=0.1542nm，试计算每个峰线所对应晶面间距，并确定其晶格常数。
图2-2
15. 采用Cukα（λ=0.1542nm）测得Cr的x射线衍射谱为首的三条2
=44.4°，64.6°和81.8°，若（bcc）Cr的晶格常数a=0.2885nm，试求对应这些谱线的密勒指数。
16. 归纳总结三种典型的晶体结构的晶体学特征。
17. 试证明理想密排六方结构的轴比c/a=1.633。
18. Ni的晶体结构为面心立方结构，其原子半径为r=0.1243nm，试求Ni的晶格常数和密度。
19. Mo的晶体结构为体心立方结构，其晶格常数a=0.3147nm，试求Mo的原子半径r。
20. Cr的晶格常数a=0.2884nm，密度为ρ=7.19g/cm3，试确定此时Cr的晶体结构。
21. In具有四方结构，其相对原子质量Ar=114.82，原子半径r=0.1625nm，晶格常数a=0.3252nm，c=0.4946nm，密度ρ=7.286g/cm3，试问In的单位晶胞内有多少个原子?
In致密度为多少？
22. Mn的同素异构体有一为立方结构，其晶格常数为0.632nm，ρ为7.26g/cm3，r为0.112nm，问Mn晶胞中有几个原子，其致密度为多少？
23. a）按晶体的钢球模型，若球的直径不变，当Fe从fcc转变为bcc时，计算其体积膨胀多少？
b）经x射线衍射测定在912℃时，α-Fe的a=0.2892nm，γ-Fe的a=0.3633nm,计算从γ-Fe转变为α-Fe时，其体积膨胀为多少？
与a）相比，说明其差别原因。
24. a）计算fcc和bcc晶体中四面体间隙及八面体间隙的大小（用原子半径R表示），并注明间隙中心坐标；b）指出溶解在γ-Fe中C原子所处位置，若此类位置全部被C原子占据，那么问在此情况下，γ-Fe能溶解C的质量分数为多少？
而实际上碳在铁中的最大溶解质量分数是多少？
两者在数值上有差异的原因是什么？
25. a）根据下表所给之值，确定哪一种金属可作为溶质与钛形成溶解度较大的固溶体：
Tihcpa=0.295nm
Behcpa=0.228nm
Alfcca=0.404nm
Vbcca=0.304nm
Crbcca=0.288nm
b）计算固溶体中此溶质原子数分数为10%时，相应质量分数为多少？
26.Cu-Zn和Cu-Sn组成固溶体最多可溶入多少原子数分数的Zn或Sn？
若Cu晶体中固溶入Zn的原子数分数为10%，最多还能溶入多少原子数分数的Sn?
27.含w（Mo）为12.3%，w（C）为1.34%的奥氏体钢，点阵常数为0.3624nm，密度为7.83g/cm3，C，Fe，Mn的相对原子质量分别为12.01，55.85，54.94，试判断此固溶体的类型。
28.渗碳体（Fe3C）是一种间隙化合物，它具有正交点阵结构，其点阵常数a=0.4514nm，b=0.508nm，c=0.6734nm，其密度ρ=7.66g/cm3，试求Fe3C每单位晶胞中含Fe原子与C原子的数目。
29.从晶体结构的角度，试说明间隙固溶体、间隙相以及间隙化合物之间的区别。
30.试证明配位数为6的离子晶体中，最小的正负离子半径比为0.414。
31. MgO具有NaCl型结构。
Mg2+的离子半径为0.078nm，O2-的离子半径为0.132nm。
试求MgO的密度（ρ）、致密度（K）。
32. 某固溶体中含有x（MgO）为30%，x（LiF）为70%。
a）试计算Li+1，Mg2+，F-1和O2-之质量分数；b）若MgO的密度为3.6g/cm3，LiF的密度为2.6g/cm3，那么该固溶体的密度为多少？
33.铯与氯的离子半径分别为0.167nm，0.181nm,试问a）在氯化铯内离子在<100>或<111>方向是否相接触？
b）每个单位晶胞内有几个离子？
c）各离子的配位数是多少？
d）ρ和K？
34.K+和Cl-的离子半径分别为0.133nm，0.181nm，KCl具有CsCl型结构，试求其ρ和K？
35. Al3+和O2-的离子半径分别为0.051nm，0.132nm，试求Al2O3的配位数。
36. ZrO2固溶体中每6个Zr4+离子同时有一个Ca2+离子加入就可能形成一立方体晶格ZrO2。
若此阳离子形成fcc结构，而O2-离子则位于四面体间隙位置。
计算a）100个阳离子需要有多少O2-离子存在？
b）四面体间距位置被占据的百分比为多少？
37. 试计算金刚石结构的致密度。
38. 金刚石为碳的一种晶体结构，其晶格常数a=0.357nm，当它转换成石墨（
=2.25g/cm3）结构时，求其体积改变百分数？
39. Si具有金刚石型结构，试求Si的四面体结构中两共价键间的夹角。
40.
结晶态的聚乙烯分子结构如图2-3所示，其晶格属斜方晶系，晶格常数a=0.74nm，b=0.492nm，c=0.253nm，两条分子链贯穿一个晶胞。
a）试计算完全结晶态的聚乙烯的密度；b）若完整非晶态聚乙烯的密度为0.9g/cm3，而通常商用的低密度聚乙烯的密度为0.92g/cm3，高密度聚乙烯的密度为0.96g/cm3，试估算上述两种情况下聚乙烯的结晶体积分数。
41.聚丙烯是由丙烯聚合而成，其化学式是C3H6，结晶态聚丙烯属单斜晶系，其晶格常数a=0.665nm，b=2.096nm，c=0.65nm，α=γ=90°,β=99.3°，其密度ρ=0.91g/cm3。
试计算结晶态聚丙烯的单位晶胞中C和H原子的数目。
42.已知线性聚四氟乙烯的数均相对分子质量为5⨯105，其C-C键长为0.154nm，键角
为109°，试计算其总链长L和均方根长度。
43.何谓玻璃？
从内部原子排列和性能上看，非晶态和晶态物质主要区别何在？
44. 有一含有苏打的玻璃，SiO2的质量分数为80%，而Na2O的质量分数为20%，。
试计算形成非搭桥的O原子数分数。
习题答案
8.
13. a）
b）
d）
17.
18.
;
19.
20.bcc结构。
22.K=0.466
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