知识梳理与自测人教A版文科数学《104变量间的相关关系统计案例》.docx
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知识梳理与自测人教A版文科数学《104变量间的相关关系统计案例》
§10.4 变量间的相关关系、统计案例
最新考纲
考情考向分析
1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．
2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用．
4.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用.
回归分析，独立性检验是全国卷高考重点考查的内容，必考一个解答题，选择、填空题中也会出现．主要考查回归方程，相关系数，利用回归方程进行预测，独立性检验的应用等.
1．两个变量的线性相关
（1）正相关
在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．
（2）负相关
在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．
（3）线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
2．回归方程
（1）最小二乘法
求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
（2）回归方程
方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）的回归方程，其中，是待定参数．
3．回归分析
（1）定义：
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
（2）样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中（，）称为样本点的中心．
（3）相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
4．独立性检验
（1）分类变量：
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
（2）列联表：
列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为
2×2列联表
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
构造一个随机变量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
（3）独立性检验
利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
概念方法微思考
1．变量的相关关系与变量的函数关系有什么区别？
提示 相同点：
两者均是指两个变量的关系．
不同点：
①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．
②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．如何判断两个变量间的线性相关关系？
提示 散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，或者通过计算相关系数作出判断．
3．独立性检验的基本步骤是什么？
提示 列出2×2列联表，计算k值，根据临界值表得出结论．
4．线性回归方程是否都有实际意义？
根据回归方程进行预报是否一定准确？
提示
（1）不一定都有实际意义．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．
（2）根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．（ × ）
（2）“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．（ √ ）
（3）只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．（ √ ）
（4）某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x（℃）之间的关系，得线性回归方程＝－2.352x＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．（ × ）
（5）事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大．（ √ ）
题组二 教材改编
2．[P16T2]为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力（ ）
A．回归分析B．均值与方差
C．独立性检验D．概率
答案 C
解析 “近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．
3．[P15练习]下面是2×2列联表：
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
22
25
47
总计
b
46
120
则表中a，b的值分别为（ ）
A．94,72B．52,50
C．52,74D．74,52
答案 C
解析 ∵a＋21＝73，∴a＝52.
又a＋22＝b，∴b＝74.
4．[P2例1]某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋54.9.
零件数x
（个）
10
20
30
40
50
加工时间y
（min）
62
75
81
89
现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________．
答案 68
解析 由＝30，得＝0.67×30＋54.9＝75.
设表中的“模糊数字”为a，
则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.
题组三 易错自纠
5．某医疗机构通过抽样调查（样本容量n＝1000），利用2×2列联表和K2统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得K2＝4.453，经查阅临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是（ ）
A．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病
B．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病
C．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
D．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
答案 C
解析 由已知数据可得，有1－0.05＝95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”．
6．在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：
（已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系）
学生的编号i
1
2
3
4
5
数学成绩x
80
75
70
65
60
物理成绩y
70
66
68
64
62
现已知其线性回归方程为＝0.36x＋，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为______．（四舍五入到整数）
答案 73
解析 ＝＝70，
＝＝66，
所以66＝0.36×70＋，＝40.8，
即线性回归方程为＝0.36x＋40.8.
当x＝90时，＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73.
题型一 相关关系的判断
例1
（1）观察下列各图形，
其中两个变量x，y具有相关关系的图是（ ）
A．①②B．①④C．③④D．②③
答案 C
解析 由散点图知③中的点都分布在一条直线附近．④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系．
（2）（2018·广州质检）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：
万吨）的柱形图．以下结论不正确的是（ ）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
答案 D
解析 从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；
2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；
虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，C选项正确；
自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.
思维升华判定两个变量正，负相关性的方法
（1）画散点图：
点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
（2）相关系数：
当r>0时，正相关；当r<0时，负相关．
（3）线性回归方程中：
当>0时，正相关；当<0时，负相关．
跟踪训练1
（1）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1,2，…，n）都在直线y＝－x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A．－1B．0
C．－D．1
答案 A
解析 完全的线性关系，且为负相关，故其相关系数为－1，故选A.
（2）x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．
①x，y是负相关关系；
②在该相关关系中，若用y＝
拟合时的相关指数为R，用＝x＋拟合时的相关指数为R，则R>R；
③x，y之间不能建立线性回归方程．
答案 ①②
解析 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x，y是负相关关系，故①正确；由散点图知用y＝
拟合比用＝x＋拟合效果要好，则R>R，故②正确；x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误．
题型二 回归分析
命题点1 线性回归分析
例2下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量（单位：
亿吨）的折线图．
注：
年份代码1～7分别对应年份2011～2017.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2019年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：
i＝9.32，iyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.
参考公式：
相关系数r＝，
回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝－.
解
（1）由折线图中数据和附注中参考数据得
＝4，（ti－）2＝28,＝0.55.
（ti－）（yi－）＝iyi－i
＝40.17－4×9.32＝2.89，
所以r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
（2）由＝≈1.331及
（1）得
＝＝≈0.10，
＝－≈1.331－0.10×4≈0.93.
所以y关于t的回归方程为＝0.93＋0.10t.
将2019年对应的t＝9代入回归方程得
＝0.93＋0.10×9＝1.83.
所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨．
命题点2 非线性回归
例3某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：
千元）对年销售量y（单位：
t）和年利润z（单位：
千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i＝1,2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（xi－）2
（wi－）2
（xi－）·
（yi－）
（wi－）·
（yi－）
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi＝，＝i.
（1）根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？
（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据
（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据
（2）的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：
对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝，＝－.
解
（1）由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
（2）令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于
＝＝＝68，
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
（3）①由
（2）知，当x＝49时，
年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据
（2）的结果知，年利润z的预报值
＝0.2（100.6＋68）－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
思维升华回归分析问题的类型及解题方法
（1）求回归方程
①根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关．
②利用公式，求出回归系数.
③待定系数法：
利用回归直线过样本点的中心求系数.
（2）利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．
（3）利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数.
（4）回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．
跟踪训练2（2018·全国Ⅱ）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：
亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2，…，17）建立模型①：
＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2，…，7）建立模型②：
＝99＋17.5t.
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？
并说明理由．
解
（1）利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1（亿元）．
利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝99＋17.5×9＝256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
题型三 独立性检验
例4（2017·全国Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：
kg），其频率分布直方图如下：
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
K2＝.
解
（1）旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
（0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040）×5＝0.62.
因此，事件A的概率估计值为0.62.
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下：
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
K2的观测值k＝≈15.705.
由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）箱产量的频率分布直方图表明：
新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在50kg到55kg之间，旧养殖法的箱产量平均值（或中位数）在45kg到50kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．
思维升华
（1）比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法
①通过计算K2的大小判断：
K2越大，两变量有关联的可能性越大．
②通过计算|ad－bc|的大小判断：
|ad－bc|越大，两变量有关联的可能性越大．
（2）独立性检验的一般步骤
①根据样本数据制成2×2列联表．
②根据公式K2＝计算K2的观测值k.
③比较k与临界值的大小关系，作统计推断．
跟踪训练3微信是现代生活进行信息交流的重要工具，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人．若规定：
每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中有是青年人．
（1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表：
青年人
中年人
总计
经常使用微信
不经常使用微信
总计
（2）根据2×2列表中的数据利用独立性检验的方法判断是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？
附：
K2＝.
P（K2≥k0）
0.010
0.001
k0
6.635
10.828
解
（1）由已知可得，该公司员工中使用微信的有200×90%＝180（人）．
经常使用微信的有180－60＝120（人），
其中青年人有120×＝80（人），
使用微信的人中青年人有180×75%＝135（人），
故2×2列联表如下：
青年人
中年人
总计
经常使用微信
80
40
120
不经常使用微信
55
5
60
总计
135
45
180
（2）将列联表中数据代入公式可得，
K2＝≈13.333，
由于13.333>10.828，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”．
线性回归方程及其应用
数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程．主要包括：
收集数据、整理数据、提取信息、构建模型对信息进行分析、推断、获得结论．
例某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2006
2008
2010
2012
2014
需求量/万吨
236
246
257
276
286
（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程＝x＋；
（2）利用
（1）中所求出的线性回归方程预测该地2019年的粮食需求量．
解
（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下表.
年份－2010
－4
－2
0
2
4
需求－257
－21
－11
0
19
29
对处理的数据，容易算得＝0，＝3.2，
＝
＝＝6.5，
＝－＝3.2.
由上述计算结果，知所求线性回归方程为
－257＝6.5（x－2010）＋3.2，
即＝6.5（x－2010）＋260.2.
（2）利用所求得的线性回归方程，可预测2019年的粮食需求量大约为
6．5×（2019－2010）＋260.2＝6.5×9＋260.2
＝318.7（万吨）．
素养提升 例题中利用所给数据求回归方程的过程体现的就是数据分析素养．
1．根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
0.5
0.5
0.4
0.1
得到的线性回归方程为＝x＋，则（ ）
A.>0，>0B.>0，<0
C.<0，>0D.<0，<0
答案 B
解析 根据给出的数据可发现：
整体上y与x呈现负相关，所以<0，由样本点（3,4.0）及（4,2.5）可知>0，故选B.
2．（2018·湖南省五市十校联考）下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x（单位：
吨）与相应的生产能耗y（单位：
吨）的几组对应数据：
x/吨
3
4
5
6
y/吨
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表格中t的值为（ ）
A．3B．3.15C．3.25D．3.5
答案 A
解析 ＝＝4.5，
＝＝，
线性回归方程过样本点的中心（，），
所以＝0.7×4.5＋0.35，
解得t＝3.
3．（2018·广东省百校联盟联考）下表是我国某城市在2017年1月份至10月份期间各月最低温度与最高温度（单位：
℃）的数据一览表.
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高温度/℃
5
9
9
11
17
24
27
30
31
21
最低温度/℃
－12
－3
1
－2
7
17
19
23
25
10
已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ）
A．最低温度与最高温度为正相关
B．每月最高温度与最低温度的平均值在前8个月逐月增加
C．月温差（最高温度减最低温度）的最大值出现在1月
D．1月至4月的月温差（最高温度减最低温度）相对于7月至10月，波动性更大
答案 B
解析 将最高温度、最低温度、温差列表如下：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高温度/℃
5
9
9
11
17
24
27
30
31
21
最低温度/℃
－12
－3
1
－2
7
17
19
23
25
10
温差度/℃
17
12
8
13
10
7
8
7
6
11
由表格可知，最低温度大致随最高温度的升高而升高，A正确；
每月最高温度与最低温度的平均值在前8个月不是逐月增加，B错误；
月温差的最大值出现在1月，C正确；
1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大，D正确．
4．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi）（i＝1,2，…，8
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