沪科版八年级数学下知识点总结1.docx
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沪科版八年级数学下知识点总结1
沪科版八年级数学下知识点总结
二次根式知识点：
知识点一：
二次根式的观点
形如（）的式子叫做二次根式。
注：
在二次根式中，被开放数能够是数，也能够是单项式、多项式、分式等代数式，但
一定注意：
由于负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，
等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：
取值范围
1.二次根式存心义的条件：
由二次根式的意义可知，当a≧0时，存心义，是
二次根式，所以要使二次根式存心义，只需使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无心义的条件：
因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没存心义。
知识点三：
二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：
由于二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的
算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性
质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方近似。
这个性质在解答题目时
应用许多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：
二次根式（）的性质
（）
文字语言表达为：
一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：
二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上边的公式
也能够反过来应用：
若，则，如：
，.
知识点五：
二次根式的性质
文字语言表达为：
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，必定要弄理解被开方数的底数a是正数仍是负数，假如正数或0，则等于
a自己，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围能够是随意实数，即无论a取何值，必定存心义；
3、化简时，先将它化成，再依据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：
与的异同点
初中数学
1、不一样点：
与表示的意义是不一样的，表示一个正数a的算术平方根的平方，
而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a能够是正实数，
0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因此它的运算的结果是有
差其他，，而
2、同样点：
当被开方数都是非负数，即时，=；时，无心义，而
.
知识点七：
二次根式的性质和最简二次根式
如：
不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、
√x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、
√x^2+2xy+y^2等
（3）最后结果分母不含根号。
知识点八：
二次根式的乘法和除法
1.积的算数平方根的性质
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
2.乘法法例
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
二次根式的乘法运算法例，用语言表达为：
两个因式的算术平方根的积，等于
这两个因式积的算术平方根。
3.除法法例
√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）
二次根式的除法运算法例，用语言表达为：
两个数的算数平方根的商，等于这
两个数商的算数平方根。
初中数学
4.有理化根式。
假如两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化
根式,也称有理化因式。
知识点九：
二次根式的加法和减法
1同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，假如它们的被开方数同样，就
把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2归并同类二次根式
把几个同类二次根式归并为一个二次根式就叫做归并同类二次根式。
3二次根式加减时，能够先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数同样的进行归并。
知识点十：
二次根式的混淆运算
1确立运算次序
2灵巧运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大部分分母有理化要实时
5在有些简易运算中或许能够约分，不要盲目有理化知识点十一：
分母有理化
分母有理化有两种方法
I.分母是单项式
如:
√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
初中数学
II.分母是多项式要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/（√a＋√b）（√a－√b）=√a－√b/a－b
如图
注意：
1.根式中不可以含有分母2.分母中不可以含有根式。
一元二次方程知识点：
1.一元二次方程的一般形式:
a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一
元二次方程的相关问题时，多半习题要先化为一般形式，目的是确立一般形式中的a、
b、c；此中a、b,、c可能是详细数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2.一元二次方程的解法:
一元二次方程的四种解法要求灵巧运用，此中直接开平方法固然简单，可是合用范围较小；公式法固然合用范围大，但计算较繁，易发生计算错
误；因式分解法合用范围较大，且计算简易，是首选方法；配方法使用较少.
3.一元二次方程根的鉴别式:
当ax2+bx+c=0（a≠0）时，=b2-4ac叫一元二次方程根的鉴别式.请注意以低等价命题：
初中数学
＞0
<=>有两个不等的实根；
=0<=>有两个相等的实根；
＜0
<=>无实根；
Δ≥0<=>有两个实根（等或不等）.
4.一元二次方程的根系关系：
当ax2+bx+c=0
（a≠0）时，如Δ≥0，有以下公式：
（1）x1,2
bb2
4ac
x2
b
c
.
2a
；
（2）x1
，
x1x2
a
a
5.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法（也能够使用因式分解法）
①x2
a（a
0）
解为：
x
a
②（xa）2
b（b
0）
解为：
x
a
b
③（axb）2
c（c
0）
解为：
ax
b
c
④（axb）2
（cx
d）2（ac）
解为：
axb
（cxd）
（2）因式分解法：
提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法
如：
ax2bx0（a,b0）x（axb）0此类方程合适用供给所以，并且此中一个根为
0
x2
90
（x3）（x3）0
x2
3x0
x（x3）0
3x（2x1）
5（2x
1）0
（3x5）（2x1）
0
x2
6x94
（x3）2
4
4x212x90
（2x3）2
0
x2
4x120
（x6）（x2）0
2x2
5x120
（2x3）（x4）0
（3）配方法
①二次项的系数为“1”的时候：
直接将一次项的系数除于2进行配方，以下所示：
x2
Pxq0
（x
P）2
（P）2
q0
2
2
示例：
x2
3x
10
（x
3）2
（3）210
2
2
初中数学
②二次项的系数不为“1”的时候：
先提取二次项的系数，以后的方法同上：
ax2
bxc0（a0）
a（x2
bx）c0
a（x
b）2
a（b）2
c0
a
2a
2a
b
）
2
b2
b
）
2
b2
4ac
a（x
c
（x
4a2
2a
4a
2a
示例：
1x2
2x1
0
1（x2
4x）
1
0
1（x
2）2
1221
0
2
2
2
2
（4）公式法：
一元二次方程ax2
bx
c
0（a0）
，用配方法将其变形为：
（x
b）2
b2
4ac
2a
4a2
①当
b2
4ac
0时，右端是正数．所以，方程有两个不相等的实根：
bb24ac
x1,2
2a
②当
③当
b2
4ac
0
时，右端是零．所以，方程有两个相等的实根：
x1,2
b
2a
b2
4ac
0
时，右端是负数．所以，方程没有实根。
备注：
公式法解方程的步骤：
①把方程化成一般形式：
一元二次方程的一般式：
ax2bxc0（a0），并确立出a、b、
c
②求出b24ac，并判断方程解的状况。
③代公式：
x1,2
bb2
4ac（要注意符号）
2a
※5．当ax2+bx+c=0（a≠0）
时，有以低等价命题：
（以低等价关系要求会用公式
x1
x2
b，x1x2c；=b2-4ac
剖析，不要求背记）
b=0
a
a
（1）两根互为相反数
且Δ≥0
b=0且Δ≥0；
a
（2）两根互为倒数
c=1且
≥0
a=c且Δ≥0；
a
（3）只有一个零根
c=0且
b≠
0
c=0
且
b
≠；
a
a
0
（4）有两个零根
c=0且
b
=0
c=0
且
；
a
a
b=0
初中数学
（5）起码有一个零根
c=0
c=0；
a
（6）两根异号
c＜0
a、c异号；
a
（7）两根异号，正杜绝对值大于负杜绝对值
c＜0且
b＞
0
、异号且
a
、异号；
a
a
a
c
b
（8）两根异号，负杜绝对值大于正杜绝对值
c＜0且
b＜
0
、异号且
a
、同号；
a
a
a
c
b
（9）有两个正根
c＞0，
b＞
且Δ≥
、
同号，
、
异号且Δ≥；
0
0
a
c
a
b
a
a
0
（10）有两个负根
c＞0，
b＜0且Δ≥0
a、c同号，a、b同号且Δ≥0.
a
a
6．求根法因式分解二次三项式公式：
注意：
当
＜0
时，二次三项式在实数范围内不可以
分解.
ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x
2）或ax2+bx+c=ax
b
b2
4ac
x
b
b2
4ac.
2a
2a
7．求一元二次方程的公式：
2
）x+x
=0.
注意：
所求出方程的系数应化为整数.
1
2
1
2
x-（x
+x
x
8．均匀增添率问题--------
应用题的种类题之一
（设增添率为x）：
（1）第一年为a,
第二年为a（1+x）,
第三年为a（1+x）2.
（2）常利用以下相等关系列方程：
第三年=第三年
或
第一年+第二年+第三年
=总和.
9．分式方程的解法：
（1）去分母法
两边同乘最简
（或原方程的每个分母
），值0.
公分母
验增根代入最简公分母
凑元，设元，
验增根代入原方程每个
分母，值0.
（2）换元法
换元.
10.二元二次方程组的解法：
（）代入消元法
方程组中含有一个二元一次方
程
;
1
（）分解降次法
方程组中含有能分解为（
（）
）
0
的方程
;
2
（3）注意：
（1）（
2）0应分组为
（1）0
（2）0
（1）0
（2）0
.
（3）（4）0
（3）0
（4）0
（4）0
（3）0
※11．几个常有转变：
初中数学
2
2
（x1
x2）
2
2x
1x2
；
（x1x2）
2
（x1x2）
2
4x
1x
；
x
2
1
1
）
2
；
（1）x1
x2
2
x2
（x
2
x
或
x
2
1
（x
1
2
；
x1
（x1
x2）2
（x1
x2）2
4x1x2
（x1x2）
；
x2
）
2
x2
x2）2
x2）2
x
（x1
（x1
4x1x2
（x1
x2）
x12
x22
（x1
x2）2
2x1x2，
11
x1x2，
（x1x2）2
（x1x2）2
4x1x2，
x1x2
x1x2
|x1
x2|
（x1
x2）2
4x1x2，
x1x22
x12x2x1x2（x1
x2），
x2
x1
x12
x22
（x1
x2）2
4x1x2
等
x1
x2
x1x2
x1x2
1.分类为x1
x2
2和x1
x2
2
；
（2）
x1
x2
2
2
2.两边平方为（x1
x2）
4
2
（1）分类为
x1
4
和
x1
4
（3）
x1
4
（或x1
16
）
x2
3
x2
3
；
x2
3
x22
9
（2）
两边平方一般不用,由于增添次数.
（4）
如x1
sinA,
x2
sinB
且
A
B
90
时,
由公式sin2A
cos2A1,cosA
sinB
可推出x12
x22
1.
注意隐含条件
:
x1
0,
x2
0.
（5）
x1,x2
若为几何图形中线段长
时,可利用图形中的相等关系（比如几何定理，相像形
面积
等式,公式）
推导出含有
x1,
x2的关系式.注意隐含条件:
x1
0,
x20.
（6）如题目中给出特别的直角三角形、三角函数、比率式、等积式等条件,可把它们转变为某些线段的比，并且引入“协助未知元k”.
（7）方程个数等于未知数个数时,一般可求出未知数的值;方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值,但总可求出任何两个未知数的关系.
勾股定理知识总结：
一．基础知识点：
1：
勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：
a2+b2＝c2）
重点解说：
勾股定理反应了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主
初中数学
要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，C90，则ca2b2，bc2a2，
ac2b2）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理能够证明线段平方关系的问题
2：
勾股定理的逆定理
222
假如三角形的三边长：
a、b、c，则相关系a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的一种重要方法，它经过“数转变为形”来确立三角形的可能形状，在运用这必定理时应注意：
（1）第一确立最大边，不如设最长边长为：
c；
（2）考证c2与a2+b2能否拥有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直
角三角形
（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2
角形）。
（定理中a，b，c及a2b2c2不过一种表现形式，不行以为是独一的，如若三角形三边
长a，b，c知足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，可是b为斜边）
3：
勾股定理与勾股定理逆定理的差异与联系
差异：
勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判断定理；
联系：
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形相关。
4：
互抗命题的观点
假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做
互抗命题。
假如把此中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的抗命题。
初中数学
5：
勾股定理的证明
勾股定理的证明方法好多，常有的是拼图的方法
用拼图的方法考证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只需没有重叠，没有缝隙，面积不会改变
②依据同一种图形的面积不一样的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常有方法以下：
方法一：
4SS正方形EFGHS正方形ABCD，41ab（ba）2c2，化简可证．
2
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
S
4
1
2
2
2
abc
2abc
大正方形面积为S
（ab）2
a2
2ab
b2
所以a2
b2
c2
方法三：
S梯形
1
（a
b）（ab），S梯形
2SADE
SABE
2
1
ab
1
c2，化简得证
2
2
2
6：
勾股数
①能够组成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为
正整数时，称a，b，c为一组勾股数
②记着常有的勾股数能够提升解题速度，如
3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等
③用含字母的代数式表示n组勾股数：
n2
1,2n,n2
1（n2,n为正整数）；
2n1,2n2
2n,2n2
2n1（n为正整数）m2
n2,2mn,m2
n2
（mn,m，n为正整数）
二、规律方法指导
Aa
1．勾股
定理的证明实质采纳的是图形面积与代数恒等式的关系相互转变
c
D
b
证明的。
E
c
a
BbC
初中数学
2．勾股定理反应的是直角三角形的三边的数目关系，能够用于解决求解直角三角形边边
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