因式分解中转化思想的应用初中数学第一册教案七年级数学教案.docx

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因式分解中转化思想的应用初中数学第一册教案七年级数学教案

因式分解中转化思想的应用——初中数学第一册教案_七年级数学教案

因式分解是初中代数的重要内容，因其分解方法较多，题型变化较大，教学有一定难度。

转化思想是数学的重要解题思想，对于灵活较大的题型进行因式分解，应用转化思想，有章可循，易于理解掌握，能收到较好的效果。

因式分解的基本方法是：

提取公因式法、应用公式法、十字相乘法。

对于结构比较简单的题型可直接应用它们来进行因式分解，学生能够容易掌握与应用。

但对于分组分解法、折项、添项法就有些把握不住，应用转化就思想就能起到关键的作用。

分组分解法实质是一种手段，通过分组，每组采用三种基本方法进行因式分解，从而达到分组的目的，这就利用了转换思想。

看下面几例：

例1、  4a2+2ab+2ac+bc

解:

原式=（4a2+2ab）+（2ac+bc）

      =2a（2a+b）+c（2a+b）

      =（2a+b）（2a+c）

分组后，每组提出公因式后，产生新的公因式能够继续分解因式，从而达到分解目的。

例2、  4a2-4a-b2-2b

解:

原式=（4a2-b2）-（4a+2b）

 =（2a+b）（2a-b）-2（2a+b）

 =（2a+b）（2a-b-2）

按“二、二”分组，每组应用提公因式法，或用平方差公式，从而继续分解因式。

例3、  x2-y2+z2-2xz

解:

原式=（x2-2xz+z2）-y2

      =（x-z2）-y2

      =（x+y-z）（x-y-z）

四项式按“三一”分组，使三项一组应用完全平方式，再应用平方差进行因式分解。

对于五项式一般可采用“三二”分组。

三项这一组可采用提公因式法、完全平方式或十字相乘法，二项这一组可采用提公因式法或平方差公式分解，因此变化性较大。

例4、  x2-4xy+4y2-x+2y

解:

原式=（x2-4xy+4y2）-（x-2y）

=（x-2y）2-（x-2y）

=（x-2y）（x-2y-1）

例5、  a2-b2+4a+2b+3

解:

原式=（a2+4a+4）-（b2-2b+1）

=（a+2）2-（b-1）2

=（a+2+b-1）（a+2-b+1）

=（a+b+1）（a-b+3）

对于六项式可进行“二、二、二”分组，“三、三”分组，或“三、二、一”分组。

例6、  ax2-axy+bx2-bxy-cx2+cxy

①解:

原式=（ax2-axy）+（bx2-bxy）-（cx2-cxy）

=ax（x-y）+bx（x-y）-cx（x-y）

=（x-y）（ax+bx-cx）

=x（x-y）（a+b-c）

②解:

原式=（ax2+bx2-cx2）-（axy+bxy-cxy）

       =x2（a+b-c）-xy（a+b-c）

       =x（x-y）（a+b-c）

例7、  x2-2xy+y2+2x-2y+1

解:

原式=（x2-2xy+y2）+（2x-2y）+1

=（x-y）2+2（x-y）+1

=（x-y+1）2

对于折项、添项法也可转化成这三种基本的方法来进行因式分解。

例8、  x4+4y4

解:

原式=（x4+4x2y2+4y4）-4x2y2

=（x2+2y2）2-4x2y2

=（x2+2xy+2y2）（x2-2xy+2y2）

例9、  x4-23x2+1

解:

原式=x4+2x2+1-25x2

     =（x2+1）2-25x2

     =（x2-5x+1）（x2+5x+1）

又如x3-7x-6可用折项、添项多种方法分解因式:

⑴x3-7x-6=（x3-x）-（6x+6）

⑵x3-7x-6=（x3-4x）-（3x+6）

⑶x3-7x-6=（x3+2x2+x）-（2x2+8x+6）

⑷x3-7x-6=（x3-6x2-7x）+（6x2-6）

只有掌握好三种基本的因式分解方法，才能应用转化思想处理灵活性较大、技巧性较强的题型。

本文有些内容超出大纲，但由于强调转化，既巩固知识，又开阔视野，对因式分解这一章会起到一定

因式分解是初中代数的重要内容，因其分解方法较多，题型变化较大，教学有一定难度。

转化思想是数学的重要解题思想，对于灵活较大的题型进行因式分解，应用转化思想，有章可循，易于理解掌握，能收到较好的效果。

因式分解的基本方法是：

提取公因式法、应用公式法、十字相乘法。

对于结构比较简单的题型可直接应用它们来进行因式分解，学生能够容易掌握与应用。

但对于分组分解法、折项、添项法就有些把握不住，应用转化就思想就能起到关键的作用。

分组分解法实质是一种手段，通过分组，每组采用三种基本方法进行因式分解，从而达到分组的目的，这就利用了转换思想。

看下面几例：

例1、  4a2+2ab+2ac+bc

解:

原式=（4a2+2ab）+（2ac+bc）

      =2a（2a+b）+c（2a+b）

      =（2a+b）（2a+c）

分组后，每组提出公因式后，产生新的公因式能够继续分解因式，从而达到分解目的。

例2、  4a2-4a-b2-2b

解:

原式=（4a2-b2）-（4a+2b）

 =（2a+b）（2a-b）-2（2a+b）

 =（2a+b）（2a-b-2）

按“二、二”分组，每组应用提公因式法，或用平方差公式，从而继续分解因式。

例3、  x2-y2+z2-2xz

解:

原式=（x2-2xz+z2）-y2

      =（x-z2）-y2

      =（x+y-z）（x-y-z）

四项式按“三一”分组，使三项一组应用完全平方式，再应用平方差进行因式分解。

对于五项式一般可采用“三二”分组。

三项这一组可采用提公因式法、完全平方式或十字相乘法，二项这一组可采用提公因式法或平方差公式分解，因此变化性较大。

例4、  x2-4xy+4y2-x+2y

解:

原式=（x2-4xy+4y2）-（x-2y）

=（x-2y）2-（x-2y）

=（x-2y）（x-2y-1）

例5、  a2-b2+4a+2b+3

解:

原式=（a2+4a+4）-（b2-2b+1）

=（a+2）2-（b-1）2

=（a+2+b-1）（a+2-b+1）

=（a+b+1）（a-b+3）

对于六项式可进行“二、二、二”分组，“三、三”分组，或“三、二、一”分组。

例6、  ax2-axy+bx2-bxy-cx2+cxy

①解:

原式=（ax2-axy）+（bx2-bxy）-（cx2-cxy）

=ax（x-y）+bx（x-y）-cx（x-y）

=（x-y）（ax+bx-cx）

=x（x-y）（a+b-c）

②解:

原式=（ax2+bx2-cx2）-（axy+bxy-cxy）

       =x2（a+b-c）-xy（a+b-c）

       =x（x-y）（a+b-c）

例7、  x2-2xy+y2+2x-2y+1

解:

原式=（x2-2xy+y2）+（2x-2y）+1

=（x-y）2+2（x-y）+1

=（x-y+1）2

对于折项、添项法也可转化成这三种基本的方法来进行因式分解。

例8、  x4+4y4

解:

原式=（x4+4x2y2+4y4）-4x2y2

=（x2+2y2）2-4x2y2

=（x2+2xy+2y2）（x2-2xy+2y2）

例9、  x4-23x2+1

解:

原式=x4+2x2+1-25x2

     =（x2+1）2-25x2

     =（x2-5x+1）（x2+5x+1）

又如x3-7x-6可用折项、添项多种方法分解因式:

⑴x3-7x-6=（x3-x）-（6x+6）

⑵x3-7x-6=（x3-4x）-（3x+6）

⑶x3-7x-6=（x3+2x2+x）-（2x2+8x+6）

⑷x3-7x-6=（x3-6x2-7x）+（6x2-6）

只有掌握好三种基本的因式分解方法，才能应用转化思想处理灵活性较大、技巧性较强的题型。

本文有些内容超出大纲，但由于强调转化，既巩固知识，又开阔视野，对因式分解这一章会起到一定

----《万以内连续进位加法》教学谈

小学数学的计算教学，向来是学生感到乏味，教师感到难教的一部分内容，原因是计算教学脱离了学生的生活实际。

回顾以往的计算教学，我们记忆犹新，学生面对的只是数字与运算符号，而教学中，教师强调的只是算理的诠释，技能的操练，这与小学生的年龄特征不相吻合，因此不利于激起学生的学习兴趣。

相反，可能会使学生感到越学越困难，越做越乏味，最后甚至陷入恶性循环之中。

在新课程理念的引领下，笔者认为，在计算教学中创设一定的情境，把计算教学根植于具体的情境之中，不仅能激发学生的学习兴趣，还能使枯燥的计算变得富有生机与活力，从而使学生感到计算不再是乏味的。

相反的，通过情境开展学习，学生能把计算当作一种工具，能自觉地运用它来解决数学问题。

下面，笔者结合自己执教的人教版三年级数学上册《连续进位加法》一课，谈谈让计算根植于情境之中的一些做法与体会。

一、让计算根植于情境之中，丰富试题的呈现形式

现行数学教材中对计算式题的呈现形式极其单一，基本上都是直接呈现，也有的从已学过的知识引入。

如“连续进位加法”一课，过去我们从一次进位或隔位进位加法入手，然后通过改变数字，把题目变成连续进位加法，学生通过试做后发现与前一阶段所学知识不同，接着从前后两种计算方法比较中明确连续进位加法的算理，强调计算中的注意点，并辅以大量的练习加以巩固。

这样的教学，从数字到数字，从算式到算式，显得枯燥乏味，毫无生机。

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）指出：

要“让学生在现实情境中体验和理解数学”，“计算教学应注意与学生的现实生活相联系，让学生感受到通过计算可以解决一些实际问题。

”因此，计算教学中要创设适合计算的教学情境，把教学内容融入具体的情境之中，通过呈现丰富多彩的现实生活情境，使学生体验、感受和理解数与运算的意义，赋计算式题予生活的内涵。

让学生从中体会数学与生活的密切联系，从而更深刻地理解数学，认识生活。

教学片断一：

师：

同学们，今年的奥运会你们看了吗？

生：

看了！

师：

我国奥运代表团在雅典获得了多少枚金牌？

生：

32枚。

师：

那么，你们知道我国奥运代表团一共参加了多少届奥运会并各获得多少枚金牌吗？

今天，王老师和同学们一起来回顾一下我国的奥运史。

（课件出示历年来我国参加奥运会获得金、银、铜牌的统计表）

师：

从这张统计表上，我们可以清楚地看到，我国的体育事业蓬勃发展的情景。

你看到什么了？

生1：

我看到了从1996年开始，我国的金牌数量一年比一年多。

生2：

我看到了从1996年开始，我国的奖牌总数也是一年比一年多。

生3：

我看到了1988年获得的金牌最少，今年最多。

……

师：

是呀！

同学们，我国的奥运健儿在奥运赛场上奋力拼搏，为祖国赢得了荣誉。

从此，我们甩掉了“东亚病夫”的称号，今年以63枚奖牌的好成绩雄居奥运奖牌榜的第二名。

你们开心吗？

（开心）是呀，王老师也和大家一样的开心！

看到奥运赛场上一次又一次地响起《中华人民共和国国歌》，心情非常激动！

今天，让我们再来感受一下激动人心的奥运，好吗？

……

师：

刚才，我们已经看到了我国奥运健儿奋力拼搏的可喜成绩，为了比较起来更加清楚一些，王老师把前四届的奖牌和近两届的奖牌分别加起来。

我们一起来看看。

（课件展示）

本课以现实生活中的奥运会为背景素材，创设情境，不仅适时，而且迎合小学生的心理，极大地丰富了课题的呈现形式。

他们兴趣浓郁、积极性高，好像又回到了观看奥运赛况时的情形，个个情绪高涨。

且历届奥运会的奖牌数量为学生开展计算学习提供了良好的素材。

《标准》中指出：

“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。

显然，计算教学也应从学生已有的生活经验出发，让学生在具体情境中，亲身经历将生活情境的数学知识抽象数学问题，并加以解决。

学生的生活经验来自于他们的生活实践，因此，教学中创设丰富多彩的生活情境，可以激发学生的学习兴趣并为学生展开数学学习提供一个良好的环境。

二、让计算根植于情境之中，张扬学生的学习个性

计算方法、技巧与速度，是我们以往对学生计算能力的要求，为此，不惜牺牲学生大量的时间，甚至创新思维。

如教学“7＋4”时，不仅要求学生要会做，还要会说，于是花费大量时间一遍又一遍的程式化地叙述“凑十法”的口诀，直到每位学生都说得滚瓜烂熟为止。

显然，这样的教学没有关注学生的个性，是一种“制造式”的教学，学生的学习兴趣也在一遍又一遍的程式化地叙述中逐渐消失殆尽，直至厌倦。

《标准》削弱了计算在小学教学中的“霸主”地位，强调“应减少单纯的技能性训练，避免繁杂计算和程式化地叙述‘算理’”，同时强调要提倡算法多样化，并多次强调学生数感的培养。

在情境中进行计算教学，由于没有强调计算方法的统一性，有利于激发学生的创造性思维，形成百花齐放的局面，实现算法的多样化和学习的个性化。

教学片断二：

师：

看了这张表（见上表），你能提出一些数学问题吗？

生1：

金牌的总数是多少枚？

师：

你是说，六届奥运会的金牌总数是多少枚吗？

那应该写在表格的什么地方呢？

生2：

可以在金牌的下面再画一格，然后写上112。

师：

真了不起！

（课件出示总计栏一行）这一行我们习惯上称它为“总计”，就是金牌一共有多少枚。

生2：

还有银牌、铜牌的总数各多少枚？

（学生回答的同时，教师在课件上补上相应的数字）

生3：

还可以求前四届一共获得多少枚奖牌？

师：

那一共获得多少枚奖牌又该写在哪里呢？

生4：

可以在右面再添上一格。

师：

好的，王老师再在右边添上一栏，这一栏我们习惯上称它为“合计”栏。

那么，前四届一共获得多少枚奖牌呢？

请同学们拿出本子来算一算。

生5：

一共获得了164枚奖牌。

师：

你是怎么算的？

生5：

我是这样算的，前四届一共获得多少枚？

就是52＋64＋48，我是先算52＋48正好等于100，再加64，等于164。

师：

你真聪明！

52＋48正好等于100，想得太棒了！

其他同学是怎么算的？

生6：

我是先算52＋64＝116，再算116＋48＝164。

师：

同学们真能干！

我们再来算算近两届一共获得多少枚奖牌？

生7：

我是这样算的，60＋33＋29，先算60＋33＝93，再算93＋29＝122。

师：

很好，你能把93＋29的计算方法说给大家听听吗？

（学生到黑板列竖式计算）

生8：

老师，我不是这样算的。

我是这样想的：

93＋29，我想，29可以看成30，这样等于123，再减去1，等于122。

师：

太好了！

你为什么把29看成30来算呢？

生8：

这样要简单一些。

（根据学生回答，表格逐步形成如下形式）

算法多样化是《标准》对计算教学提出的一个新要求，是实现个性化学习的有效途径。

本例中，笔者通过情境的创设，为学生营造一个宽松、民主的学习空间，使学生的创新思维得以发挥。

如学生对“52＋64＋48”的计算，由于没有式题思想的禁锢，看到“52＋48”正好等于100，使计算简便，于是大胆采用。

尽管学生还不知道加法结合律，但这不能不说是学生思维的一大飞跃。

同样，在计算“93＋29”时，一位学生说：

“我是这样想的：

93＋29，我想，29可以看成30，这样等于123，再减去1，等于122。

”从中我们可以看出，在学生的潜意识中，“简单”已成为他们对计算所追求的目标。

不同的学生对计算有不同的理解，这正体现了《标准》所提倡的“不同的人在数学得到不同的发展”的基本理念与要求，对学生计算能力的形成及数感的培养是极有好处的！

三、让计算根植于情境之中，培养学生的应用意识

数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，在现实世界中有着广泛的应用。

毫无疑问，培养学生数学知识的应用意识应贯穿于每堂数学课中。

让计算根植于情境之中，在情境中展开计算教学，赋计算式题于“生命”的内涵，不仅可以使枯燥的计算式题变得富有生机，为学生解决问题提供了心理动机，还潜移默化地向学生渗透“数学知识来源于生活，又应用于生活”的意识。

正如《标准》所指出：

“教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实生活中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。

”

教学片断三：

……

师：

剩下的一格（表格右下角一栏），该怎么填呢？

生9：

这里应该填奖牌的总数。

师：

奖牌的总数你们会算吗？

（会）算算看，一共获得了多少枚奖牌？

生10：

一共获得了286枚奖牌。

师：

你是怎么算的？

生10：

我是算164＋122＝286。

（教师板书）

生11：

我是算112＋97＋77＝286。

（教师板书）

师：

好的！

哪位同学知道164＋122这个算式表示什么意思？

生12：

164是表示前四届一共获得164枚奖牌，122是表示近两届一共获得122枚奖牌，加起来就是六届一共获得多少枚奖牌。

师：

说得非常好！

那么112＋97＋77这个算式又表示什么意思呢？

生13：

112表示六届奥运会的金牌总数，97表示六届奥运会的银牌总数，77是铜牌总数，全部加起来就是金、银铜牌的总数。

在情境中展开计算教学，往往容易使计算与知识应用融合为一体。

生活中，本不存在单纯的计算，人们在生活中所从事的计算，都发生在具体的情境之中，如购物、测量等等。

因此，计算教学除理解算理，掌握必要的技能以外，还应担负起培养学生应用数学的意识之责。

本例教学中，笔者立足学生生活实际，捕捉今年雅典奥运会我国代表团获奖牌数量的时机，从学生喜闻乐见的情境引入，让学生纵观我国奥运代表团获奖牌情况的统计中，提出数学问题，自主解决，不仅提高了学生的学习兴趣，同时培养了学生应用数学知识的意识与能力。

如“我国奥运代表团一共获得多少枚奥运奖牌？

”学生不仅能正确计算出奥运奖牌的数量，还能分别从合计栏和总计栏进行求得。

综上所述，情境能让枯燥的数字赋予生命的活力！

让计算根植于具体的情境之中，更有利于激发学生强烈的求知欲望，从而把原本枯燥的计算教学，变得生动活泼，丰富多彩。

荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal）曾说：

“数学是现实的，学生从现实生活中学习数学，还要把学到的数学应用到现实中去。

”计算，不仅是数学教学中很重要的一块内容，同时也是帮助我们解决现实生活问题必不可少的工具。

要让我们的学生真正地理解这一点，就必须让学生在生活中运用所学的计算知识积极实践。

第9课　　3.4整式的加减

（1）

教学目的

1、使学生在掌握合并同类项、去括号法则基础上进行整式的加减运算。

2、使学生掌握整式加减的一般步骤，熟练进行整式的加减运算。

教学分析

重点：

整式的加减运算。

难点：

括号前是-号，去括号时，括号内的各项都要改变符号。

突破：

正确理解去括号法则，并会把括号与括号前的符号理解成整体。

教学过程（）

一、复习

1、 叙述合并同类项法则。

2、 练习题：

（用投影仪显示、学生完成）

3、 叙述去括号与添括号法则。

4、 练习题：

（用投影仪显示、学生完成）

5、化简：

y2+（x2+2xy-3y2）-（2x2-xy-2y2）

二、新授

1、引入

整式的化简，如果有括号，首先要去括号，然后合并同类项，所以去括号和合并同类项是整式加减的基础。

2、例题

例1（P166例1）（学生自学后，教师按以下提示点拔即可）

求单项式5x2y,-2x2y,2xy2,-4xy2的和。

提示：

式子5x2y+（-2x2y）+2xy2+（-4xy2）就是这四个单项式的和。

几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括号起来，再用加减号连接。

解：

（略，见教材P166）

练习：

P167 1、2

例2（P166例2）

求3x2-6x+5与4x2-7x-6的和。

解：

（3x2-6x+5）+（4x2-7x-6） （每个多项式要加括号）（口述：

文字叙述的整式加减，对每个整式要添上括号）

=3x2-6x+5+4x2-7x-6       （去括号）

=7x2+x-1                （合并同类项）

    练习：

P167 3

例3。

（P166例3）（学生自学后，完成练习，教师矫正练习错误）

求2x2+xy+3y2与x2-xy+2y2的差。

解：

（2x2+xy+3y2）-（x2-xy+2y2）

 =2x2+xy+3y2-x2+xy-2y2

 =x2+2xy+y2

3、归纳整式加减的一般步骤。

（最好由学生归纳）

整式加减实际上就是合并同类项。

在运算中，如果遇到括号，按去括号法则，先去括号，再合并同类项。

三、练习

补：

已知：

A=5a2-2b2-3c2,B=-3a2+b2+2c2,求2A-3B（视时间是否足够而定）

四、小结（用投影仪板演）

1、文字叙述的整式加减，对每一个整式要添上括号。

2、有括号的要先去括号，如果双有中括号或大括号，要先去小括号，后去中括号，再去大括号。

五、作业

1、             P169：

A：

1（3、4），3，5，6，7，8。

B：

1，2。

 （可适当减少些）

   8.3《再探实际问题与二元一次方程组》教案

（1）董连武

   教学目标

   ①经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型;

   ②能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程组;

   ③学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答;

   ④培养分析、解决问题的能力,体会二元一次方程组的应用价值,感受数学文化。

   教学重点与难点

   重点:

以方程组为工具分析、解决含有多个未知数的实际问题。

   难点:

确定解题策略,比较估算与精确计算。

   教学设计

   教学过程

   设计意图说明

   创设情境,提出问题

   前面我们结合实际问题,讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组。

本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题。

   （出示问题）养牛场原有30只母牛和15只小牛,一天约需用饲料675kg;一周后又购进12只母牛和5只小牛,这时一天约需用饲料940kg。

饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18~20kg,每只小牛1天约需用饲料7~8kg。

你能否通过计算检验他的估计?

   开门见山,直接提出本节学习目标,强化本章的中心问题。

   以学生身边的实际问题展开讨论,突出数学与现实的联系。

   探索分析,解决问题

   学生思考、讨论。

   判断李大叔的估计是否正确的方法有两种:

   一、先假设李大叔的估计正确,再根据问题中给定的数量关系来检验。

   二、根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量,再来判断李大叔的估计是否正确。

   学生在比较探究后发现用方法二较简便。

   设问1:

如果选择方法二,如何计算平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量?

   （有前面几节的知识准备,学生可以回答）

   列方程组求解。

   主要思路:

   实际问题→（设未知数,列方程组）→数学问题（二元一次方程组）

   学生先独立思考,然后师生共同讨论解题过程。

   解:

设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料xkg和ykg。

   找出相等关系列方程组

   解这个方程组,得

   这就是说,平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料20kg和5kg。

饲养员李大叔对母牛的食量估计正确,对小牛的食量估计不正确。

   引导学生探寻解题思路,并对各种方法进行比较,方法一主要是估算的运用,而方法二是方程思想的应用。

   分步到位,渗透模型化的思想。

   规范解题步骤,培养学生有条理