七年级下册初一数学 《三角形》教案.docx
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七年级下册初一数学《三角形》教案
三角形
【考点四:
全等三角形的概念和性质】
【基础知识】
1._________________的两个图形叫做全等形.
2.把两个全等的三角形重合到一起,____________叫做对应顶点;叫做对应边;___________叫做对应角.记两个三角形全等时,通常把表示_____________的字母写在_________上.
3.全等三角形的对应边_________,对应角_________,这是全等三角形的重要性质.
4.如果ΔABC≌ΔDEF,则AB的对应边是______,AC的对应边是______,∠C的对应角是_____,∠DEF的对应角是_________.
图1-1图1-5图1-6
5.如图1-1所示,ΔABC≌ΔDCB.
(1)若∠D=74°,∠DBC=38°,则∠A=_____,∠ABC=_____;
(2)如果AC=DB,请指出其他的对应边_________________;
(3)如果ΔAOB≌ΔDOC,请指出所有的对应边_____________,对应角_____________.
6.下列命题中,真命题的个数是()
①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等
A.4B.3C.2D.1
7.如图1-5,△ABC≌△AEF,若∠ABC和∠AEF是对应角,则∠EAC等于()
A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC
8.如图1-6,△ABC≌ΔADE,若∠B=80°,∠C=30°,∠DAC=35°,则∠EAC的度数为()
A.40°B.35°C.30°D.25°
9.已知:
如右图所示,以B为中心,将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD,若∠E=35°,求∠ADB的度数.
【综合运用】
10.如图1-8,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3,则∠α的度数为______.
图1-8
11.已知:
如图1-9,△ABC≌△DEF,∠A=85°,∠B=60°,AB=8,EH=2.
(1)求∠F的度数与DH的长;
(2)求证:
AB∥DE.
图1-9
12.如图1-10,AB⊥BC,ΔABE≌ΔECD.判断AE与DE的关系,并证明你的结论.
图1-10
【考点五:
三角形全等的判定条件1——“边边边”】
【基础知识】
1.全等三角形判定方法1——“边边边”(即______)指的是_______________________________.
2.已知:
如图,△RPQ中,RP=RQ,M为PQ的中点.
求证:
RM平分∠PRQ.
分析:
要证RM平分∠PRQ,即∠PRM=_________,
只要证_________≌_________
证明:
∵M为PQ的中点(已知),∴___________=___________
在△_________和△_________中,
∴______≌______().
∴∠PRM=______(____________________________________).
即RM平分∠PRQ.
3.已知:
如图,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
求证:
∠A=∠D.
分析:
要证∠A=∠D,只要证_________≌_________.
证明:
∵BE=CF(),
∴BC=______.
在△ABC和△DEF中,
∴______≌______().
∴∠A=∠D(______).
4.如图,CE=DE,EA=EB,CA=DB,
求证:
△ABC≌△BAD.
证明:
∵CE=DE,EA=EB,
∴______+______=______+______,
即______=______.
在△ABC和△BAD中,
∴△ABC≌△BAD().
【综合运用】
5.已知:
如图2-4,AD=BC.AC=BD.试证明:
∠CAD=∠DBC.
图2-4
6.画一画.
已知:
如图2-5,线段a、b、c.
求作:
ΔABC,使得BC=a,AC=b,AB=c.
图2-5
7.“三月三,放风筝”.下图是小明制作的风筝,他根据DE=DF,EH=FH,不用度量,就知道∠DEH=∠DFH.请你用所学的知识证明.
8.画一画,想一想:
利用圆规和直尺可以作一个角等于已知角,你能说明其作法的理论依据吗?
【考点六:
三角形全等的判定条件2——“边角边”】
【基础知识】
1.全等三角形判定方法2——“边角边”(即_______)指的是______________________________.
2.已知:
如图,AB、CD相交于O点,AO=CO,OD=OB.
求证:
∠D=∠B.
分析:
要证∠D=∠B,只要证______≌______
证明:
在△AOD与△COB中,
∴△AOD≌△______().∴∠D=∠B().
3.已知:
如图,AB∥CD,AB=CD.求证:
AD∥BC.
分析:
要证AD∥BC,只要证∠______=∠______,又需证______≌______.
证明:
∵AB∥CD(),
∴∠______=∠______(),
在△______和△______中,
∴Δ______≌Δ______()∴∠______=∠______()
∴______∥______()
【综合运用】
4.已知:
如图,AB=AC,∠BAD=∠CAD.
求证:
∠B=∠C.
5.已知:
如图,AB=AC,BE=CD.
求证:
∠B=∠C.
6.已知:
如图,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2.
求证:
BC=DE.
7.如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A、B、D三点共线,AB=CB,EB=DB,∠ABC=∠EBD=90°),连接AE、CD,试确定AE与CD的位置与数量关系,并证明你的结论.
【考点七:
三角形全等的判定条件3——“角边角”,判定条件4——“角角边”】
【基础知识】
1.
(1)全等三角形判定方法3——“角边角”(即______)指的是__________________________;
(2)全等三角形判定方法4——“角角边”(即______)指的是_________________________.
2.已知:
如图,PM=PN,∠M=∠N.求证:
AM=BN.
分析:
∵PM=PN,∴要证AM=BN,只要证PA=______,
只要证______≌______.
证明:
在△______与△______中,
∴△______≌△______().∴PA=______().
∵PM=PN(),
∴PM-______=PN-______,即AM=______.
3.已知:
如图4-2,AC
BD.求证:
OA=OB,OC=OD.
分析:
要证OA=OB,OC=OD,只要证______≌______.
证明:
∵AC∥BD,∴∠C=______.
在△______与△______中,
∴______≌______().
∴OA=OB,OC=OD().
4.能确定△ABC≌△DEF的条件是()
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠EB.AB=DE,BC=EF,∠C=∠E
C.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠DD.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E
5.如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是()
A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙
6.AD是△ABC的角平分线,作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,下列结论错误的是()
A.DE=DFB.AE=AFC.BD=CDD.∠ADE=∠ADF
7.阅读下题及一位同学的解答过程:
如图,AB和CD相交于点O,且OA=OB,∠A=∠C.那么△AOD与△COB全等吗?
若全等,试写出证明过程;若不全等,请说明理由.
答:
△AOD≌△COB.
证明:
在△AOD和△COB中,
∴△AOD≌△COB(ASA).
问:
这位同学的回答及证明过程正确吗?
为什么?
【综合运用】
8.已知:
如图,AB⊥AE,AD⊥AC,∠E=∠B,DE=CB.
求证:
AD=AC.
9.已知:
如图,在△MPN中,H是高MQ和NR的交点,且MQ=NQ.
求证:
HN=PM.
10.已知:
AM是ΔABC的一条中线,BE⊥AM的延长线于E,CF⊥AM于F,BC=10,BE=4.求BM、CF的长.
【提高练习】
11.已知:
如右图,AE=DF,∠A=∠D,欲证ΔACE≌ΔDBF,需要添加条件
_____________,证明全等的理由是______;或添加条件______________,
证明全等的理由是_______;也可以添加条件______________,证明全等的
理由是_______.
12.如图,已知ΔABC≌ΔA'B'C',AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线.
(1)请证明AD=A'D';
(2)把上述结论用文字叙述出来;
(3)你还能得出其他类似的结论吗?
13.如图4-10,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足.
(1)当直线l不与底边AB相交时,求证:
EF=AE+BF.
图4-10
(2)如图4-11,将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D,请你探究直线l在
如下位置时,EF、AE、BF之间的关系.
①AD>BD;②AD=BD;③AD<BD.
图4-11
【小结——知识梳理】
1.判定和性质
判定
边角边(SAS、角边角(ASA
角角边(AAS、边边边(SSS
性质
对应边相等,对应角相等
对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等
注:
①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等;
②全等三角形面积相等.
2.证题的思路:
【基础练习】
1.下列命题中正确的有()个
①三个内角对应相等的两个三角形全等;②三条边对应相等的两个三角形全等;
③有两角和一边分别相等的两个三角形全等;④等底等高的两个三角形全等.
A.1B.2C.3D.4
2.如右图,AB=CD,AD=CB,AC、BD交于O,图中有()对全等三角形.
A.2B.3C.4D.5
3.如右图,若AB=CD,DE=AF,CF=BE,∠AFB=80°,∠D=60°,
则∠B的度数是()
A.80°B.60°C.40°D.20°
4.如右图,△ABC中,若∠B=∠C,BD=CE,CD=BF,则∠EDF=()
A.90°-∠AB.
C.180°-2∠AD.
5.下列各组条件中,可保证△ABC与△A'B'C'全等的是()
A.∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C'B.AB=A'B',AC=A'C',∠B=∠B'
C.AB=C'B',∠A=∠B',∠C=∠C'D.CB=A'B',AC=A'C',BA=B'C'
6.如右图,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是()
A.∠M=∠NB.AB=CD
C.AM=CND.AM∥CN
【综合运用】
7.已知:
如图,AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC.求证:
BD=CE.
8.已知:
如图,AC与BD交于O点,AB∥DC,AB=DC.
(1)求证:
AC与BD互相平分;
(2)若过O点作直线l,分别交AB、DC于E、F两点,求证:
OE=OF.
9.如图,E在AB上,∠1=∠2,∠3=∠4,那么AC等于AD吗?
为什么?
【考点八:
三角形全等的应用】
1.如图7-1,小明与小敏玩跷跷板游戏.如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)到地面的距离是50cm,当小敏从水平位置CD下降40cm时,小明这时离地面的高度是多少?
请用所学的全等三角形的知识说明其中的道理.
图7-1
2.如图7-2,工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔,要使孔口从墙壁对面的B点处打开,墙壁厚是35cm,B点与O点的铅直距离AB长是20cm,工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC=35cm,画CD⊥OC,使CD=20cm,连接OD,然后沿着DO的方向打孔,结果钻头正好从B点处打出,这是什么道理呢?
请你说出理由.
图7-2
3.如图7-3,公园里有一条“Z”字形道路ABCD,其中AB∥CD,在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试判断三只石凳E,M,F恰好在一直线上吗?
为什么?
图7-3
4.在一池塘边有A、B两棵树,如图7-4.试设计两种方案,测量A、B两棵树之间的距离.
方案一:
方案二:
图7-4
5.如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,∠CBA=32°,求∠EFD的度数.
【考点九:
用尺规作三角形】
【知识回顾】
1.已知:
a,求作:
AB,使AB=a.2.已知:
∠
,求作:
∠AOB,使∠AOB=∠
.
a
x
【作一个三角形与已知三角形全等】
1.已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形.
已知:
线段a,c,∠α.
求作:
ΔABC,使得BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.
a
c
作法与过程:
1.作一条线段BC=a;
2.以B为顶点,BC为一边,作角∠DBC=∠a;
3.在射线BD
上截取线段BA=c;[来源:
4.连接AC,ΔABC就是所求作的三角形.
2.已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.
α
已知:
线段∠α,∠β,线段c.
求作:
ΔABC,使得∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c.
β
c
作法:
1.作____________=∠α;
2.在射线______上截取线段_________=c;
3.以_____为顶点,以_____为一边,作∠
______=∠β,_____交_____于点____.ΔABC就是所求作的三角形.
3.已知三角形的三边,求作这个三角形.
已知:
线段a,b,c.
a
求作:
ΔABC,使得AB=c,AC=b,BC=a.m
b
c