数学分析大纲.docx

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数学分析大纲

数学分析教学大纲

课程编号：

课程中文名称：

数学分析

课程英文名称：

MathematicalAnalysis

开课学期：

春季学期和秋季学期

学分/学时：

15学分/288学时

先修课程：

高等数学

建议后续课程：

适用专业/开课对象：

高等工程学院本科生

团队负责人：

责任教授：

朱汝金执笔人：

朱汝金核准院长：

一．课程的性质、目的和任务

通过本课程的教学，要求达到以下目的：

1．使学生掌握《数学分析》的基本思想、基本理论、基本方法及基本技巧，为进一步学习其它课程打下结实基础。

2．要求学生了解《数学分析》的基本概念的实际背景，初步具备应用分析方法解决实际问题的能力。

3．培养学生数学计算能力与逻辑推理能力，养成处理纷繁数据与复杂数量关系的耐心与毅力。

二教学内容及课时安排

第一学期

绪论

（1课时）

§1微积分起源简介

§2微积分在应用方面的成就举例（18世纪）

§3微积分的名称来源

第一章函数

（5课时）

§1变量

§2函数的概念：

函数的定义、构成函数的各种途径

§3函数图形的整体特征分类简介

§4初等函数

第二章极限论

（16课时）

§1实数连续性公理简介

§2有界数集的确界

§3数列极限：

数列极限的概念、收敛数列的性质、子列、单调有界数列的极限

§4实数连续统的基本定理：

闭区间套序列、有限子覆盖、聚点原理、Cauchy收敛准则

§5数列的上极限、下极限：

定义、运算公式

§6函数极限：

函数的有界性的概念、函数的极限概念、函数极限的基本性质、两个典型极限、判别函数极限存在的Cauchy准则

§7无穷大量、渐近线

§8无穷大（小）量的量阶表示

（注：

考虑学生的接受能力，有关实数理论的内容可移至第一学期末讲授，课时作相应的调整）

第三章连续函数

（10课时）

§1函数的连续性：

函数在一点连续的概念、函数在一点左、右连续的概念、函数在连续点的局部性质

§2多个函数连续性之间的运算关系，初等函数的连续性

§3函数间断点的分类

§4闭区间上连续函数的重要性质：

有界性、最值性、介值（中值）性、一致连续性

（注：

考虑学生的接受能力，§4中有关性质的证明可移至第一学期末讲授，课时作相应的调整）

第四章微分学

（一）：

导数与微分

（11课时）

§1函数的导数概念：

即时速度与曲线斜率、导数定义及其记法、左、右导数、函数的可导性与连续性、导数与变化律

§2求导运算法则：

四则运算、复合函数与反函数的求导公式、参数式函数与隐函数的求导、

§3微分：

微分概念与微分公式、复合函数微分法、微分形式的不变性

§4高阶导数与高阶微分

§5描写光滑曲线的几何量：

两曲线之间的交角、弧长的微分、曲线的曲率

第五章微分学

（二）微分中值定理与Taylor公式

（12课时）

§1微分中值定理：

Rolle定理、Lagrange中值公式、Cauchy中值公式

§2L′Hopital法则——求“不定型”的极限

§3函数的极值，导函数的性质

§4判别函数的凹凸性，求曲线的拐点，曲线作图

§5Taylor公式：

带Peano余项及Lagrange余项的Taylor公式及其应用

第六章微分的逆运算——不定积分

（15课时）

§1原函数与不定积分：

原函数与不定积分的概念、部分初等函数的积分表

§2积分法法则：

不定积分运算的线性性质、换元积分法、分部积分法、递推公式

§3原函数是初等函数的几类函数积分法：

有理分式（部分分式法）、无理函数、三角（超越）函数

第二学期

第七章定（Riemann）积分

（14课时）

§1定（Riemann）积分的概念：

曲边梯形的面积、定积分的定义

§2Darboux上、下和，上、下积分

§3函数可积的充要条件，可积函数类

§4微积分基本定理，定积分的基本性质

§5变限积分，原函数存在的充分条件

§6定积分的间接算法：

换元法、分部积分法

§7定积分中值定理：

定积分的第一与第二中值定理

§8定积分在几何与力学中的初步应用：

平面区域的面积、用截面积求体积、曲线弧长、旋转体的侧面积、定积分应用的定式、定积分在力学中的初步应用

§9定积分的近似计算

第八章反常积分

（10课时）

§1函数在无穷区间上的积分：

定义与基本性质

§2无穷区间上积分收敛与发散的判别法：

非负函数积分敛散性的比较判别法、积分的绝对收敛、被积函数的主部分离法、一般函数积分敛散性的判别法

§3无界函数的积分——瑕积分：

定义与基本性质

§4瑕积分收敛与发散的判别法：

非负函数瑕积分敛散性的比较判别法、瑕积分的绝对收敛、一般函数瑕积分敛散性的判别法、带瑕点无穷区间上积分敛散性的判别法

第九章常数项级数

（10课时）

§1级数收敛的概念和必要条件

§2收敛级数的运算性质

§3正项级数的收敛与发散的判别法：

正项级数收敛的特征、比较判别法、比值与根值判别法及其推广、积分判别法

§4一般项级数收敛与发散的判别法：

级数收敛的充分必要条件、绝对收敛与条件收敛、交错级数收敛判别法、乘积项级数的判别法

§5级数项序的重新排列

§6两个级数的乘积

第十章函数项级数

（12课时）

§1函数项级数一致收敛的概念

§2一致收敛函数项级数的运算性质

§3函数项级数一致收敛的判别法：

Cauchy准则、M（最值）判别法、函数乘积项级数一致收敛的Abel和Dirichlet判别法

§4函数性质的传递——极限次序的交换：

连续性质、积分性质及微分性质的传递

第十一章幂级数、Taylor级数

（10课时）

§1幂级数收敛区域的特征——收敛半径

§2幂级数收敛半径的求法

§3幂级数的一致收敛及其和函数的性质

§4函数的幂级数展式——Taylor级数：

函数的Taylor级数的概念、判定函数的Taylor级数展式的方法、应用举例

§5多项式逼近连续函数

第十二章Fourier分析初步

（14课时）

§1三角函数系的正交性，函数的Fourier级数

§2Fourier级数的性质

§3Fourier级数的（点）收敛：

Dirichlet积分、局部化原理、Fourier级数收敛的判别法

§4其他函数的Fourier级数：

周期为2l的函数、仅定义在有界区间上的函数

§5Fourier级数的其他收敛意义：

算术平均求和、封闭系、均方收敛、一致收敛、Fourier级数的微分和积分

第三学期

第十三章多元函数的极限与连续性

（6课时）

§1平面点集论：

邻域与点列极限、开集闭集与区域、完备性与紧性定理

§2多元函数的极限：

映射与多元函数的概念、全面极限、累次极限

§3多元函数的连续性：

数值函数的连续性、向量函数的连续性、同胚变换

第十四章多元函数微分学

（10课时）

§1偏导数与全微分

§2多元复合函数的偏导数求法：

连锁法则、一阶微分形式的不变性、同胚变换的Jacobi行列式

§3高阶偏导数与高阶全微分：

多元函数的高阶偏导数、多元复合函数的高阶偏导数、多元函数的高阶全微分

§4多元隐函数的求导法：

一个方程与方程组的情形

§5曲线的切线、曲面的切平面

§6方向导数和梯度

§7Taylor公式、凸函数

§8向量函数的可微性

第十五章隐函数存在定理

（6课时）

§1隐函数存在定理：

一个方程的情形、方程组的情形

§2逆变换存在定理

第十六章一般极值与条件极值

（6课时）

§1一般极值问题：

极值存在的必要条件与充分条件

§2条件极值问题：

极值存在的必要条件——Lagrange乘子法、极值存在的充分条件

§3最小二乘法

第十七章含参变量积分

（10课时）

§1含参变量的定积分

§2含参变量的反常积分：

一致收敛的概念及其判别法、含参变量的无穷积分的性质

§3含参变量积分的计算举例

§4Euler积分——B函数与Г函数

第十八章重积分

（12课时）

§1重积分的定义：

曲顶柱体的体积、面积的定义、重积分的定义

§2重积分的存在性及其性质：

函数可积的充分必要条件、可积函数类、可积函数的性质

§3化重积分为累次积分：

化二重积分为累次积分的公式、公式的应用、化三重积分为累次积分

§4重积分的变量替换：

二重积分的变量替换公式、公式的应用、三重积分的变量替换

§5n重积分

§6反常重积分

第十九章曲线积分与曲面积分

（12课时）

§1第一型曲线积分：

定义及其存在性、计算公式

§2第二型曲线积分：

定义及其存在性、计算公式、两种曲线积分之间的联系

§3曲面面积：

由显方程及参数方程表示的曲面面积、连续曲面的面积

§4第一型曲面积分：

定义及其计算、例与应用

§5曲面的侧

§6第二型曲面积分：

定义及其计算、例与应用

第二十章各种积分之间的联系、场论

（8课时）

§1Green公式：

Green公式、例与调和函数

§2Gauss公式：

Gauss公式、例与应用

§3Stokes公式

§5曲线积分与路径无关性

§6场论初步

三．课内外教学环节及基本要求

本课程以课堂讲授为主，适当安排讨论。

学生随堂听课，参加课堂讨论，完成课后作业。

四．考核方式及成绩评定

每学期期中举行期中考试，期末举行期末考试。

均为闭卷笔试。

每次课都布置相当数量的习题作业，要求学生课下独立完成。

每周收作业，由助教批改。

完成作业的数量与质量将记录在案，作为学生平时成绩的依据。

学生每学期总评成绩构成为：

期中考试成绩占30%，期末考试成绩占60%，平时成绩占10%。

五.教材与参考资料

本课程以北京大学数学科学学院周民强、方企勤教授编著《数学分析》（上海科学技术出版社，2002年9月第一版）为教材。

主要参考为北京大学数学系沈燮昌、方企勤、廖可人、李正元与林源渠等教授编著《数学分析》及其习题集（高等教育出版社，1986年4月第一版）。

六．其他