北师大版九年级上数学第三章概率的初步认识概率讲义含答案.docx
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北师大版九年级上数学第三章概率的初步认识概率讲义含答案
概率讲义
1.掌握求概率的两种方法列举法和频率估计法；
2.掌握求概率的不同方法的应用.
1．随机事件
（1）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
2.可能性大小
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：
只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：
根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：
通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：
配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：
利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．第二种：
利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
3.概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围：
_________．（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
4.求概率的方法
（1）用_______求概率
（2）利用________概率
5.游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率=所求情况数总情况数．
参考答案：
3.（3）0≤p≤1
4.
（1）列举法
（2）频率估计
1.事件与概率
【例1】下列事件是必然发生事件的是（）
A.打开电视机，正在转播足球比赛
B．小麦的亩产量一定为1000公斤
C.在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球
D.农历十五的晚上一定能看到圆月
【解析】必然事件的定义是一定会发生的事，可选出答案。
【答案】C
练习1.下列事件中，属于必然事件的是（）
A.篮球队员投篮一次，未投中；B.种子发芽；C.抛一枚硬币，正面朝上；
D.一口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，有1个是红球
【答案】D
练习2..下列事件中是必然事件的是（）
A．小菊上学一定乘坐公共汽车
B．某种彩票中奖率为，买10000张该种票一定会中奖
C．一年中，大、小月份数刚好一样多
D．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上
【答案】D
【例2】一只小狗在如图1的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（）
A．B.C.D.
【解析】阴影部分面积占全部面积的概率即为小狗听阴影部分的概率。
【答案】B
练习3.气象台预报“本市明天降水概率是80%”．对此信息，下列说法正确的是（）
A.本市明天将有80％的地区降水B．本市明天将有80％的时间降水
C.明天肯定下雨D.明天降水的可能性比较大
【答案】D
练习4.小晃用一枚质地均匀的硬币做抛掷试验，前9次掷的结果都是正面向上，如果下一次掷得的正面向上的概率为P（A），则（）
A.P（A）＝1B．P（A）＝C.P（A）＞D.P（A）＜
【答案】B
2.利用面积求概率
【例3】如图是一个被等分成6个扇形可自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针指向红色区域的概率是多少？
【解析】圆形分成6部分，其中3部分是红色，就可以求出概率。
【答案】解：
由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有6种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向
写有红色的扇形有三种可能结果，所以指针指到红色的概率是，也就是。
练习5.小明和小亮用如下（图4）的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：
连续转
动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？
请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平。
【答案】P（小明获胜）＝，P（小亮获胜）＝．
∴小明的得分为×1＝，小亮的得分为
×1＝．∵＞，∴游戏不公平。
修改规则不惟一，如若两次转出颜色相同或配成紫色，则小明得4分，否则小亮得5分。
练习6.小莉和小慧用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字和为奇数，则小莉胜；若两次数字和为偶数，则小慧胜。
这个游戏对双方公平吗？
试用列表法或树状图加以分析。
【答案】P（小莉获胜）＝，这个游戏对双方公平。
3.列举法求概率
【例4】有两个可以自由转动的均匀转盘，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，
如图所示．规则如下：
①分别转动转盘；
②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）。
（1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率；
（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：
数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．这个游戏对双方公平吗？
请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏对双方公平。
【解析】
（1）求两个转盘的数字之积的问题，可以把所有情况罗列出来，再找相应的结论所占的概率即可。
（2）分别确定每种情况的概率，再确定是否公平。
【答案】解：
（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：
转盘B的数字
转盘A的数字
4
5
6
1
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，4）
（3，5）
（3，6）
表格中共有9种等可能的结果，则数字之积为3的倍数的有五种，其概率为；数字之积为5的倍数的有三种，其概率为。
（2）这个游戏对双方不公平。
小亮平均每次得分为（分），小芸平均每次得分为（分）。
，游戏对双方不公平。
修改得分规定为：
若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；若数字之
积为5的倍数时，小芸得5分即可。
练习7．小颖为九年级1班毕业联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：
如图是两个可以自由转动
的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，若有一个转盘的指针指向蓝色，另一个转盘的指针指向红色，则“配紫色”
成功，游戏者获胜，求游戏者获胜的概率。
【答案】解法1：
用表格说明
转盘2
转盘1
红色
蓝色
红1
（红1，红）
（红1，蓝）
红2
（红2，红）
（红2，蓝）
蓝色
（蓝，红）
（蓝，蓝）
解法2：
用树状图来说明
所以配成紫色得概率为P（配成紫色）＝，所以游戏者获胜得概率为。
练习8.如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形、乙转盘被分成2个面积相等的扇形．小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏．规定小夏转甲盘一次、小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针指在边界线上时视为无效，重转）。
（1）小夏说：
“如果两个指针所指区域内的数之和为6或7，则我获胜；否则你获胜”。
按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少?
（2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法
（例如：
树状图，列表）说明其公平性。
【答案】解：
（用列表法来解）
（1）所有可能结果为：
甲
1
1
2
2
3
3
乙
4
5
4
5
4
5
和
5
6
6
7
7
8
由表格可知，小夏获胜的可能为：
；小秋获胜的可能性为：
。
（2）同上表，易知，和的可能性中，有三个奇数、三个偶数；三个质数、三个合数。
因此，游戏规则可设计为：
如果和为奇数，小夏胜；为偶数，小秋胜。
（答案不唯一）
4.频率法估算概率
【例5】小明为了检验两枚六个面分别刻有点数1、2、3、4、5、6的正六面体骰子的质量是否都合格，在相同的条件下，同时抛两枚骰子20190次，结果发现两个朝上面的点数和是7的次数为20次．你认为这两枚骰子质量是否都合格（合格标准为：
在相同条件下抛骰子时，骰子各个面朝上的机会相等）？
并说明理由。
【解析】本题可通过分别计算出现两个朝上面点数和为7的概率和实验20190次出现两个
朝上面点数和为7的频率，然后依据大量重复实验时事件发生频率与事件发生概率的差距将很小，来确定质量是否都合格。
【答案】解：
两枚骰子质量不都合格．同时抛两枚骰子两个朝上面点数和有以下情况：
2、3、4、5、6、7；3、4、5、6、7、8；4、5、6、7、8、9；5、
6、7、8、9、10；6、7、8、9、10、11；7、8、9、10、11、12。
∵抛两枚骰子两个朝上面点数和有36种情况，出现两个朝上面点数和为7有6次情况。
∴出现两个朝上面点数和为7的概率为。
而试验20190次出现两个朝上面点数和为7的频率为。
因为多数次试验的频率应接近概率，而0.001和0.167相差很大，所以两枚骰子质量不都合格。
练习9．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.
表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
⑴请估计：
当很大时，摸到白球的频率将会接近；
⑵假如你去摸一次，你摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是；
⑶试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?
⑷解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问
题是:
在一个不透明的口袋里装有若干个白球,在不允许将球倒出来数的情况下,如
何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）？
请你应用统计与概率的思想和方法
解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法。
【解析】
（1）和
（2）可用实验获得频率的稳定值去估计概率；（3）可用白球（或黑球）
的概率去估计在总体中所占比值；（4）是统计思想和概率知识的综合应用。
本题考查用实验获得频率去估计概率方法和用样本估计总体的统计思想。
【答案】
（1）观察表格得摸到白球的频率将会接近0.6；
（2）摸到白球的概率是0.6；摸到黑球的概率是1-0.6=0.4；
（3）∵；∴黑球8个，白球12个；
（4）①先从不透明的口袋里摸出a个白球，都涂上颜色（如黑色），然后放回口袋里，
搅拌均匀；②将搅匀后的球从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断大量重复n，记录摸出黑球频数为b；③根据用频数估计概率的方法可得出白球数为。
练习10．要在一只不透明的袋中放
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