计算坐标与坐标方位角地基本公式.docx

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计算坐标与坐标方位角地基本公式

实用标准文案

二计算坐标与坐标方位角的基本公式

控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐

标，控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的。

下面

介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式，这些公式是矿山

测量工中最基本最常用的公式。

一、坐标正算和坐标反算公式

1．坐标正算

根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边

长计算待定点的坐标，这种计算在测量中称为坐标正算。

如图 5—5 所示，已知 A 点的坐标为 xA 、 y A ，A 到 B 的

边长和坐标方位角分别为 S AB 和α AB ，则待定点 B 的坐标为

xB = xA + ∆xAB

yB = y A + ∆y AB

｝

（5—1）

式中

∆xAB

、 ∆y AB ——坐标增量。

由图 5—5 可知

∆xAB = S AB cosα AB

∆y AB = S AB sin α AB

｝

（5—2）

式中

S AB ——水平边长；

α AB ——坐标方位角。

将式（5-2）代入式（5-1），则有

xB = xA + S AB cosα AB

yB = y A + S AB sin α AB

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｝

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（5—3）

当 A 点的坐标 xA 、 y A 和边长 S AB 及其坐标方位角α AB 为已知

时，就可以用上述公式计算出待定点 B 的坐标。

式（5—

2）是计算坐标增量的基本公式，式（5—3）是计算坐标的

基本公式，称为坐标正算公式。

从图 5—5 可以看出 ∆xAB 是边长 S AB 在 x 轴上的投影长度，

∆y AB 是边长 S AB 在

y 轴上的投影长度，边长是有向线段，是在

实地由 A 量到 B 得到的正值。

而公式中的坐标方位角可以

从 0°到 360°变化，根据三角函数定义，坐标方位角的正

弦值和余弦值就有正负两种

情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图 5—

6 所示。

从式（5—2）知，由于三角函数值的正负决定了坐

标增量的正负，其符号归纳成表 5—3。

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图 5—5 坐标计算图

5—6坐标增量符号

表 5—3坐标增量符号表

坐标方

所在象限

坐标增量的正

位角

负号

（°）

⊿x      ⊿y

0～90

90～180

180～27

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

＋

－

－

＋

＋

－

0

Ⅳ

＋

－

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270～36

0

例 1已知 A 点坐标 xA =100.00m， y A =300.10m；边长

s AB =100m，方位角α AB =330°。

求

B 点的坐标 xB 、 yB 。

解：

根据公式（5—3）有

xB = xA + s AB cosα AB = 100 + 100 ⋅ cos 330︒ = 186.1m

yB = y A + s AB sin α AB = 300.1 + 100 ⋅ sin 330︒ = 249.6m

2、坐标反算

由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角

和边长，这种计算称为坐标反算。

由式（5—1）有

∆xAB = xB - xA

∆y AB = yB - y A

（5—4）

该式说明坐标增量就是两点的坐标之差。

在图 5—5 中

｝

∆xAB

表示由 A 点到达 B 点的纵坐标之差称纵坐标增量；

∆y AB 表示由

A 点到 B 点的横坐标之差称横坐标增量。

坐标增

量也有正负两种情况，它们决定于起点和终点坐标值的大

小。

在图 5—5 中如果 A 点到 B 点的坐标已知，需要计算 AB

边的坐标方位角α AB 和边长时 S AB ，

则有

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tanα AB =

yB - y A

xB - xA

=

∆y AB

∆xAB

S AB =

∆xAB

cosα AB

=

∆yAB

sinα AB

｝

（5—5）

或

S AB =

（∆xAB ）2 + （∆yAB ）2

公式（5—5）称为坐标反算公式。

应当指出，使用公式

（5—5）中第一式计算的角是象限角 R，应根据⊿x、⊿y

的正负号，确定所在象限，再将象限角换算为方位角。

因

此公式（5—5）中的第一式还可表示为：

RAB = arctan

yB - y A

xB - x A

= arctan

∆y AB

∆x AB

例 2．已知 xA =300m,

y A =500m, xB =500m, yB =300m,求

A、B

二点连线的坐标方位角α AB 和边长 S AB 。

解：

由公式（5-5）有

RAB = arctan

yB - y A

xB - xA

= arctan

300 - 500

500 - 300

= arctan（-1）

因为 ∆xAB 为正 、 ∆y AB 为负，直线 AB 位于第四象限。

所以

RAB = NW 45︒

根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得：

α AB = 360︒ - 45︒ = 315︒

AB 边长为：

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S AB =（xB - xA ）2 + （ yB - y A ）2 =（500 - 300）2 + （300 - 500）2 = 282.8m

坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的

公式，应用十分广泛。

在测量计算时，由于公式中各元素的数字较多，测量规

范对数字取位及计算成果作了规定。

例如图根控制点要求

边长计算取至毫米；角度计算取至秒；坐标计算取至厘米。

二、坐标方位角的推算公式

由公式（5-2）知，计算坐标增量需要边长和该边的坐标

方位角两个要素，其中边长是

在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的，坐标方

位角则是根据已知坐标方位角和水平角推算出来的。

下面

介绍坐标方位角的推算公式。

如图 5-7 所示，箭头所指的方向为“前进”方向，位于

前进方向左侧的观测角称为左观测角，简称左角；位于前

进方向右侧的角称为右观测角，简称右角。

1.观测左角时的坐标方位角计算公式

在图 5—7 与 5—8 中，已知 AB 边的方位角为α AB ，

β左 为左观测角，需要求得

BC 边的方位角α BC 。

 β左 是外业观

测得到的水平角，从图上可以看出已知方位角α AB 与左观测

角 β左 之和有两种情况：

即大于 180°或小于 180°。

图 5—

7 中为大于 180°的情况，图 5—8 中为小于 180°的情况。

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图 5—7 坐标方位角推算图 5—8 坐标方

位角推算

从图 5—7 可知，BC 边的坐标方位角为

α BC = α AB + β左 -180o

从图 5—8 可知，BC 边的坐标方位角为

α BC = α AB + β左 + 180o

综上所述两式则有

α前 = α后 + β左 ± 180o

（5—6）

式（5-6）是按照边的前进方向，根据后一条边的已知

方位角计算前一条边方位角的基本公式。

公式说明：

导线

前一条边的坐标方位角等于后一条边的坐标方位角加上左

观测角，其和大于 180°时应减去 180°，小于 180°时应

加上 180°。

2.观测右角时的坐标方位角计算公式

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从图 5-7或图 5-8 可以看出

β左 = 360o - β右

将该式代入式（5- 6）,得

α前 = （α后 - β右 ± 180o） + 360o

当方位角大于 360°时，应减去 360°，方向不变。

所以上

式变为

α前 = α后 - β右 ± 180o

（5—7）

上式说明：

导线中，前一条边的坐标方位角等于后一条

边的坐标方位角减去右观测角，

其差大于 180°时应减去 180°，小于 180°时应加上

180°。

使用式（5-6）与（5-7）时，还应注意相应两条边的前进

方向必须一致，计算结果大于 360°时，则应减去 360°，

方向不变。

例 3图 5-9 为一条支导线，已知 A 点的坐标方位角α BA

=101°28´,导线 A 点的左观测角 β左

=108°32´，M 点的右观

测角

β右

=75°。

试推算坐标方位角

α AM 、α MN 。

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解：

由式（5-6）得

则有

由式（5-7）得

则有

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图 5—9  支导线

α AM = α BA + β左 ± 180o

α AM = 101o28'+108o32'-180o = 30o

αMN = α AM - β右 ± 180o

α MN = 30o - 75o +180o = 135o

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