高考函数知识点总结.docx
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高考函数知识点总结
高考函数知识点总结
函数
（一）函数
1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.
2．理解函数的三种表示法：
解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。
3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。
4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。
5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.
6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.
（二）指数函数
1．了解指数函数模型的实际背景。
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。
4．知道指数函数是一类重要的函数模型。
（三）对数函数
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.
3．知道对数函数是一类重要的函数模型.
4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）。
（四）幂函数
1．了解幂函数的概念。
2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。
（五）函数与方程
1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.
（六）函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。
知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
函数概念
（一）知识梳理
1．映射的概念
设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f:
A®B，f表示对应法则注意：
⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函数的概念
（1）函数的定义：
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y=f（x）,xÎA
（2）函数的定义域、值域
在函数y=f（x）,xÎA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y=f（x）的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f（x）xÎA称为函数y=f（x）的值域。
（3）函数的三要素：
定义域、值域和对应法则
3．函数的三种表示法：
图象法、列表法、解析法
（1）．图象法：
就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
（2）．列表法：
就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）．解析法：
就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
{}
（二）考点分析
考点1：
映射的概念
例1．
（1）A=R，B={y|y>0}，f:
x®y=|x|；
*2
（2）A={x|x³2,xÎN}，B={y|y³0,yÎN}，f:
x®y=x-2x+2；
（3）A={x|x>0}，B={y|yÎ
R}，f:
x®y=
上述三个对应是A到B的映射．
例2．若A={1,2,3,4}，B={a,b,c}，a,b,cÎR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个
例3．设集合M={-1,0,1}，N={-2,-1,0,1,2}，如果从M到N的映射f满足条件：
对M中的每个元素x与
它在N中的象f（x）的和都为奇数，则映射f的个数是（）
（A）8个（B）12个（C）16个（D）18个
答案：
1.
（2）；2．81,64,81；3.D
考点2：
判断两函数是否为同一个函数
例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=
（2）f（x）=x2，g（x）=x3；x
x，g（x）=í
2n+1ì1î-1x³0,x<0;2nx（3）f（x）=，g（x）=（2nx）2n-1（n∈N）；*
（4）f（x）=x
2x+1，g（x）=x2+x；2（5）f（x）=x-2x-1，g（t）=t-2t-1
[答案]
（1）、
（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数
考点3：
求函数解析式
方法总结：
（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数f[g（x）]的解析式，则可用换元法或配凑法；
（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f（x）
题型1：
由复合函数的解析式求原来函数的解析式
例1．已知二次函数f（x）满足f（2x+1）=4x-6x+5，求f（x）（三种方法）2
1+x1-x2
例2．（09湖北改编）已知f（，则f（x）的解析式可取为）=1-x1+x2
题型2：
求抽象函数解析式
例1．已知函数f（x）满足f（x）+2f（）=3x，求f（x）
考点4：
求函数的定义域
题型1：
求有解析式的函数的定义域
（1）方法总结：
如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：
①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：
研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
例1.（08年湖北）函数f（x）=1x1ln（x2-3x+2+-x2-3x+4）的定义域为（）x
A.（-¥,-4）U[2,+¥）;B.（-4,0）U（0,1）；C.[,-4,0）U（0,1];D.[,-4,0）U（0,1）
答案：
D
题型2：
求复合函数和抽象函数的定义域
例1．（2007·湖北）设f（x）=lg2+xxöæ2ö，则fæç÷+fç÷的定义域为（）2-xè2øèxø
A.（-4,0）U（0,4）；B.（-4,-1）U（1,4）；C.（-2,-1）U（1,2）；D.（-4,-2）U（2,4）
答案：
B.
例2．已知函数y=f（x）的定义域为[a，b]，求y=f（x+2）的定义域
例3．已知y=f（x+2）的定义域是[a，b]，求函数y=f（x）的定义域
例4．已知y=f（2x-1）的定义域是（-2，0），求y=f（2x+1）的定义域（-3<x<-1）
考点5：
求函数的值域
1．求值域的几种常用方法
（1）配方法：
对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，
如求函数y=-sinx-2cosx+4，可变为y=-sinx-2cosx+4=（cosx-1）+2解决
（2）基本函数法：
一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数y=log1（-x+2x+3）就是利用函数y=log1u和u=-x2+2x+3的值域来求。
222222
（3）判别式法：
通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数y=3-3+2x+1的值域[,]22x2-2x+2
（4）分离常数法：
常用来求“分式型”函数的值域。
如求函数y=
（5）利用基本不等式求值域：
如求函数y=2cosx-3的值域，因为cosx+13x的值域2x+4
42（6）利用函数的单调性求求值域：
如求函数y=2x-x+2（xÎ[-1,2]）的值域
（7）图象法：
如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域
（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f（x）=2x+4x-40x，xÎ[-3,3]的最小值。
（－48）32
m，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了x
4三种模型：
（1）如y=x+，求
（1）单调区间
（2）x的范围[3,5]，求值域（3）xÎ[-1,0）È（0,4],求值域x（9）对勾函数法像y=x+
（2）如y=x+4求
（1）[3,7]上的值域
（2）单调递增区间（x£0或x³4）x+4，
1，
（1）求[-1,1]上的值域
（2）求单调递增区间x-3（3）如y=2x+
函数的单调性
（一）知识梳理
1、函数的单调性定义：
设函数y=f（x）的定义域为A，区间IÍA，如果对于区间I象和单调性在解题中的运用：
增区间为（-¥,
（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意y=ax+
（3）复合函数法：
复合函数单调性的特点是同增异减
（4）若f（x）与g（x）在定义域内都是增函数（减函数），那么f（x）+g（x）在其公共定义域内是增函数（减函数）。
3、单调性的说明：
（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；
（2）函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：
一是任意性；二是大小，即x11分别在（-¥,0）和（0,+¥）内x
1都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即（-¥,0）U（0,+¥）内是单调递减的，只能说函数y=的单调递x（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y=
减区间为（-¥,0）和（0,+¥）。
4、函数的最大（小）值
设函数y=f（x）的定义域为A，如果存在定值x0ÎA，使得对于任意xÎA，有f（x）£f（x0）恒成立，那么称
f（x0）为y=f（x）的最大值；如果存在定值x0ÎA，使得对于任意xÎA，有f（x）³f（x0）恒成立，那么称f（x0）为y=f（x）的最小值。
（二）考点分析
考点1函数的单调性
题型1：
讨论函数的单调性
例1．
（1）求函数y=log0.7（x-3x+2）的单调区间；
（2）已知f（x）=8+2x-x,若g（x）=f（2-x）试确定g（x）的单调区间和单调性．解：
（1）单调增区间为：
（2,+¥）,单调减区间为（-¥,1），
（2）g（x）=8+2（2-x）-（2-x）=-x+2x+8，g¢（x）=-4x+4x，
令g¢（x）>0，得x<-1或01或-1∴单调增区间为（-¥,-1）,（0,1）；单调减区间为（1,+¥）,（-1,0）．
例2.判断函数f（x）=x-1在定义域上的单调性.2222222423
解：
函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},
则f（x）=x-1,2
可分解成两个简单函数.f（x）=u（x）,u（x）=x-1的形式.当x≥1时，u（x）为增函数，u（x）为增函数.
∴f（x）=x-1在［1，+∞）上为增函数.当x≤-1时，u（x）为减函数，（x）为减函数，22
∴f（x）=x-1在（-∞,-1］上为减函数.2
题型2：
研究抽象函数的单调性
例1．已知函数f（x）的定义域是x¹0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f（x1×x2）=f（x1）+f（x2），且当x>1时f（x）>0,f
（2）=1，
（1）求证：
f（x）是偶函数；
（2）f（x）在（0,+¥）上是增函数；（3）解不等式f（2x-1）<2．解：
（1）令x1=x2=1，得f
（1）=2f
（1），∴f
（1）=0，令x1=x2=-1，得∴f（-1）=0，∴f（-x）=f（-1×x）=f（-1）+f（x）=f（x），∴f（x）是偶函数．
（2）设x2>x1>0，则
2
f（x2）-f（x1）=f（x1×x2xx）-f（x1）=f（x1）+f
（2）-f（x1）=f
（2）x1x1x1
∵x2>x1>0，∴x2x>1，∴f
（2）>0，即f（x2）-f（x1）>0，∴f（x2）>f（x1）x1x1
∴f（x）在（0,+¥）上是增函数．
（3）Qf
（2）=1，∴f（4）=f
（2）+f
（2）=2，
∵f（x）是偶函数∴不等式f（2x-1）<2可化为f（|2x-1|）222又∵函数在（0,+¥）上是增函数，∴|2x-1|<
4，解得：
即不等式的解集为（-．22
题型3：
函数的单调性的应用
例1．若函数f（x）=x+2（a-1）x+2在区间（－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是______（答：
2
a£-3））；
例2．已知函数f（x）=ax+11在区间（-2,+¥）上为增函数，则实数a的取值范围_____（答：
（,+¥））；2x+2
考点2函数的值域（最值）的求法
求最值的方法：
（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。
（2）利用函数的单调性求最值：
先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。
（3）基本不等式法：
当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。
（4）导数法：
当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：
画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。
题型1：
求分式函数的最值
x2+2x+a1例1．（2007上海）已知函数f（x）=,xÎ[1,+¥）.当a=时，求函数f（x）的最小值。
x2
[解析]当a=111时，f（x）=x++2,f’（x）=1-222x2x
Qx³1，\f¢（x）>0。
\f（x）在区间[1,+¥）上为增函数。
\f（x）在区间[1,+¥）上的最小值为f
（1）=7。
2
题型2：
利用函数的最值求参数的取值范围
x2+2x+a例2．（2008广东）已知函数f（x）=,xÎ[1,+¥）.若对任意xÎ[1,+¥）,f（x）>0恒成立,试求实数a的x
取值范围。
x2+2x+a[解析]Qf（x）=>0在区间[1,+¥）上恒成立；\x2+2x+a>0在区间[1,+¥）上恒成立；x
\x2+2x>-a在区间[1,+¥）上恒成立；Q函数y=x2+2x在区间[1,+¥）上的最小值为3，\-a<3即a>-3
函数的奇偶性
（一）知识梳理
1、函数的奇偶性的定义：
①对于函数f（x）的定义域判断函数的奇偶性及其应用
题型1：
判断有解析式的函数的奇偶性
例1．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；
（2）f（x）=（x－1）·1+x；1-x
ìx（1-x）-x2
（3）f（x）=；（4）f（x）=í|x+2|-2îx（1+x）
题型2：
证明抽象函数的奇偶性（x<0）,（x>0）.
例1.（09年山东）定义在区间（-1,1）上的函数f（x）满足：
对任意的x,yÎ（-1,1），都有f（x）+f（y）=f（
求证f（x）为奇函数；
[解析]令x=y=0，则f（0）+f（0）=f（x+y）.1+xy
令x∈（－1,1）∴－x∈（－1,1）∴f（x）+f（－x）=f（
∴f（－x）=－f（x）∴f（x）在（－1，1）上为奇函数0+0）=f（0）∴f（0）=01+0x-x1-x2）=f（0）=0
例2．
（1）函数f（x），xÎR，若对于任意实数a,b，都有f（a+b）=f（a）+f（b），求证：
f（x）为奇函数。
（2）设函数f（x）定义在（-l,l）上，证明f（x）+f（-x）是偶函数，f（x）-f（-x）是奇函数。
考点2函数奇偶性、单调性的综合应用
例1．已知奇函数f（x）是定义在（-2,2）上的减函数，若f（m-1）+f（2m-1）>0，求实数m的取值范围。
[解析]Qf（x）是定义在（-2,2）上奇函数\对任意xÎ（-2,2）有f（-x）=-f（x）
由条件f（m-1）+f（2m-1）>0得f（m-1）>-f（2m-1）=f（1-2m）
12Qf（x）是定义在（-2,2）上减函数\-2>1-2m>m-1>2，解得-12\实数m的取值范围是-例2．设函数f（x）对于任意的x,yÎR，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x>0时f（x）<0,f
（1）=-2
（1）求证f（x）是奇函数；
（2）试问当-3£x£3时，f（x）是否有最值？
如果有，求出最值；如果没有，说出理由。
例3．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，并在区间（－∞,0）内单调递增，f（2a+a+1）<f（3a－2a+1）.求a的取22
1a2-3a+1）的单调递减区间.2
[解析]设0<x1<x2,则－x2<－x1<0，∵f（x）在区间（－∞,0）内单调递增，
∴f（－x2）<f（－x1）,∵f（x）为偶函数，∴f（－x2）=f（x2）,f（－x1）=f（x1）,
∴f（x2）<f（x1）.∴f（x）在（0，+∞）内单调递减.
1712又2a2+a+1=2（a+）2+>0,3a2-2a+1=3（a-）2+>0.4833
2222由f（2a+a+1）<f（3a－2a+1）得：
2a+a+1>3a－2a+1.解之，得0<a<3.值范围，并在该范围内求函数y=（
又a－3a+1=（a－
∴函数y=（2325）－.2431a2-3a+1）的单调减区间是[,+¥）22
323结合0<a<3,得函数y=（）a-3a+1的单调递减区间为［，3）.22
函数的周期性
（一）知识梳理
1．函数的周期性的定义：
对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得定义域则T=|b-a|；②函数f（x）满足-f（x）=f（a+x），则f（x）是周期为2a的周期函数；③若f（x+a）=11（a¹0）恒成立，则T=2a；④若f（x+a）=-（a¹0）恒成立，则T=2a.f（x）f（x）
（二）考点分析
考点2函数的周期性
例1．设函数f（x）是定义域R上的奇函数，对任意实数x有f（+x）=-f（-x）成立
（1）证明：
y=f（x）是周期函数，并指出周期；
（2）若f
（1）=2，求f
（2）+f（3）的值
考点2函数奇偶性、周期性的综合应用
例1.（09年江苏题改编）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）×f（x）=1对于xÎR恒成立，且f（x）>0，
则f（119）=________。
3232
[解析]由f（x+2）×f（x）=1得到f（x+2）=1，从而得f（x+4）=f（x），可见f（x）是以4为周期的函数，f（x）
从而f（119）=f（4´29+3）=f（3），又由已知等式得f（3）=1f
（1）
又由f（x）是R上的偶函数得f
（1）=f（-1）又在已知等式中令x=-1得f
（1）×f（-1）=1，即f
（1）=1所以f（119）=1
例2．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）
（1）求证：
f（x）是周期函数；
（2）若f（x）为奇函数，且当0£x£1时，f（x）=11x，求使f（x）=-x在[0,2009]上的所有x的个数。
22
2.5二次函数
（一）知识梳理
1．二次函数的解析式的三种形式：
（1）一般式：
f（x）=ax2+bx+c（a≠0）。
（2）顶点式（配方式）：
f（x）=a（x-h）2+k其中（h,k）是抛物线的顶点坐标。
（3）两点式（因式分解）：
f（x）=a（x-x1）（x-x2）,其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。
b4ac-b2-b,）2．二次函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，对称轴x=，顶点坐标（-2a4a2a2
（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在（-¥,-bb-b时，]上单调递减，在[-,+¥）上单调递增，x=2a2a2af（x）min4ac-b2=；4a
（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在（-¥,-bb-b时，]上单调递增，在[-,+¥）上单调递减，x=2a2a2af（x）max4ac-b2=。
4a
23．二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）当D=b-4ac>0时图象与x轴有两个交点M1（x1,0）,M2（x2,0）
M1M2=x1-x2=（x1+x2）2-4x1x2=D。
a
4．根分布问题:
一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：
令f（x）=ax2+bx+c（a>0），
ìD³0ìD³0ïï
（1）x1<α,x2<α,则í-b/（2a）（2）x1>α,x2>α,则í-b/（2a）>a
ïaf（a）>0ïaf（a）>0îî
ìD³0ìD³0ïf（a）>0ïï（3）α<x1<b,α<x2<b,则í（4）x1<α,x2>b（α<b）,则íf（a）<0
ïf（b）<0ïf（b）>0îïa<-b/（2a）（5）若f（x）=0在区间（α,b）∴对称轴x=2+（-1）1=又最大值是822
∴可设f（x）=a（x-）+8（a<0），由f
（2）=-1可得a=-4\f（x）=-4（x-）+8=-4x+4x+7法三：
由已知f（x）+1=0的两根为x1=2,x2=-1，故可设f（x）+1=a（x-2）（x+1）即f（x）=ax-ax-2a-1,又21221222
ymax4a（-2a-1）-a2=8即=8得a=-4或a=0（舍）∴f（x）=-4x2+4x+74a
例2
．已知二次函数的对称轴为x=x轴上的弦长为4，且过点（0,-1），求函数的解析式．
解：
∵二次函数的对称轴为x=
f（x）=a（x++b，又∵f（x）截x轴上的弦长为4，2
∴f（x
）过点（2,0），f（x）又过点（0,-1），
1ìì4a+b=0ïa=∴í，í2，
2a+b=-1îïîb=-2
∴f（x）=1（x2-22
考点2．二次函数在区间上的最值问题
2例1．已知函数f（x）=-x+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。
思维分析：
一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论
22解：
f（x）=-（x-a）+a-a+1（0≤x≤1）,对称轴x=a
1a<0时，f
（x）max=f（0）=1-a=2\a=-10
20≤a≤1时f（x）max=f（a）=a-a+1=2得a=
3a>1时，f（x）max=f
（1）=a=2\a=20021±5（舍）2
综上所述：
a=-1或a=2
2例2．已知y=f（x）=x-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。
答案：
t>1时,ymax=t+2,ymin=t-2t+322
110t£0时,ymax=t2-2t+3,ymin=t2+2
例3．已知函数y=-sinx+asinx-2a1+的最大值为2，求a的值．42
分析：
令t=sinx，问题就转二次函数的区间最值问题．
解：
令t=sinx，tÎ[-1,1]，∴y=-（t-）+a
2212a（a-a+2），对称轴为t=，24
a1．£1，即-2£a£2时，ymax=（a2-a+2）=2，得a=-2或a=3（舍去）24
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