高考函数知识点总结.docx
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高考函数知识点总结
高考函数知识点总结
函数
(一)函数
1.了解构成函数的要素,了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.
2.理解函数的三种表示法:
解析法、图象法和列表法,能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。
3.了解分段函数,能用分段函数来解决一些简单的数学问题。
4.理解函数的单调性,会讨论和证明一些简单的函数的单调性;理解函数奇偶性的含义,会判断简单的函数奇偶性。
5.理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求出一些简单的函数的最大(小)值.
6.会运用函数图像理解和研究函数的性质.
(二)指数函数
1.了解指数函数模型的实际背景。
2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。
3.理解指数函数的概念,会求与指数函数性质有关的问题。
4.知道指数函数是一类重要的函数模型。
(三)对数函数
1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用。
2.理解对数函数的概念;会求与对数函数性质有关的问题.
3.知道对数函数是一类重要的函数模型.
4.了解指数函数与对数函数互为反函数()。
(四)幂函数
1.了解幂函数的概念。
2.结合函数的图像,了解它们的变化情况。
(五)函数与方程
1.了解函数零点的概念,结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系。
2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.
(六)函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。
知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。
3.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
函数概念
(一)知识梳理
1.映射的概念
设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任意元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射,通常记为f:
A®B,f表示对应法则注意:
⑴A中元素必须都有象且唯一;⑵B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。
2.函数的概念
(1)函数的定义:
设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常记为y=f(x),xÎA
(2)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),xÎA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做y=f(x)的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)xÎA称为函数y=f(x)的值域。
(3)函数的三要素:
定义域、值域和对应法则
3.函数的三种表示法:
图象法、列表法、解析法
(1).图象法:
就是用函数图象表示两个变量之间的关系;
(2).列表法:
就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
(3).解析法:
就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。
4.分段函数
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
{}
(二)考点分析
考点1:
映射的概念
例1.
(1)A=R,B={y|y>0},f:
x®y=|x|;
*2
(2)A={x|x³2,xÎN},B={y|y³0,yÎN},f:
x®y=x-2x+2;
(3)A={x|x>0},B={y|yÎ
R},f:
x®y=
上述三个对应是A到B的映射.
例2.若A={1,2,3,4},B={a,b,c},a,b,cÎR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个,A到B的函数有个
例3.设集合M={-1,0,1},N={-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射f满足条件:
对M中的每个元素x与
它在N中的象f(x)的和都为奇数,则映射f的个数是()
(A)8个(B)12个(C)16个(D)18个
答案:
1.
(2);2.81,64,81;3.D
考点2:
判断两函数是否为同一个函数
例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1)f(x)=
(2)f(x)=x2,g(x)=x3;x
x,g(x)=í
2n+1ì1î-1x³0,x<0;2nx(3)f(x)=,g(x)=(2nx)2n-1(n∈N);*
(4)f(x)=x
2x+1,g(x)=x2+x;2(5)f(x)=x-2x-1,g(t)=t-2t-1
[答案]
(1)、
(2)、(4)不是;(3)、(5)是同一函数
考点3:
求函数解析式
方法总结:
(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则用待定系数法;
(2)若已知复合函数f[g(x)]的解析式,则可用换元法或配凑法;
(3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
题型1:
由复合函数的解析式求原来函数的解析式
例1.已知二次函数f(x)满足f(2x+1)=4x-6x+5,求f(x)(三种方法)2
1+x1-x2
例2.(09湖北改编)已知f(,则f(x)的解析式可取为)=1-x1+x2
题型2:
求抽象函数解析式
例1.已知函数f(x)满足f(x)+2f()=3x,求f(x)
考点4:
求函数的定义域
题型1:
求有解析式的函数的定义域
(1)方法总结:
如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围,实际操作时要注意:
①分母不能为0;②对数的真数必须为正;③偶次根式中被开方数应为非负数;④零指数幂中,底数不等于0;⑤负分数指数幂中,底数应大于0;⑥若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集;⑦如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:
研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写。
例1.(08年湖北)函数f(x)=1x1ln(x2-3x+2+-x2-3x+4)的定义域为()x
A.(-¥,-4)U[2,+¥);B.(-4,0)U(0,1);C.[,-4,0)U(0,1];D.[,-4,0)U(0,1)
答案:
D
题型2:
求复合函数和抽象函数的定义域
例1.(2007·湖北)设f(x)=lg2+xxöæ2ö,则fæç÷+fç÷的定义域为()2-xè2øèxø
A.(-4,0)U(0,4);B.(-4,-1)U(1,4);C.(-2,-1)U(1,2);D.(-4,-2)U(2,4)
答案:
B.
例2.已知函数y=f(x)的定义域为[a,b],求y=f(x+2)的定义域
例3.已知y=f(x+2)的定义域是[a,b],求函数y=f(x)的定义域
例4.已知y=f(2x-1)的定义域是(-2,0),求y=f(2x+1)的定义域(-3<x<-1)
考点5:
求函数的值域
1.求值域的几种常用方法
(1)配方法:
对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法,
如求函数y=-sinx-2cosx+4,可变为y=-sinx-2cosx+4=(cosx-1)+2解决
(2)基本函数法:
一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,如函数y=log1(-x+2x+3)就是利用函数y=log1u和u=-x2+2x+3的值域来求。
222222
(3)判别式法:
通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数y=3-3+2x+1的值域[,]22x2-2x+2
(4)分离常数法:
常用来求“分式型”函数的值域。
如求函数y=
(5)利用基本不等式求值域:
如求函数y=2cosx-3的值域,因为cosx+13x的值域2x+4
42(6)利用函数的单调性求求值域:
如求函数y=2x-x+2(xÎ[-1,2])的值域
(7)图象法:
如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域
(8)导数法――一般适用于高次多项式函数,如求函数f(x)=2x+4x-40x,xÎ[-3,3]的最小值。
(-48)32
m,(m>0)的函数,m<0就是单调函数了x
4三种模型:
(1)如y=x+,求
(1)单调区间
(2)x的范围[3,5],求值域(3)xÎ[-1,0)È(0,4],求值域x(9)对勾函数法像y=x+
(2)如y=x+4求
(1)[3,7]上的值域
(2)单调递增区间(x£0或x³4)x+4,
1,
(1)求[-1,1]上的值域
(2)求单调递增区间x-3(3)如y=2x+
函数的单调性
(一)知识梳理
1、函数的单调性定义:
设函数y=f(x)的定义域为A,区间IÍA,如果对于区间I象和单调性在解题中的运用:
增区间为(-¥,
(2)在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意y=ax+
(3)复合函数法:
复合函数单调性的特点是同增异减
(4)若f(x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数),那么f(x)+g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)。
3、单调性的说明:
(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域;
(2)函数单调性定义中的x1,x2有三个特征:
一是任意性;二是大小,即x11分别在(-¥,0)和(0,+¥)内x
1都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即(-¥,0)U(0,+¥)内是单调递减的,只能说函数y=的单调递x(3)函数的单调性是对某个区间而言的,所以受到区间的限制,如函数y=
减区间为(-¥,0)和(0,+¥)。
4、函数的最大(小)值
设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在定值x0ÎA,使得对于任意xÎA,有f(x)£f(x0)恒成立,那么称
f(x0)为y=f(x)的最大值;如果存在定值x0ÎA,使得对于任意xÎA,有f(x)³f(x0)恒成立,那么称f(x0)为y=f(x)的最小值。
(二)考点分析
考点1函数的单调性
题型1:
讨论函数的单调性
例1.
(1)求函数y=log0.7(x-3x+2)的单调区间;
(2)已知f(x)=8+2x-x,若g(x)=f(2-x)试确定g(x)的单调区间和单调性.解:
(1)单调增区间为:
(2,+¥),单调减区间为(-¥,1),
(2)g(x)=8+2(2-x)-(2-x)=-x+2x+8,g¢(x)=-4x+4x,
令g¢(x)>0,得x<-1或01或-1∴单调增区间为(-¥,-1),(0,1);单调减区间为(1,+¥),(-1,0).
例2.判断函数f(x)=x-1在定义域上的单调性.2222222423
解:
函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},
则f(x)=x-1,2
可分解成两个简单函数.f(x)=u(x),u(x)=x-1的形式.当x≥1时,u(x)为增函数,u(x)为增函数.
∴f(x)=x-1在[1,+∞)上为增函数.当x≤-1时,u(x)为减函数,(x)为减函数,22
∴f(x)=x-1在(-∞,-1]上为减函数.2
题型2:
研究抽象函数的单调性
例1.已知函数f(x)的定义域是x¹0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1×x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f
(2)=1,
(1)求证:
f(x)是偶函数;
(2)f(x)在(0,+¥)上是增函数;(3)解不等式f(2x-1)<2.解:
(1)令x1=x2=1,得f
(1)=2f
(1),∴f
(1)=0,令x1=x2=-1,得∴f(-1)=0,∴f(-x)=f(-1×x)=f(-1)+f(x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
(2)设x2>x1>0,则
2
f(x2)-f(x1)=f(x1×x2xx)-f(x1)=f(x1)+f
(2)-f(x1)=f
(2)x1x1x1
∵x2>x1>0,∴x2x>1,∴f
(2)>0,即f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1)x1x1
∴f(x)在(0,+¥)上是增函数.
(3)Qf
(2)=1,∴f(4)=f
(2)+f
(2)=2,
∵f(x)是偶函数∴不等式f(2x-1)<2可化为f(|2x-1|)222又∵函数在(0,+¥)上是增函数,∴|2x-1|<
4,解得:
即不等式的解集为(-.22
题型3:
函数的单调性的应用
例1.若函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是______(答:
2
a£-3));
例2.已知函数f(x)=ax+11在区间(-2,+¥)上为增函数,则实数a的取值范围_____(答:
(,+¥));2x+2
考点2函数的值域(最值)的求法
求最值的方法:
(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法。
(2)利用函数的单调性求最值:
先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调性求最值。
(3)基本不等式法:
当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得)。
(4)导数法:
当函数比较复杂时,一般采用此法(5)数形结合法:
画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围。
题型1:
求分式函数的最值
x2+2x+a1例1.(2007上海)已知函数f(x)=,xÎ[1,+¥).当a=时,求函数f(x)的最小值。
x2
[解析]当a=111时,f(x)=x++2,f’(x)=1-222x2x
Qx³1,\f¢(x)>0。
\f(x)在区间[1,+¥)上为增函数。
\f(x)在区间[1,+¥)上的最小值为f
(1)=7。
2
题型2:
利用函数的最值求参数的取值范围
x2+2x+a例2.(2008广东)已知函数f(x)=,xÎ[1,+¥).若对任意xÎ[1,+¥),f(x)>0恒成立,试求实数a的x
取值范围。
x2+2x+a[解析]Qf(x)=>0在区间[1,+¥)上恒成立;\x2+2x+a>0在区间[1,+¥)上恒成立;x
\x2+2x>-a在区间[1,+¥)上恒成立;Q函数y=x2+2x在区间[1,+¥)上的最小值为3,\-a<3即a>-3
函数的奇偶性
(一)知识梳理
1、函数的奇偶性的定义:
①对于函数f(x)的定义域判断函数的奇偶性及其应用
题型1:
判断有解析式的函数的奇偶性
例1.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;
(2)f(x)=(x-1)·1+x;1-x
ìx(1-x)-x2
(3)f(x)=;(4)f(x)=í|x+2|-2îx(1+x)
题型2:
证明抽象函数的奇偶性(x<0),(x>0).
例1.(09年山东)定义在区间(-1,1)上的函数f(x)满足:
对任意的x,yÎ(-1,1),都有f(x)+f(y)=f(
求证f(x)为奇函数;
[解析]令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(x+y).1+xy
令x∈(-1,1)∴-x∈(-1,1)∴f(x)+f(-x)=f(
∴f(-x)=-f(x)∴f(x)在(-1,1)上为奇函数0+0)=f(0)∴f(0)=01+0x-x1-x2)=f(0)=0
例2.
(1)函数f(x),xÎR,若对于任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:
f(x)为奇函数。
(2)设函数f(x)定义在(-l,l)上,证明f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数。
考点2函数奇偶性、单调性的综合应用
例1.已知奇函数f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,若f(m-1)+f(2m-1)>0,求实数m的取值范围。
[解析]Qf(x)是定义在(-2,2)上奇函数\对任意xÎ(-2,2)有f(-x)=-f(x)
由条件f(m-1)+f(2m-1)>0得f(m-1)>-f(2m-1)=f(1-2m)
12Qf(x)是定义在(-2,2)上减函数\-2>1-2m>m-1>2,解得-12\实数m的取值范围是-例2.设函数f(x)对于任意的x,yÎR,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时f(x)<0,f
(1)=-2
(1)求证f(x)是奇函数;
(2)试问当-3£x£3时,f(x)是否有最值?
如果有,求出最值;如果没有,说出理由。
例3.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a+a+1)<f(3a-2a+1).求a的取22
1a2-3a+1)的单调递减区间.2
[解析]设0<x1<x2,则-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,
∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1),
∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减.
1712又2a2+a+1=2(a+)2+>0,3a2-2a+1=3(a-)2+>0.4833
2222由f(2a+a+1)<f(3a-2a+1)得:
2a+a+1>3a-2a+1.解之,得0<a<3.值范围,并在该范围内求函数y=(
又a-3a+1=(a-
∴函数y=(2325)-.2431a2-3a+1)的单调减区间是[,+¥)22
323结合0<a<3,得函数y=()a-3a+1的单调递减区间为[,3).22
函数的周期性
(一)知识梳理
1.函数的周期性的定义:
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域则T=|b-a|;②函数f(x)满足-f(x)=f(a+x),则f(x)是周期为2a的周期函数;③若f(x+a)=11(a¹0)恒成立,则T=2a;④若f(x+a)=-(a¹0)恒成立,则T=2a.f(x)f(x)
(二)考点分析
考点2函数的周期性
例1.设函数f(x)是定义域R上的奇函数,对任意实数x有f(+x)=-f(-x)成立
(1)证明:
y=f(x)是周期函数,并指出周期;
(2)若f
(1)=2,求f
(2)+f(3)的值
考点2函数奇偶性、周期性的综合应用
例1.(09年江苏题改编)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)×f(x)=1对于xÎR恒成立,且f(x)>0,
则f(119)=________。
3232
[解析]由f(x+2)×f(x)=1得到f(x+2)=1,从而得f(x+4)=f(x),可见f(x)是以4为周期的函数,f(x)
从而f(119)=f(4´29+3)=f(3),又由已知等式得f(3)=1f
(1)
又由f(x)是R上的偶函数得f
(1)=f(-1)又在已知等式中令x=-1得f
(1)×f(-1)=1,即f
(1)=1所以f(119)=1
例2.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x)
(1)求证:
f(x)是周期函数;
(2)若f(x)为奇函数,且当0£x£1时,f(x)=11x,求使f(x)=-x在[0,2009]上的所有x的个数。
22
2.5二次函数
(一)知识梳理
1.二次函数的解析式的三种形式:
(1)一般式:
f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。
(2)顶点式(配方式):
f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
(3)两点式(因式分解):
f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。
b4ac-b2-b,)2.二次函数f(x)=ax+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴x=,顶点坐标(-2a4a2a2
(1)a>0时,抛物线开口向上,函数在(-¥,-bb-b时,]上单调递减,在[-,+¥)上单调递增,x=2a2a2af(x)min4ac-b2=;4a
(2)a<0时,抛物线开口向下,函数在(-¥,-bb-b时,]上单调递增,在[-,+¥)上单调递减,x=2a2a2af(x)max4ac-b2=。
4a
23.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当D=b-4ac>0时图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)
M1M2=x1-x2=(x1+x2)2-4x1x2=D。
a
4.根分布问题:
一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题,用图象求解,有如下结论:
令f(x)=ax2+bx+c(a>0),
ìD³0ìD³0ïï
(1)x1<α,x2<α,则í-b/(2a)(2)x1>α,x2>α,则í-b/(2a)>a
ïaf(a)>0ïaf(a)>0îî
ìD³0ìD³0ïf(a)>0ïï(3)α<x1<b,α<x2<b,则í(4)x1<α,x2>b(α<b),则íf(a)<0
ïf(b)<0ïf(b)>0îïa<-b/(2a)
(5)若f(x)=0在区间(α,b)∴对称轴x=2+(-1)1=又最大值是822
∴可设f(x)=a(x-)+8(a<0),由f
(2)=-1可得a=-4\f(x)=-4(x-)+8=-4x+4x+7法三:
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax-ax-2a-1,又21221222
ymax4a(-2a-1)-a2=8即=8得a=-4或a=0(舍)∴f(x)=-4x2+4x+74a
例2
.已知二次函数的对称轴为x=x轴上的弦长为4,且过点(0,-1),求函数的解析式.
解:
∵二次函数的对称轴为x=
f(x)=a(x++b,又∵f(x)截x轴上的弦长为4,2
∴f(x
)过点(2,0),f(x)又过点(0,-1),
1ìì4a+b=0ïa=∴í,í2,
2a+b=-1îïîb=-2
∴f(x)=1(x2-22
考点2.二次函数在区间上的最值问题
2例1.已知函数f(x)=-x+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2,求a的值。
思维分析:
一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论
22解:
f(x)=-(x-a)+a-a+1(0≤x≤1),对称轴x=a
1a<0时,f
(x)max=f(0)=1-a=2\a=-10
20≤a≤1时f(x)max=f(a)=a-a+1=2得a=
3a>1时,f(x)max=f
(1)=a=2\a=20021±5(舍)2
综上所述:
a=-1或a=2
2例2.已知y=f(x)=x-2x+3,当x∈[t,t+1]时,求函数的最大值和最小值。
答案:
t>1时,ymax=t+2,ymin=t-2t+322
110t£0时,ymax=t2-2t+3,ymin=t2+2
例3.已知函数y=-sinx+asinx-2a1+的最大值为2,求a的值.42
分析:
令t=sinx,问题就转二次函数的区间最值问题.
解:
令t=sinx,tÎ[-1,1],∴y=-(t-)+a
2212a(a-a+2),对称轴为t=,24
a1.£1,即-2£a£2时,ymax=(a2-a+2)=2,得a=-2或a=3(舍去)24