用方程解答含两个未知数的问题.docx

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用方程解答含两个未知数的问题

《用方程解答含两个未知数的问题》教学设计

刘瑄

教学内容：

教科书第70页，练习十三第4～8题。

教学目标：

1.理解实际问题中有关和、差、倍的数量关系。

2.初步学会设一个未知数，列方程解答含两个未知数的实际问题。

3.培养学生的比较、分析能力和类比学习的能力。

教学过程：

一、复习准备

1.填空。

（1）学校科技组的男同学人数是女同学的3倍。

设女同学有x人，男同学有（）人；设男同学有x人，女同学有（）人。

（2）学校航模组的男同学人数比女同学多18人。

设女同学有x人，男同学有（）人；设男同学有x人，女同学有（）人。

比较两种设未知数的方法，选择哪个量设为x，另一个量就比较容易表示？

（3）学校书法组有女同学x人，男同学人数是女同学的2.5倍。

男同学有（）人，男女同学一共有（）人，男同学比女同学多（）人。

（4）2.5x＋x＝（）x；2.5x－x＝（）x。

运用了什么运算定律？

2.口答。

根据下面的两个条件，你能提出什么数学问题？

地球上的陆地面积为1.5亿平方千米，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。

通常，学生能提出的问题有：

（1）海洋面积约有多少亿平方千米？

（2）海洋面积约比陆地面积多多少亿平方千米？

（3）地球的表面积是多少亿平方千米？

让学生把第（3）个问题算出答案：

地球上的陆地面积为1.5亿平方千米，海洋面积约为陆地面积的24倍。

地球的表面积是多少亿平方千米？

       1.5＋1.5×2.4＝5.1（亿平方千米）

二、教学例3

1.引入例题。

出示例3的条件：

地球的表面积为5.1亿平方千米，其中，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。

教师：

现在又能提出哪些数学问题？

引出例题。

2.比较例题与求地球表面积的复习题，有什么区别。

引导学生回答：

数量关系相同，条件与问题交换了位置。

请学生说出数量关系，教师板书：

   陆地面积＋海洋面积＝地球的表面积5.1亿平方千米

               ↓

   陆地面积×2.4

3.讨论：

有两个未知数，怎么办？

①怎样设未知数？

②怎样列方程？

学生分组讨论，教师巡视，酌情参与讨论。

4.交流各种解法。

引导学生从便于思考、便于解方程两方面进行比较。

5.重点讨论下列解法。

解：

设陆地面积为x亿平方千米。

（设海洋面积为x可以吗？

哪个更方便？

）

   那么海洋面积为2.4x亿平方千米。

（这是用了哪个条件？

）

   x＋2.4x＝5.1 （这是用了哪个条件？

）

   （1＋2.4）x＝5.1（这是用了什么运算定律？

）

让学生自己把方程解完，得x＝1.5。

提问：

另一个未知数怎样求？

根据是什么？

   5.1－1.5＝3.6（利用和的关系）

   2.4x＝1.5×2.4＝3.6（利用倍数关系）

6.引导学生进行检验。

提问：

除了代入方程检验之外，还可以怎样验算？

验算陆地面积与海洋面积的和是否等于地球的表面积5.1亿平方千米：

   1.5＋3.6＝5.1

验算海洋面积与陆地面积的倍数关系是否等于2.4：

   3.6÷1.5＝2.4

三、巩固练习

1.看图列方程（单位：

棵）。

同桌互相口头说出方程。

2.课本练习十三第4、6、7题。

要求不抄题，用方程解。

独立完成，然后全班交流核对。

四、本课小结

师：

今天我们学习了用方程解决含两个未知数的问题，你认为解答时应注意什么？

着重从以下几方面进行小结。

①两个未知数怎么办？

②两个已知条件怎么用？

③怎样验算？

五、布置作业

课本练习十三第5、8题。

稍复杂的方程

这部分内容共有三道例题。

它们的共同点是每道例题都担负着教学列方程和教学解方程的双重任务。

这是本单元学习的难点。

编写意图

例3的内容是关于地球表面海洋面积和陆地面积的计算。

它的特点是问题含有两个未知数，一般通常用两个已知条件说明两个未知数的关系。

如给出两个未知数的和与差，或给出两个未知数的倍数关系与两个未知数的和（或差）。

   具有这种数量关系的问题，在算术中称为“和差”、“和倍”、“差倍”问题。

若用算术方法解，思路特殊，需要分别教学。

改用方程解，都可归结为解形如ax±bx=c的方程，思路统一，解法一致，学会其中之一的解法，其他几种就很容易类推解决。

   在实际生活中，也常常会遇到一些具有这种数量关系的问题。

特别是当两个数的倍数关系用分数、百分数表示时，这样的问题就更常见了。

   像这样含有两个未知数的问题，在本单元之前，学生还没接触过。

但它与学生以前学过的不少内容有关。

比如，已知两数，可以求出它们的和、差及倍数关系，这是小学低年级的小学内容。

现在，从两数的和、差及倍数关系中选取两项作已知条件，反过来求两数各是多少，这就是我们在这里讨论的问题。

可见，所谓的“和差”、“和倍”、“差倍”问题，实际上是已知两数，求它们的逆思考问题。

   在小学中年级，曾出现过只有两个已知条件，却要两步计算解决的实际问题。

如，舞蹈队有男生20人，女生人数是男生的2倍，舞蹈队共有学生多少人？

女生比男生多多少人？

这类问题的特点是选取两数之一作一个条件，再从两数的和、差及倍数关系这三个量中选取一个为另一个条件，然后求三个量中的其他两个量。

不难看出，例3也是这类两步计算问题的逆思考问题。

   解答例3，首先碰到的第一个问题是设未知数。

学生已有的经验是“求什么设什么”。

现在面临一道题中要求两个未知数各是多少，究竟设哪个为x，另一个又怎样表示？

这是必须突破的一个难点。

就数学本身来说，和差倍关系的两个未知数，任选一个设为x都是可行的。

同样，另一个未知数的表示方法也有两种，即选用两个已知条件中的任何一个都能表示。

比较而言，在各种解法中，把作为比较标准的未知数设为x，则用含x的式子表示另一个未知数就比较容易。

   教材采用的就是这种方法。

设陆地面积为x亿平方千米，根据两个量的倍数关系这个条件表示海洋面积，再根据另一个已知条件（两部分面积的和即地球表面积），列出方程。

   这里第一次出现了形如ax±bx=c的方程。

考虑到学生的知识水平和接受能力，教材没有出现合并同类项等术语，而是启发学生运用乘法分配律，将原方程转化为学生已会解的形式（a±b）x＝c。

这与合并同类项的方法实质上是一致的。

   求出陆地面积后，接下去怎样求海洋面积？

有两种选择。

即任选两个已知条件中的任何一个都可以。

教材以两个同学互相交流的形式，对两种算法都作了介绍。

教学建议

（1）教学例3前，可以采用口答形式进行一些写出含有字母式子的填空练习。

如：

学校科技组有女同学x人，男同学是女同学的3倍，男同学有（ ）人，男女同学一共有（ ）人，男同学比女同学多（ ）人。

还可以给出复习题：

地球上的陆地面积为1.5亿平方千米，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。

地球的表面积是多少亿平方千米？

让学生列式计算出地球表面积是5.1亿平方千米，作为新授的铺垫和过渡。

（2）教学例3时，可以先让学生说出已知条件，并根据已知条件画出线段图（暂不标出“x”）。

再让学生说出所求问题，明确要求的未知数有两个。

然后利用线段图启发学生思考，先设哪一个未知数为x，根据已知条件，另一个未知数该怎样用含有字母的式子来表示。

根据学生的回答在线段图上标注x和2.4x。

然后引导学生想：

一个条件已经用来表示第二个未知数了，还可以根据哪个条件找出等量关系列方程？

由此列出课本介绍的方程。

然后将方程和复习题的算式进行对比：

       1.5＋1.5×2.4＝5.1

       x＋2.4x＝5.1

   帮助学生沟通新旧知识的联系，进一步理解数量关系。

   如果学生提出不同的方法，可酌情加以比较，如：

   让学生观察这些方程，容易看出解方程都比较麻烦。

如果学生求出陆地面积后，怎样求海洋面积，有两种方法。

学生喜欢用哪一种都可以，不必强求一律。

（3）例3的检验，应予以重视。

可以提出问题：

除了代入方程检验之外，还有没有其他的验算方法？

学生一般能够想到，验算两个得数的和与商，看是否等于已知数。

教师可以指出，在解决实际问题时，这样验算比先检查方程，再把x的值代入方程检验，更有效，也更简便。

（4）引导学生小结时，可以着重明确以下三点：

第一，两个未知数怎么办？

可以先选择其中一个设为x，列方程解，再求另一个；第二，两个已知条件怎么用？

可以把其中一个用来写出含有字母的式子，表示另一个未知数，另一个用来列方程；第三，怎样验算？

可以通过列式计算，检验两个得数的和及倍数关系是否符合已知条件。

第4题的数量关系仍为两积之和，但两个积都含未知因数x，所以列出的方程形如ax±bx=c。

把它作为例2与例3配套练习的过渡比较合适。

第5题，练习解形如ax±bx=c的方程。

熟练以后，允许学生简化解方程的书写过程。

如：

       解5.4x＋x＝12.8

       6.4x＝12.8

       x＝2

第6题，含两个未知数，已知条件是两数的和与差（两个相邻自然数的差是1），它与已知“和倍”、“差倍”关系的问题略有不同的是，设两个数中的任何一个为x都可以，不存在解方程时简便或麻烦的问题。

第7题，为鸡兔同笼问题的变式。

题中的隐蔽条件是鸡有2条腿，兔有4条腿。

由于鸡兔数量相同，所以列出的方程形如ax+bx=c。

第8题，含两个未知数，已知条件为两数之差与倍数关系。

可以让学生选用自己喜欢的方法，列出方程。

1.本单元的内容结构及其地位作用。

   本单元的主要学习内容是用字母表示数和解简易方程，以及简易方程在解决一些实际问题中的运用。

   这些内容是在学生学了一定的算术知识（如整数、小数的四则运算及其应用），已初步接触了一点代数知识（如用字母表示运算定律，用○、△或□表示数）的基础上，进行学习的。

   一般地说，在小学教学简易方程有以下几方面的意义。

   一是有助于培养学生的抽象概括能力，发展学生思维的灵活性。

因为对小学生来说，从具体事物的个数抽象出数是认识上的一个飞跃，现在由具体的、确定的数过渡到用字母表示抽象的、可变的数，更是认识上的一个飞跃。

而且，在用字母表示未知数的基础上，使学生解决实际问题的数学工具，从列出算式解发展到列出方程解，这又是数学思想方法认识上的一次飞跃，它将使学生运用数学知识解决实际问题能力提高到一个新的水平。

   二是有助于巩固和加深理解所学的算术知识。

通过用字母表示所学过的数量关系、运算定律以及一些图形的周长、面积计算公式，可以使学生加深对这些知识的理解。

同时，由于用字母表示比用文字表述更简明易记，所以便于学生巩固所学知识。

   三是有利于加强中小学数学的衔接。

让学生初步接触一点代数知识，能使学生摆脱算术思维方法中的某些局限性（逆向思考，未知数不参加运算，等于缺少一个条件，思维的步骤增加），为进一步学习代数知识做好认识的准备和铺垫。

   本单元的内容分为两节，第一节的主要内容是用字母表示数、表示运算定律、计算公式和数量关系。

第二节的主要内容是方程的意义，等式的基本性质和解简易方程，以及列方程解决一些比较简单的实际问题。

这些内容的编排体系如下表。

   从上表可以看出，两节教材的四部分内容具有内在的逻辑联系。

用“字母表示数”是学习方程的基础，“方程的意义”是学习“解方程”的基础，“稍复杂的方程”则是“解方程”的发展。

2.本单元教材的编写特点。

   与原教材相比，本单元教材的主要改进有以下几点。

（1）用字母表示数的教材编排更贴近学生的认知特点。

   用字母表示数，对小学生来说，是比较抽象的。

特别是用含有字母的式子表示数量关系，更感困难一些。

例如，已知父亲年龄比儿子大30岁，用a表示儿子岁数，那么a+30既表示父亲岁数总是比儿子岁数大30的年龄关系，又表示父亲的岁数。

这是学生初学时的一个难点。

首先，他们要理解父子年龄之间的关系，把用语言叙述的这一关系改用含有字母的式子表示；其次，他们往往不习惯将a+30视为一个量，常有学生认为这是一个式子，不是结果。

而用一个式子表示一个量恰恰是学习列方程不可或缺的一个基础。

因此，为了保证基础，突破难点，教材对用字母表示数的教学内容作出了更贴近学生的认知特点的安排。

即先学习用字母表示一个特定的数（例1），然后学习用字母表示一般的数，即用字母表示运算定律和计算公式（例2和例3），待学生有了一定的基础，再学习用含字母的式子表示数量和数量关系（例4）。

这样由易到难，便于学生逐步感悟、适应字母代数的特点。

（2）以等式的基本性质为基础，而不是依据逆运算关系解方程。

   长期以来，在小学教学简易方程，方程变形的依据总是加减运算的关系或乘除运算之间的关系。

这实际上是用算术的思路求未知数。

到了中学又要另起炉灶，引入等式的基本性质或方程的同解原理，然后重新学习依据等式的基本性质或方程的同解原理解方程，而且小学的思路及其算法掌握的越牢固，对中学代数起步教学的负迁移就越明显。

现在，根据《标准》的要求，从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法。

这就较为彻底地避免了同一内容两种思路、两种算理解释的现象，有利于加强中小学数学教学的衔接。

   从国内部分地区的先行实验来看，等式基本性质所反映的数学事实，比较浅显，小学生凭借自己的知识经验，不难发现其变化规律。

只要处理得当，把它作为解简易方程的依据也是可行的。

   （3）调整简易方程的内容，突显利用等式基本性质解方程的优势。

   引进等式基本性质作为解简易方程的认知基础之后，一个相应的措施就是调整简易方程的基本内容，暂不出现形如a-x=b和a÷x=b的简易方程。

这是因为小学生还没有学习正负数的四则运算，利用等式的基本性质解a-x=b，方程变形的过程及其算理解释比较麻烦。

至于形如a÷x=b的方程，本质上是分式方程，依据等式的基本性质解需要先去分母，同样不适合在小学阶段学习。

事实上，回避这两种类型的简易方程，并不影响学生列方程解决实际问题。

因为当需要列出形如a-x=b或a÷x=b的方程时，总可以根据实际问题的数量关系，列成形如x+b=a或bx=a的方程。

这也体现了列方程解决问题，常常可以化逆向思维为顺向思维的优势。

   内容调整后，利用等式基本性质解方程的优越性就比较容易显现出来了，比如，解形如x+a=b与x-a=b的方程，都可以归结为，等式两边减去（加上）a，得x=b-a与x=b+a。

解形如ax=b与x÷a=b的方程，都可以归结为，等式两边除以（乘上）a，得x=b÷a与x=ab。

显然比原来依据逆运算关系解方程，思路更为统一。

   （4）解方程与解决实际问题的教学有机整合。

   过去，解方程的教学与列方程解应用题的教学是分开进行的，前者属于计算，后者属于应用。

现在恢复计算与应用的天然联系，体现在本单元中，学习“稍复杂的方程”时，由实际问题引入方程，在现实背景下求解方程并检验，这样处理有助于学生理解解方程的过程，也有利于加强数学知识与现实世界的联系，有利于培养学生的数学应用意识。

（第53～76页）教材说明

   本节教材包括方程的意义、解方程和稍复杂的方程三部分内容。

   关于方程和解方程的知识，在初等代数中占有重要地位。

中小学生在学习代数的整个过程中，几乎都要接触这方面的知识。

从这个意义上说，前一节学习用字母表示数，为本节学习方程和解方程打下了基础。

   本节的学习内容，既包括方程的概念和解方程所依据的原理（等式基本性质），又包括方程的解法和应用。

这些内容之间的逻辑联系如下图所示。

其中较简单的方程，只要通过一次变形，即在方程两边同时加上或减去、乘上或除以一个适当的数，就能求出x的值。

稍复杂的方程，则需要两次变形，才能求出x的值。

   如果说学习的目的全在于应用，那么学习方程的目的也是如此。

因此，学习列方程解决实际问题与学习解方程一样，是本单元的学习重点。

   列方程解决实际问题，与学生在这之前所采用的列算式解决实际问题，它们的共同点是，都以四则运算和常见数量关系为基础，都需要分析数量关系。

它们的区别主要是思考方法不同。

列算式解决实际问题时，未知数始终作为一个“目标”，不参加列式运算，只能用已知数和运算符号组成算式，所以列式费思考，解题思路常常迂回曲折，局限性较大。

列方程解决实际问题时，未知数能以一个字母（如x）为代表和已知数一起参加列式运算，所以解题思路更加直截了当，降低了思维难度，适用面广。

但由于学生较长时期用算术方法解决问题，开始学习列方程解决问题时，往往受到算术思路的干扰。

因此，在本节的教学中，注意过渡和对比，克服干扰，对于学生初步掌握列方程解决问题的思考方法和特点，初步体会列方程解决问题的优越性，具有重要意义。

   鉴于列方程解决问题的关键在于搞清数量之间的相等关系，所以教材在每个实际问题的解答中都列出了用文字、运算符号与等号表示的等量关系，但只要求学生学会这样思考，不要求学生解题时都书写出来，因此围以虚线框。

教学建议

1.重视概念与原理的教学。

   建立方程的概念是学习解方程的基础。

虽然有关方程的几个概念，教材只作描述，不下定义，但这并没有削弱理解概念对于掌握方法的作用。

比如，只有理解了“方程”的含义，它是一个“含有未知数的等式”，才有可能明确，所谓解方程，实际上就是解决这样一个问题：

当x取什么数值时，能使等式成立。

类似地，只要理解了“方程的解”的含义，也就明确了应当怎样去检验某个数是不是方程的解。

   同样道理，为使等式的基本性质成为解方程的认知基础，就应当重视对它的理解。

教学时，应充分利用天平的直观性，帮助学生感悟怎样才能使天平的两端保持平衡。

学生理解了等式的基本性质，就能有效地避免解方程时的机械模仿和死记硬背。

2.重视解决实际问题能力的培养。

   由于用方程解决实际问题具有思考过程比较直接、简明，能使某些实际问题的解决化难为易。

所以有利于减少学生的学习困难，有利于培养解决实际问题的能力。

又由于用算术方法和用方程解决问题的思路有所不同，从而能使学生在掌握新的解决问题思考方法的过程中开阔思路，这同样有助于培养学生解决实际问题的能力。

   因此，在本节内容的教学中，应着力让学生体会列方程解决问题的优越性，让学生掌握列方程解决问题的基本步骤，并注意引导学生逐步学会根据问题特点，灵活选择比较简便的算法，进而在提高解决实际问题能力的同时，培养学生思维的灵活性。

3.注意掌握教学目标的适切性。

   本节的教学内容，从方程的概念到天平平衡的原理，再到稍复杂的方程及其应用，内容本身有很大的发展空间。

因此，教师在确定各课时的教学目标时，应依据《标准》，并参照课本、参照本单元的教学目标。

同时还应从本班学生的实际情况出发，把教学目标定在学生的最近发展区内。

   在教学用方程解决问题时，教师可以补充一些联系实际的问题，特别是补充一些具有地方特点的实际问题。

但这些问题的数量关系不能过于复杂，必须是学生能够理解的；由这些问题所得到的方程，形式一般不宜超过教材。

以免加重学生的学习负担，欲速而不达。

4.本节内容可以用12课时进行教学。