度人教B版高中数学选修45教学案第一章 绝对值不等式的解法 Word.docx

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【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修4-5教学案-第一章绝对值不等式的解法（Word）

[读教材·填要点]

1．含绝对值的不等式|x|≤a与|x|≥a的解集

不等式

a＞0

a＜0

|x|≤a

[－a，a]

∅

|x|≥a

（－∞，－a]∪[a，＋∞]

R

2．|ax＋b|≤c（c＞0）和|ax＋b|≥c（c＞0）型不等式的解法

（1）|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

（2）|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法

（1）分区间讨论法：

以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负进而去掉绝对值符号是解题关键．

（2）图象法：

构造函数，结合函数的图象求解．

（3）几何法：

利用绝对值不等式的几何意义求解．

[小问题·大思维]

1．|x|以及|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？

提示：

|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离；|x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b的点的距离之和（差）．

2．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|（a≠b）型的不等式的解集？

提示：

可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．

含一个绝对值不等式的解法

[例1]　解下列不等式：

（1）1＜|x－2|≤3；

（2）|2x＋5|＞7＋x；

（3）≤.

[思路点拨]　本题考查较简单的绝对值不等式的解法．解答本题

（1）可利用公式转化为|ax＋b|＞c（c＞0）或|ax＋b|＜c（c＞0）型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．

（2）可利用公式法转化为不含绝对值的不等式．

（3）可分类讨论去掉分母和绝对值．

[精解详析]　

（1）法一：

原不等式等价于不等式组

即

解得－1≤x＜1或3＜x≤5，

所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．

法二：

原不等式可转化为：

①或②

由①得3＜x≤5，由②得－1≤x＜1，

所以原不等式的解集是{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．

（2）由不等式|2x＋5|＞7＋x，

可得2x＋5＞7＋x或2x＋5＜－（7＋x），

整理得x＞2或x＜－4.

∴原不等式的解集是{x|x＜－4或x＞2}．

（3）①当x2－2＜0且x≠0，即当－＜x＜，

且x≠0时，原不等式显然成立．

②当x2－2＞0时，

原不等式与不等式组等价，

x2－2≥|x|即|x|2－|x|－2≥0，

∴|x|≥2，∴不等式组的解为|x|≥2，

即x≤－2或x≥2.

∴原不等式的解集为

（－∞，－2]∪（－，0）∪（0，）∪[2，＋∞）．

含一个绝对值不等式的常见类型及其解法：

（1）形如|f（x）|＜a，|f（x）|＞a（a∈R）型不等式

此类不等式的简单解法是等价命题法，即

①当a＞0时，|f（x）|＜a⇒－a＜f（x）＜a.

|f（x）|＞a⇔f（x）＞a或f（x）＜－a.

②当a＝0时，|f（x）|＜a无解．

|f（x）|＞a⇔f（x）≠0.

③当a＜0时，|f（x）|＜a无解．

|f（x）|＞a⇔f（x）有意义．

（2）形如|f（x）|＜g（x），|f（x）|＞g（x）型不等式

此类不等式的简单解法是等价命题法，即

①|f（x）|＜g（x）⇔－g（x）＜f（x）＜g（x），

②|f（x）|＞g（x）⇔f（x）＞g（x）或f（x）＜－g（x）（其中g（x）可正也可负）．

若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂．

（3）形如a＜|f（x）|＜b（b＞a＞0）型不等式

此类问题的简单解法是利用等价命题法，即

a＜|f（x）|＜b（0＜a＜b）

⇔a＜f（x）＜b或－b＜f（x）＜－a.

（4）形如|f（x）|＜f（x），|f（x）|＞f（x）型不等式

此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即

|f（x）|＞f（x）⇔f（x）＜0，

|f（x）|＜f（x）⇔x∈∅.

1．设函数f（x）＝|2x－a|＋5x，其中a>0.

（1）当a＝3时，求不等式f（x）≥5x＋1的解集；

（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．

解：

（1）当a＝3时，

不等式f（x）≥5x＋1可化为|2x－3|≥1，

由此可得x≥2或x≤1.

故不等式f（x）≥5x＋1的解集为{x|x≤1或x≥2}．

（2）由f（x）≤0得|2x－a|＋5x≤0，此不等式可化为不等式组或

即或

因为a>0，所以不等式组的解集为.

由题设可得－＝－1，故a＝3.

含两个绝对值不等式的解法

[例2]　解不等式|x＋7|－|3x－4|＋>0.

[思路点拨]　先求出零点即x＝－7，，再分段讨论．

[精解详析]　原不等式化为

|x＋7|－|3x－4|＋－1>0，

当x>时，原不等式为x＋7－（3x－4）＋－1>0，

得x<5＋，即

当－7≤x≤时，原不等式为

x＋7＋（3x－4）＋－1>0，

得x>－－，

即－－

当x<－7时，原不等式为

－（x＋7）＋（3x－4）＋－1>0，

得x>6－，与x<－7矛盾；

综上，不等式的解为－－

（1）|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c（c＞0）型不等式的三种解法：

分区间（分类）讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．

（2）|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c（c＞0）型不等式的图象解法和画出函数f（x）＝|x－a|＋|x－b|－c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f（x）的分段表达式．不妨设

a＜b，于是f（x）＝

这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．

（3）形如|f（x）|＜|g（x）|型不等式

此类问题的简单解法是利用平方法，即

|f（x）|＜|g（x）|⇔[f（x）]2＜[g（x）]2

⇔[f（x）＋g（x）][f（x）－g（x）]＜0.

2．设函数f（x）＝|2x＋1|－|x－3|.

（1）解不等式f（x）≥4；

（2）求函数y＝f（x）的最小值．

解：

（1）由题意得，f（x）＝|2x＋1|－|x－3|

＝

所以不等式f（x）≥4，

等价于或或

解得x≤－8或x≥2.

所以原不等式的解集为{x|x≤－8或x≥2}．

（2）由

（1）知，当x<－时，f（x）＝－x－4，

所以f（x）在上单调递减；

当－≤x≤3时，f（x）＝3x－2，所以f（x）在上单调递增；

当x>3时，f（x）＝x＋4，所以f（x）在（3，＋∞）上单调递增．

故当x＝－时，y＝f（x）取得最小值，

此时f（x）min＝－.

含参数的绝对值不等式的解法

[例3]　设函数f（x）＝|x－1|＋|x－a|.

如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

[思路点拨]　本题考查绝对值不等式的解法．解答本题应先对a进行分类讨论，求出函数f（x）的最小值，然后求a的取值范围．

[精解详析]　若a＝1，f（x）＝2|x－1|，不满足题设条件．

若a＜1，f（x）＝

f（x）的最小值为1－a.

若a＞1，f（x）＝

f（x）的最小值为a－1.

所以∀x∈R，f（x）≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为（－∞，－1]∪[3，＋∞）．

含有参数的不等式的求解问题分两类，一类不需要对参数进行讨论，另一类如本例，对参数a进行讨论，得到关于参数a的不等式（组），进而求出参数的取值范围．

3．（辽宁高考）已知函数f（x）＝|x－a|，其中a>1.

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4－|x－4|的解集；

（2）已知关于x的不等式|f（2x＋a）－2f（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．

解：

（1）当a＝2时，

f（x）＋|x－4|＝

当x≤2时，由f（x）≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，

解得x≤1；

当2

当x≥4时，由f（x）≥4－|x－4|，得2x－6≥4，

解得x≥5.

所以f（x）≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．

（2）记h（x）＝f（2x＋a）－2f（x），

则h（x）＝

由|h（x）|≤2，解得≤x≤.

又已知|h（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，

所以于是a＝3.

[对应学生用书P12]

一、选择题

1．若不等式|ax＋2|＜6的解集为（－1,2），则实数a的取值为（　　）

A．8　　　　　　　　　　B．2

C．－4D．－8

解析：

原不等式化为－6＜ax＋2＜6，

即－8＜ax＜4.

又∵－1＜x＜2，

∴验证选项易知a＝－4适合．

答案：

C

2．如果<2和|x|>同时成立，那么x的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

解不等式<2得x<0或x>；

解不等式|x|>得x>或x<－.

如图所示：

∴x的取值范围为.

答案：

B

3．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，3]∪[5，＋∞）

B．[－5，－3]

C．[3,5]

D．（－∞，－5]∪[－3，＋∞）

解析：

在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.

答案：

D

4．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是（　　）

A．（－∞，0]B．[－1,0]

C．[0,1]D．[0，＋∞）

解析：

作出y＝|x＋1|与l1；y＝kx的图象如图，当k＜0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k>0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需k≤1.

综上可知k∈[0,1]．

答案：

C

二、填空题

5．不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为________．

解析：

原不等式即|2x＋1|＞2|x－1|，两端平方后解得12x＞3，即x＞.

答案：

6．不等式≥1的实数解集为________．

解析：

≥1⇔|x＋1|≥|x＋2|，x＋2≠0

⇔（x＋1）2≥（x＋2）2，x≠－2⇔x≤－，x≠－2.

答案：

（－∞，－2）∪

7．若不等式x＋＞|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________．

解析：

∵|x＋|≥2，∴|a－2|＋1＜2，即|a－2|＜1，解得1＜a＜3.

答案：

1＜a＜3

8．若关于x的不等式|x－1|＋|x－a|≥a的解集为R（其中R是实数集），则实数a的取值范围是________．

解析：

不等式|x－1|＋|x－a|≥a恒成立，

a不大于|x－1|＋|x－a|的最小值，

∵|x－1|＋|x－a|≥|1－a|，

∴|1－a|≥a,1－a≥a或1－a≤－a，解得a≤.

答案：

三、解答题

9．解不等式|2x－4|－|3x＋9|＜1.

解：

（1）当x＞2时，原不等式可化为

解得x＞2.

（2）当－3≤x≤2时，原不等式可化为

解得－＜x≤2.

（3）当x＜－3时，原不等式可化为

解得x＜－12.

综上所述，原不等式的解集为.

10．已知函数f（x）＝|2x－1|＋|x－2a|.

（1）当a＝1时，求f（x）≤3的解集；

（2）当x∈[1,2]时，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．

解：

（1）当a＝1时，

原不等式可化为|2x－1|＋|x－2|≤3，

当x>2时，得3x－3≤3，则x≤2，无解；

当≤x≤2时，得x＋1≤3，则x≤2，所以≤x≤2；

当x<时，得3－3x≤3，则x≥0，所以0≤x<.

综上所述，原不等式的解集为[0,2]．

（2）原不等式可化为|x－2a|≤3－|2x－1|，

因为x∈[1,2]，所以|x－2a|≤4－2x，

即2x－4≤2a－x≤4－2x，

故3x－4≤2a≤4－x对x∈[1,2]恒成立．

当1≤x≤2时，3x－4的最大值为2,4－x的最小值为2，

所以a的取值范围为1.

11．已知函数f（x）＝|x＋3|＋|x－a|（a>0）．

（1）当a＝4时，已知f（x）＝7，求x的取值范围；

（2）若f（x）≥6的解集为{x|x≤－4或x≥2}，求a的值．

解：

（1）因为|x＋3|＋|x－4|≥|x＋3－x＋4|＝7，当且仅当（x＋3）（x－4）≤0时等号成立．

所以f（x）＝7时，－3≤x≤4，故x∈[－3,4]．

（2）由题知f（x）＝

当a＋3≥6时，不等式f（x）≥6的解集为R，不合题意；

当a＋3<6时，不等式f（x）≥6的解为或

即或

又因为f（x）≥6的解集为{x|x≤－4或x≥2}，

所以a＝1.