立体几何练习题答案.docx

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立体几何练习题答案

立几测001试

一、选择题：

1．a、b是两条异面直线，下列结论正确的是（）

A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行

B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交

C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行

D．过a可以且只可以作一个平面与b平行

2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（）

Ａ．0Ｂ．1Ｃ．1或4Ｄ．无法确定

3．在正方体

ABCDABCD中，M、N分别为棱AA1、BB1的中点，则异面直线CM和D1N所成角

1111

的正弦值为（）

Ａ．

1

9

Ｂ．

2

3

Ｃ．

45

9

Ｄ．

25

9

4．已知平面平面，m是内的一直线，n是内的一直线，且mn，则：

①m；②n；

③m或n；④m且n。

这四个结论中，不正．确．．的三个是

（）

Ａ．①②③Ｂ．①②④Ｃ．①③④Ｄ．②③④

5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是（）

A.4B.5C.6D.8

6.在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R）

（）

2

A.R

4

B.R

3

C.R

2

D.

R

3

7.直线l⊥平面α，直线m平面β，有下列四个命题

（1）//lm

（2）l//m（3）l//m（4）lm//其中正确的命题是

（）

A.

（1）与

（2）B.

（2）与（4）C.

（1）与（3）D.（3）与（4）

8.正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是（）

A.

0B.

6

C.D.

644332

9．ABC中，AB9，AC15，BAC120，ABC所在平面外一点P到点A、B、C的距离

都是14，则P到平面的距离为（）

Ａ．7Ｂ．9Ｃ．11Ｄ．13

10．在一个45的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45，则此直线与二面角的另一个平面所

成角的大小为（）

Ａ．30Ｂ．45Ｃ．60Ｄ．90

11.如图,E,F分别是正方形SD1DD2的边D1D,DD2的中点,

沿SE,SF,EF将其折成一个几何体,使D1,D,D2重合,记作

D.给出下列位置关系:

①SD⊥面DEF;②SE⊥面DEF;

..

③DF⊥SE;④EF⊥面SED,其中成立的有:

（）

Ａ.①与②B.①与③C.②与③D.③与④

9.某地球仪的北纬60度圈的周长为6cm,则地球仪的表面积为（）

2B.48cm2C.144cm2D.288cm2

A.24cm

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

10.直二面角α—MN—β中，等腰直角三角形ABC的斜边BCα，一直角边

ACβ，BC与β所成角的正弦值是

__________。

6

4

，则AB与β所成角大小为

..

P

11.如图在底面边长为2的正三棱锥V—ABC中,E是BC中点,若△VAE的面积

是

1

4

则侧棱VA与底面所成角的大小为

A

D

15．如图，已知矩形ABCD中，AB1，BCa，PA面ABCD。

若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于______.

BQC

12.六棱锥P—ABCDEF中，底面ABCDEF是正六边形，PA⊥底面

ABCDE，F给出下列四个命题

①线段PC的长是点P到线段CD的距离；

②异面直线PB与EF所成角是∠PBC；

③线段AD的长是直线CD与平面PAF的距离；

④∠PEA是二面角P—DE—A平面角。

其中所有真命题的序号是_______________。

三.解答题:

（共74分，写出必要的解答过程）

C

17．（本小题满分10分）

如图，已知直棱柱

ABCABC中，

111

B

A

M

ACB90，BAC30，BC1，AA16，M是

CC的中点。

1

C

1

求证：

AB1A1M

BA1

1

18．（本小题满分12分）

如图，在矩形ABCD中，AB33，BC3，沿对角线BD将BCD折起，使点C移到P点，且P

在平面ABD上的射影O恰好在AB上。

（1）求证：

PB面PAD；

（2）求点A到平面PBD的距离；

（3）求直线AB与平面PBD的成角的大小

P（C）

A

B

BA

O

CD

D19．（本小题满分12分）

如图,已知PA面ABC,ADBC,垂足D在BC的延长线上,且BCCDDA1

（1）记PDx,BPC,试把tan表示成x的函数,并求其最大值.

P

..

（2）在直线PA上是否存在点Q,使得BQCBAC

12.（本小题满分12分）

正三棱锥V-ABC的底面边长是a,侧面与底面成60°的二面角。

求

（1）棱锥的侧棱长；

（2）侧棱与底面所成的角的正切值。

13.（本小题满分14分）

已知正三棱柱ABC-A

1B1C1的底面边长为8，面的对角线B1C=10，D为AC

的中点，

（1）求证：

AB1//平面C1BD;

（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值;

（3）求直线AB1到平面C1BD的距离。

14.（本小题满分14分）

已知A1B1C1-ABC为直三棱柱，D为AC中点，O为BC中点，E在CC1上，

∠ACB=90°，AC=BC=CE=，2AA1=6.

..

（1）证明平面BDE∥AO；

（2）求二面角A-EB-D的大小；

（3）求三棱锥O-AA1D体积.

..

立测试001

答案

一．选择题：

（每题5分,共60分）

题号123456789101112

答案DCCBDBCCAABC

二．填空题：

（每题4分,共16分）

15.60o14.

arctan

1

4

13.216.①④

三.解答题:

（共74分，写出必要的解答过程）

17．（10分）解：

【法一】ACB90B1C1A1C1，又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，

所以B1C1面A1C，连结A1C，则AC1是AB1在面A1C上的射影

在四边形AA1C1C中，

AAAC

111

ACCM

111

2

AACACM，

，且1111

2

AACACM，AC1A1MAB1A1M

1111

【法二】以C1B1为x轴，C1A1为y轴，C1C为z轴建立空间直角坐标系

由BC1，

AA16，ACB90，BAC30，

易得

A，A（0,3,6），

1（0,3,0）

6

M（0,0,），B1（1,0,0）

2

AB1（1,3,6），A1M

6

（0,3,）

2

6

ABAM03（6）0AB1A1M所以AB1A1M

11

2

18．解：

（1）P在平面ABD上的射影O在AB上，PO面ABD。

故斜线BP在平面ABD上的射影为AB。

又DAAB，DABP，又BCCD，BPPD

ADPDDBP面PAD

（2）过A作AEPD，交PD于E。

BP面PAD，BPAE，AE面BPD故AE的长就是点A到平面BPD的距离

ADAB，DABCAD面ABPADAP

在RtABP中，

2232

APABBP；

在RtBPD中，PDCD33

..

在RtPAD中，由面积关系，得

AE

APAD

PD

323

33

6

（3）连结BE，AE面BPD，BE是AB在平面BPD的射影

ABE为直线AB与平面BPD所成的角

在RtAEB中，

sinABE

AE

AB

2

3

，

ABE

arcsin

2

3

19．

（1）PA面ABC,BDAD,BCPD,即PDB90.

在RtPDB和RtPDC中,

21

tanBPD,tanCPD

xx

21

tantanBPCtan（BPDCPD）

1

x

xx

212

2

x

xx

（x1）

112

2224

x

x

当且仅当x2时,tan取到最大值

2

4

.

（2）在RtADB和RtDC中,tanBAD=2,tanCAD1

tanBACtan（BADCAD）

2112

12134

故在PA存在点Q（如AQ1）满足1tan2

BQC,使BQCBAC

34

16.（12分）解：

（1）过V点作V0⊥面ABC于点0，VE⊥AB于点E

∵三棱锥V—ABC是正三棱锥∴O为△ABC的中心

233

则OA=aa

323

133

，OE=aa

326

又∵侧面与底面成60°角∴∠VEO=60°

则在Rt△VEO中；V0=OE·tan60°=

3a

a3

62

在Rt△VAO中，VA=

222

2aa7a21a

2

VOAO

43126

21

即侧棱长为a

6

..

a

VO

AO

（2）由

（1）知∠VAO即为侧棱与底面所成角，则tan∠VAO=

2

3

3

a

3

2

21（12分）解：

（1）连结BC1交B1C于点E，则E为B1C的中点，并连结DE

∵D为AC中点∴DE∥AB1

而DE面BC1D，AB1面BC1D

∴AB1∥面C1BD

（2）由

（1）知AB1∥DE，则∠DEB或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角

由条件知B1C=10，BC=8则BB1=6

∵E三棱柱中AB1=BC1∴DE=5

3

又∵BD=843

2

222

BEDEBD2525481

∴在△BED中cosBED

2BDDE25525

1

故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为

25

（3）由

（1）知A到平面BC1D的距离即为直线AB1到平面BC1D的距离

设A到平面BC1D的距离为h，则由

V

AV

BCDC

11

ABD

得

1

3

1

SBCDhSABDC1C

1

3

即h=

S

ABD

S

CC

1

BCD

1

1

由正三棱柱性质得BD⊥C1D则SBDCD

BC:

1

D1

2

∴

h

1

2

BDAD

1

BD

CD

1

2

CC

1

AD

C

1

CC

1

D

4

2

6

6

2

4

24

52

12

13

13

即直线AB1到平面的距离为

12

13

13

17.（14分）

证明：

①设F为BE与B1C的交点，G为GE中点

∵AO∥DF

∴AO∥平面BDE

②α=arctan2-arctan

2

2

或arcsin1/3

③用体积法V=

1

3

×

1

2

×6×h=1

..

..

立几测试002

一、选择题（12×5分）

1．已知直线a、b和平面M，则a//b的一个必要不充分条件是（）

A．a//M,b//MB．a⊥M，b⊥M

C．a//M,bMD．a、b与平面M成等角

2．正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（）

A．

3

2

B．

3

6

C．

3

4

D．

3

3

3．a,b是异面直线，A、B∈a,C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，则a与b所成的角为（）

A．30°B．60°C．90°D．45°

4．给出下面四个命题：

①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是：

直线a、b不相交；

②“直线l垂直于平面内所有直线”的充要条件是：

l⊥平面；

③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面内的射影”；

④“直线a∥平面”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面内的一条直线”．

其中正确命题的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．设l1、l2为两条直线，a、β为两个平面，给出下列四个命题：

（1）若l1,l2，l1∥β，l1∥a则a∥β.

（2）若l1⊥a，l2⊥a，则l1∥l2（3）若l1∥a，

l1∥l2，则l2∥a（4）若a⊥β，l1，则l1⊥β

其中，正确命题的个数是（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

A1B

1

6．三棱柱

ABCA1BC中，侧面AA1B1B底面ABC，

11

C1

直线AC

1与底面成60角，ABBCCA2，

AA1A1B，则该棱柱的体积为（）

A．43B．33C．4D．3

7．已知直线l⊥面α，直线m面β，给出下列命题：

AB

CS

（1）//lm

（2）l//m

HG

（3）l//m（4）lm//

其中正确的命题个数是（）BA

A.1B.2C.3D.4

EF

8．正三棱锥SABC的底面边长为a，侧棱长为b，那么经过底

C

边AC和BC的中点且平行于侧棱SC的截面EFGH的面积为（）

A.abB.

ab

2

C.

ab

4

D.

2

2

ab

9．已知平面α、β、γ，直线l、m，且lm,,m,l，给出下列四个结论：

①；

②l；③m；④.则其中正确的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱

D1A1B1上任意一点，则直线OP与支线AM所成角的大小为（）

A1

A.45oB.90oC.60oD.不能确定

M..

D

O

A

11．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得点A到点A

’的位置，且A’C＝1，则折起后二面角A’－DC

－B的大小为（）

A.

2

arctanB.

2

C.arctan2D.

43

18.正方体ABCDABCD

1111，E、F分别是AA1、CC1的中点，P是CC1上的动点（包括端点），过E、D、

P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是（）

A.线段CF

1B.线段CF

C.线段CF和一点C1D.线段C1F和一点C

二、填空题（4×4分）

13．矩形ABCD的对角线AC，BD成60°角，把矩形所在的平面以AC为折痕，折成一个直二面角D—AC—B，连

结BD，则BD与平面ABC所成角的正切值为.

14．将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为，球的表面积为

（不计损耗）.

14.四面体ABCD中，有如下命题：

①若AC⊥BD，AB⊥CD，则AD⊥BC；

②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；

③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在面ABD上的射影是△ABD的外心

④若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体。

其中正确的是：

______。

（填上所有正确命题的序号）

16．直三棱柱ABC—A1B1C1的每一个顶点都在同一个球面上，若AC2,BCCC1，

1

ACB，则A、C两点之间的球面距离为.

2

A1

B1C1

D1

三、解答题（12+12+12+12+12+14分）

17．已知长方体AC1中，棱AB=BC=1，棱BB1=2，连结B1C，

过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.

（1）求证A1C⊥平面EBD；

E

（2）求点A到平面A1B1C的距离；

AF

D

（3）求平面A1B1CD与直线DE所成角的正弦值.

BC

18．在平行四边形ABCD中，AB32，AD23，ADB90,沿BD将其折成二面角A－BD－C，若

折后ABCD。

A

（1）求二面角ABDC的大小；

（2）求折后点C到面ABD的距离。

DB

E

BC

19．在棱长AB=AD=2，AA’=3的长方体AC1中，点E是平面BCC1B1上动点，点F是CD的中点。

（1）试确定E的位置，使D1E⊥平面AB1F。

A1

D1

（2）求二面角B1－AF－B的大小。

B1C

1

..

AD

F

20．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱

ABCABC中，D、E分别是棱BC、CC1的中点，ABAA12。

111

（Ⅰ）证明：

BEAB；（Ⅱ）求二面角

1

BABD的大小。

1

C1

A

1

B1

E

C

21．如图，在直三棱柱ABCABC

111中，

A

D

BCAA14，AC3，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点。

B

（1）在棱BB

1上求一点P，使CP⊥BD；

（2）在

（1）的条件下，求DP与面BBCC

11所成的角的大小。

22．如图，三棱锥P—ABC中，PB⊥底面ABC于B，

∠BCA=90°，PB=BC=CA=42，

点E，点F分别是PC，AP的中点.

（1）求证：

侧面PAC⊥侧面PBC；

（2）求异面直线AE与BF所成的角；

P

（3）求二面角A—BE—F的平面角.

E

F

CB

A

..

立几测试002答案

一、选择题（12×5分）

1．已知直线a、b和平面M，则a//b的一个必要不充分条件是（D）

A．a//M,b//MB．a⊥M，b⊥M

C．a//M,bMD．a、b与平面M成等角

2．正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（B）

A．

3

2

B．

3

6

C．

3

4

D．

3

3

3．a,b是异面直线，A、B∈a,C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，则a与b所成的角为（B）

A．30°B．60°C．90°D．45°

4．给出下面四个命题：

①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是：

直线a、b不相交；

②“直线l垂直于平面内所有直线”的充要条件是：

l⊥平面；

③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面内的射影”；

④“直线a