中考数学压轴题精编安徽篇试题及答案.docx
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中考数学压轴题精编安徽篇试题及答案
2014中考数学压轴题精编----安徽篇
1.(安徽省)如图,已知△ABCs\A1B1C1,相似比为k(k>1),且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b
>c),AA1B1C1的三边长分别为a1、b1、C1.
(1)若c=a1,求证:
a=kc;
(2)若c=aj试给出符合条件的一对AABC和AA1B1C1,使得a、b、c和a1、b1、C1都是正整数,并加以说明;
(3)
若b=a1,c=b1,是否存在AABC和AA1B1C1,使得k=2?
请说明理由.
a
1.解
(1)证:
TAABCsAA1B1C1,且相似比为k(k>1),.•.£=k,「.a=ka1
a1
又.c=a1,.•.a=kc3分
(2)解:
取a=8,b=6,c=4,同时取a1=4,b1=3,C1=28分
此匕时=2,.AABCsAA1B1C1且c=a110分
a〔C1
注:
本题也是开放型的,只要给出的AABC和AA1B1C1符合要求就相应赋分.
(3)解:
不存在这样的AABC和AA1B1C1.理由如下:
若k=2,贝Ua=2a1,b=2b1,c=2c
又Tb=a1,c=b1,.a=2a1=2b=4b1=4c
•••b=2c12分
.b+c=2c+c=3cv4c=a,而b+c>a
14分
故不存在这样的AABC和AA1B1C1,使得k=2.
注:
本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理,
只要能说明在题设要求下
k=2的情况不可能即可
2.(安徽省B卷)如图,RtAABC内接于OO,AC=BC,ZBAC的平分线AD与OO交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连结CD,G是CD的中点,连结OG.
(1)判断OG与CD的位置关系,写出你的结论并证明;
(2)求证:
AE=BF;
(3)若OG•DE=3(2-,2),求OO的面积.
2•解:
(1)猜想:
0G丄CD.
证明:
如图,连结0C、0D,贝U0C=0D.
•••G是CD的中点
•••由等腰三角形的性质,有0G丄CD.2分
(2)证明:
TAB是O0的直径,•/ACB=90°
而/CAE=/CBF(同弧所对的圆周角相等).
在Rt△ACE和Rt△BCF中
•••/ACE=ZBCF=90°AC=BC,ZCAE=ZCBF
•RtAACE也Rt△BCF.(ASA)•AE=BF.
(3)解:
如图,过点0作BD的垂线,垂足为H,贝UH为BD的中点.
1
•0H=-AD,即AD=20H.
2
又ZCAD=ZBAD,•CD=ZBD,•0H=0G.
在Rt△BDE和Rt△ADB中
vZDBE=ZDAC=ZBAD,•RtABDEsRt△ADB.
•BD_
de
=,即BD2=AD-DE.
AD
DB
•BD2=AD-DE=20G-DE=6(2-2).
又BD=FD,•BF=2BD.
•BF2=4BD2=24(2-.2).①.……9分
设AC=x,贝VBC=x,AB=7/2x.
•/AD是ZBAC的平分线,•/FAD=ZBAD.
在Rt△ABD和Rt△AFD中
vZADB=ZADF=90°AD=AD,ZFAD=ZBAD
•Rt△ABD也RtAAFD.(ASA)
•AF=AB=2x,BD=FD.
•CF=AF-AC=2x-x=(2-1)x.
在Rt△BCF中,由勾股定理,得
BF2=BC2+CF2=x2+[(迈-1)x]2=2(2-J2)x2.②.……10分
由①、②,得2(2-,2)x2=24(2-・、2).
•x2=12,二x=2・.3或—23(舍去).
•AB=2x=、2-2.3=26
•oO的半径长为V6.11分
•Soo=n■(*'6)2=6n.12分
3.(安徽省B卷)已知:
抛物线y=ax2+bx+c(0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(-3,0)、C(0,-2).
(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小.请求出点P的坐标.
(3)若点D是线段0C上的一个动点(不与点0、点C重合).过点D作DE//PC交x轴于点E,连接
PD、PE.设CD的长为□,△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
3
.解:
(1)由题意得9a—3b+c=02分
c=—2
解得a=-,b=-,c=—2.
33
这条抛物线的函数表达式为y=—x2+—x—2
33
(2)如图,连结AC、BC.
由于BC的长度一定,要使△
PBC的周长最小,必须使
PB+PC最小.
点B关于对称轴的对称点是点
A,AC与对称轴x=—1的交点即为所求的点P.
设直线AC的表达式为y=kx+b,则
—3k+b=0
b=—2
2
解得k=—-,b=—2.
3
•••直线AC的表达式为y=—-x—2
3
把x=—1代入上式,得y=—-x(—1)—2=—-.
33
4
•••点P的坐标为(—1,—-)8分
3
(3)S存在最大值,理由如下:
•/DE//PC,即DE//AC,「.AOEDOAC.
OEOAOE333
…=,即=-,••OE=3——m,「.AE=—m.
ODOC2—m222
方法一:
连结OP
s=S^POE+S^POD—S^OED
13
2X(3—2m)
4113
X3+2X(2—m)X1—2X(3-2m)X(2—m)
323
=—一m+—m
42
v-3v0,「.S存在最大值.
4
vS32丄33(m1)2丄3
-S=——m+—m=——(m—1)+—
4244
3
•••当m=1时,S最大=—
4
10分
11分
12分
方法
S=S^OAC一S^OED一S^FAE一&PCD
1131341
=—x3x2—x(3—m)x(2—m)—x—mX———xmx1
2222232
32,3
=—一m+—m
42
以下同方法
4.(安徽省芜湖市)(本小题满分12分)如图,BD是OO的直径,OA丄OB,MOO的切线MP交OA的延长线于P点,MD与OA交于N点.
(1)求证:
PM=PN;
3
(2)若BD=4,PA=-AO,过B点作BC/MP交OO于C点,求BC的长•
2
10分
是劣弧上一点,过M点作
N
4•解:
”"
(1)证明:
连接OM1分
•/MP是OO的切线,•••OM丄MP:
•••/OMD+/DMP=90°
•/OA丄OB,「./OND+ZODM=90°
又•••/MNP=ZOND,ZODM=ZOMD
•ZDMP=ZMNP,•PM=PN4分
1
(2)解:
设BC交OM于点E,vBD=4,「.OA=OB=-BD=2
2
•-PA=3AO=3,二PO=5
2
1
•/BC//MP,OM丄MP,•OM丄BC,•BE=BC
2
vZBOM+ZMOP=90°,在Rt△OMP中,ZMPO+ZMOP
O
N
•ZBOM=ZMPO,又vZBEO=ZOMP=90°
•△OMPBEO,
OM
BE
OP
BO
C
A
P
得:
2=BE,•••BE=4,•••BC=812分
5255
5.(安徽省芜湖市)如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABC0,其顶点为A(0,1)、B(-W3,1)、
C(-3(3,0)、O(0,0).将此矩形沿着过E(―,1)、F(-空,0)的直线EF向右下方翻折,B、
3
C的对应点分别为B'、C'.
(1)求折痕所在直线EF的解析式;
(2)一抛物线经过B、E、B'三点,求此二次函数解析式;
(3)能否在直线EF上求一点P,使得APBC周长最小?
如能,求出点P的坐标;若不能,说明理由.
y
$
/i
r
2
BE】
ka
a
C
「F/.
-5-4-3--2-1o
/-
J
■2
L2*
X
5•解:
(1)由于折痕所在直线EF过E(-V3,1)、F(-上3,0)
3
•tan/EFO=..3,直线EF的倾斜角为60°
•直线EF的解析式为:
y-=tan60°x-(-3)]
化简得:
y=.3x+4.3分
(2)设矩形沿直线EF向右下方翻折后,B、C的对应点为B'(X1,y1),C‘(X2,y2)过B、作b'A、丄AE交AE所在直线于A'点
TBE=BE=2.3,/BEF=/BEF=60°
•/BEa=60°,•A、E=73,BA=3
•-A与A'重合,B'在y轴上,••X1=0,y1=-2,即B、(0,—2)
【此时需说明B'(X1,屮)在y轴上】6分
设二次函数的解析式为:
y=ax2+bx+c
•••抛物线经过B(-3(3,1)、E(—73,1)、B'(0,-2)
27a-3、3b+c=1
3a-,3b+c=1
c=-2
1
a=—-
3
解得b=—'13
3
c=-2
•••该二次函数解析式为:
y=—lx2-4、3x-2
33
(3)能,可以在直线EF上找到P点,连接B'C交EF于P点,再连接BP
由于BP=BP,此时点P与C、B'在一条直线上,故BP+PC=BP+PC的和最小由于为BC定长所以满足△PBC周长最小.
10分
设直线BC的解析式为:
y=kx+b
则―2=b解得
0=-3..3k+b
k=勺
9
b=-2
••直线BC的解析式为:
y=
又•••点P为直线BC与直线EF的交点
2J3o
y=-x-2
9
y=.3x+4
解得
18rr
x=——<3
11
10
y=——
11
12分
C
O
P
/
B
C
/
A
A
叫.3,
11
6.(安徽省合肥一中自主招生)已知:
其中甲到达N地后立即返回,图的函数图象.
(1)
•••点P的坐标为(
-叫)
11
甲、乙两车分别从相距300(km)的M、N两地同时出发相向而行,
1、图2分别是它们离各自出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间
14分
(2)
试求线段AB所对应的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
9
2
当它们行驶到与各自出发地的距离相等时,用了
h,求乙车的速度;
(3)
在
(2)
图1
6•解:
设线段AB所对应的函数关系式为y=kx+b
300=3k+b
把(3,300),(27,0)代入得27
40=—k+b
4
解得
k=-80
b=540
自变量x的取值范围是34
(或34
-代入y甲=—80X+540中得y甲=180
2
••乙车的速度为1890=40
2
(km/h)
12分
(3)由题意知有两次相遇
方法一:
①当0wxw3时,100x+40x=300,解得:
x=兰
7
16分
②当3vxw27时,(540—80x)+40x=300,解得:
x=6
4
20分
综上所述,当它们行驶了15小时或6小时时,两车相遇
7
方法二:
设经过X!
小时两车首次相遇
则40x1+100x1=300,解得:
X1=—5
7
16分
设经过X2小时两车第二次相遇
则80(X2—3)=40X2,解得:
X2=6
20分
7.(安徽省合肥一中自主招生)如图1,
这条直线既平分△ABC的面积,又平分厶
请你在图1中用尺规作图作出一条厶
(1)
(2)
(3)法.
在图
如图
7•解:
在厶ABC中,AB=BC,且BC工AC,在厶ABC上画一条直线,若ABC的周长,我们称这条线为△ABC的“等分积周线”.
ABC的“等分积周线”;
1中过点C能否画出一条“等分积周线”?
若能,说出确定的方法;若不能,请说明理由;
2,若AB=BC=5cm,AC=6cm,请你找出△ABC的所有“等分积周线”,并简要说明确定的方
图1
C
(1)
图略,作线段AC的中垂线BD即可
22
•AD=BD5分
不能
如图1,若直线CD平分△ABC的面积
那么SaADC=S^DBC
11
•-AD•CE=BD•CE
(3)
(a)
(b)
(c)
•/AC丰BC,「.AD+AC丰BD+BC
•••过点C不能画出一条“等分积周线”
①若直线经过顶点,则AC边上的中垂线即为所求线段
②若直线不过顶点,可分以下三种情况:
直线与BC、AC分别交于E、F,如图2所示
过点E作EH丄AC于点H,过点B作BG丄AC于点G
易求得BG=4,AG=CG=3
设CF=x,贝UCE=8-x
4
由厶CEHCBG,可得EH=-(8—x)
5
根据面积相等,可得丄•x-4(8—x)=6
25
•-x=3(舍去,即为①)或x=5
•CF=5,CE=3,直线EF即为所求直线
直线与AB、AC分别交于M、N,如图3所示
由(a)可得AM=3,AN=5,直线MN即为所求直线
(仿照上面给分)
直线与AB、BC分别交于P、Q,如图4所示
过点A作AY丄BC于点Y,过点P作PX丄BC于点X
AY=24
5
BQ=8—x
由面积法可得
设BP=x,则
PX24
PX=x
25
据面积相等,可得丄•(8—x)=6
225
...x=8——>5(舍去)或
2
而当BP=8一时,BQ=
2
由相似,可得
814
x=
2
=>5,舍去
2
C
图2
10分
12分
15分
17分
BXY
QC
图4
19分
20分
•••此种情况不存在综上所述,符合条件的直线共有三条
(注:
若直接按与两边相交的情况分类,也相应给分)
8.(安徽省合肥一中自主招生)如图,在Rt△ABC中,/C=90°AC=3cm,BC=4cm,点P以一定的速
度沿AC边由A向C运动,点Q以1cm/s的速度沿CB边由C向B运动,设P、Q同时运动,且当一点运动到终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s).
3
(1)若点P以一cm/s的速度运动
4
1当PQ//AB时,求t的值;
2在①的条件下,试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系,并说明理由.
(2)
PQ为直径的圆能否与直线AB相切?
若能,请
若点P以1cm/s的速度运动,在整个运动过程中,以求出运动时间t;若不能,请说明理由.
(3)
备用图
(4)
解法3:
如图乙取PQ的中点M,作MH丄AB、MN丄BC,垂足分别为H、N,延长NM交
1
AB于点G,贝UMN=-PC=
1
(3—t),NQ=
1
CQ=
t
•NB—4—-
2
2
2
2
2
由Rt△BGNsRt△BAC,得
GN=3—3t•
GM
—3—
3
t—
丄(3-1)—-+it
8
8
228
3
1
又•••Rt△GMHsRt△ABC,
•MHGM
••—,
即
MH
2
t
8
BCAB
4
5
解得:
MH=6+—
510
当PQ2=4MN2时,以PQ为直径的圆与直线AB相切
即(3—1)2+12=4(—+—)226分
510
解得:
t1=3,t2=――30分
49
9.(安徽省蚌埠二中自主招生)青海玉树发生7.1级强震后,为使人民的生命财产损失降到最低,部队官
兵发扬了连续作战的作风。
刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令,一分队立即出发前往距营地30千米
的A镇;二分队因疲劳可在营地休息a(0一分队出发后得知,唯一
通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方,塌方地形复杂,必须由一分队用1小时打通道路。
已知一分
队的行进速度为b千米/时,二分队的行进速度为(4+a)千米/时.
(1)若二分队在营地不休息,要使二分队在最短时间内赶到A镇,一分队的行进速度至少为多少千米/时?
(2)若b=4千米/时,二分队和一分队同时赶到A镇,二分队应在营地休息几小时?
9.解:
(1)若二分队应在营地不休息,则
a=0,速度为4千米/时,行至塌方处需=2.5(小时)
4
所以要使二分队在最短时间内赶到
A镇,则有:
1°+K2.5,•••b>却(千米/时)
b3
故一分队的行进速度至少为20千米/时3分
3
(2)若b=4千米/时,则一分队到塌方处并打通道路需要10+1=3.5(小时)
4
一分队赶到A镇共需30+1=&5(小时)
4
20千米与一分队同行,二分队和一分队可
10分
(I)若二分队在营地不休息,且在塌方处需停留,则后
同时赶到A镇;
(H)若二分队在营地休息,则a>0,二分队的行进速度为4+a>4千米/时
A镇,不符合题意,舍去;
①若二分队在塌方处需停留,则当一分队打通道路后,二分队将先赶到
11分
②若二分队在塌方处不停留,要使二分队和一分队同时赶到A镇,则有:
a+^^=8.5,即卩a2-4.5a-4=0
4a
4.536.254.5.36.2546
解得a1=v0(舍去),a2=>>3(舍去)
22213分
综上所述,要使二分队和一分队同时赶到A镇,二分队应在营地不休息14分
10.(安徽省蚌埠二中自主招生)如图1、2是两个相似比为1:
2的等腰直角三角形,将两个三角形如图3
放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.
(1)在图3中,绕点D旋转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC交于点E、F,如图4.求证:
AE2+BF2=EF2;
(2)若在图3中,绕点C旋转小直角三角形,使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F,如图5,此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)
如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,AE、AF分别与对角线BD交于M、N,试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长?
若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,请说明理由.
10.解:
(1)如图4,由「于AD=BD,将△AED绕点D旋转180°得厶BE'd
则AE=BE;ED=E'D,连接E'F
•••/FBE'=/ABC+/ABE'=/ABC+/CAB=90°
•••在Rt△BE'f中有BE'2+BF2=E'f2又•••FD垂直平分EE;•••EF=E'f
•AE2+BF2=EF26分
(2)如图5,由于AC=BC,将厶AEC绕点C旋转90°得厶BE
则AE=BE,CE=CE',连接E'f
•••/FBE'=/ABC+/CBE=/ABC+/CAB=90°
•••在Rt△BE'f中有BE'2+BF2=E'f2
•••/ECF=/ECB+/BCF=ZACE+/BCF
=90°-ZECF=90°-45°=45°=ZECF
CE=CE',CF=CF
•△CEF◎△CE'F,•••EF=E'F
12分
•AE2+BF2=EF2
(3)将厶ADF绕点A顺时针旋转90°得厶ABG,且FD=GB,AF=AG
因为△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,所以
CE+EF+CF=CD+CB=CF+FD+CE+BE
EF=FD+BE=GB+BE=GE
从而可得厶AEG^AAEF,•/EAG=/EAF
又•••/EAG=/EAB+/BAG,/BAG=/DAF
•••/EAF=/EAB+/DAF,而/EAB+/EAF+/DAF=90°
EAF=45°
由
(2)知BM2+DN2=MN2