中考数学压轴题精编安徽篇试题及答案.docx

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中考数学压轴题精编安徽篇试题及答案

2014中考数学压轴题精编----安徽篇

1.（安徽省）如图，已知△ABCs\A1B1C1,相似比为k（k>1）,且△ABC的三边长分别为a、b、c（a>b

>c）,AA1B1C1的三边长分别为a1、b1、C1.

（1）若c=a1,求证：

a=kc;

（2）若c=aj试给出符合条件的一对AABC和AA1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、C1都是正整数，并加以说明；

（3）

若b=a1,c=b1,是否存在AABC和AA1B1C1，使得k=2?

请说明理由.

1.解

（1）证：

TAABCsAA1B1C1,且相似比为k（k>1）,.•.£=k,「.a=ka1

又.c=a1,.•.a=kc3分

（2）解：

取a=8,b=6,c=4,同时取a1=4,b1=3,C1=28分

此匕时=2,.AABCsAA1B1C1且c=a110分

a〔C1

注：

本题也是开放型的，只要给出的AABC和AA1B1C1符合要求就相应赋分.

（3）解：

不存在这样的AABC和AA1B1C1.理由如下：

若k=2,贝Ua=2a1,b=2b1,c=2c

又Tb=a1,c=b1,.a=2a1=2b=4b1=4c

•••b=2c12分

.b+c=2c+c=3cv4c=a,而b+c>a

14分

故不存在这样的AABC和AA1B1C1，使得k=2.

注：

本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理,

只要能说明在题设要求下

k=2的情况不可能即可

2.（安徽省B卷）如图，RtAABC内接于OO,AC=BC,ZBAC的平分线AD与OO交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD,G是CD的中点，连结OG.

（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明;

（2）求证：

AE=BF;

（3）若OG•DE=3（2-,2），求OO的面积.

2•解:

（1）猜想：

0G丄CD.

证明：

如图，连结0C、0D，贝U0C=0D.

•••G是CD的中点

•••由等腰三角形的性质，有0G丄CD.2分

（2）证明：

TAB是O0的直径，•/ACB=90°

而/CAE=/CBF（同弧所对的圆周角相等）.

在Rt△ACE和Rt△BCF中

•••/ACE=ZBCF=90°AC=BC,ZCAE=ZCBF

•RtAACE也Rt△BCF.（ASA）•AE=BF.

（3）解：

如图，过点0作BD的垂线，垂足为H,贝UH为BD的中点.

•0H=-AD，即AD=20H.

又ZCAD=ZBAD,•CD=ZBD,•0H=0G.

在Rt△BDE和Rt△ADB中

vZDBE=ZDAC=ZBAD,•RtABDEsRt△ADB.

•BD_

=，即BD2=AD-DE.

•BD2=AD-DE=20G-DE=6（2-2）.

又BD=FD,•BF=2BD.

•BF2=4BD2=24（2-.2）.①.……9分

设AC=x,贝VBC=x,AB=7/2x.

•/AD是ZBAC的平分线，•/FAD=ZBAD.

在Rt△ABD和Rt△AFD中

vZADB=ZADF=90°AD=AD,ZFAD=ZBAD

•Rt△ABD也RtAAFD.（ASA）

•AF=AB=2x,BD=FD.

•CF=AF-AC=2x-x=（2-1）x.

在Rt△BCF中，由勾股定理，得

BF2=BC2+CF2=x2+[（迈-1）x]2=2（2-J2）x2.②.……10分

由①、②，得2（2-,2）x2=24（2-・、2）.

•x2=12,二x=2・.3或—23（舍去）.

•AB=2x=、2-2.3=26

•oO的半径长为V6.11分

•Soo=n■（*'6）2=6n.12分

3.（安徽省B卷）已知：

抛物线y=ax2+bx+c（0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中A（-3,0）、C（0,-2）.

（1）求这条抛物线的函数表达式.

（2）已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小.请求出点P的坐标.

（3）若点D是线段0C上的一个动点（不与点0、点C重合）.过点D作DE//PC交x轴于点E,连接

PD、PE.设CD的长为□,△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值,若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.

.解:

（1）由题意得9a—3b+c=02分

c=—2

解得a=-,b=-,c=—2.

这条抛物线的函数表达式为y=—x2+—x—2

（2）如图，连结AC、BC.

由于BC的长度一定，要使△

PBC的周长最小，必须使

PB+PC最小.

点B关于对称轴的对称点是点

A,AC与对称轴x=—1的交点即为所求的点P.

设直线AC的表达式为y=kx+b,则

—3k+b=0

b=—2

解得k=—-,b=—2.

•••直线AC的表达式为y=—-x—2

把x=—1代入上式，得y=—-x（—1）—2=—-.

•••点P的坐标为（—1,—-）8分

（3）S存在最大值，理由如下：

•/DE//PC，即DE//AC,「.AOEDOAC.

OEOAOE333

…=，即=-,••OE=3——m,「.AE=—m.

ODOC2—m222

方法一：

连结OP

s=S^POE+S^POD—S^OED

2X（3—2m）

4113

X3+2X（2—m）X1—2X（3-2m）X（2—m）

323

=—一m+—m

v-3v0,「.S存在最大值.

vS32丄33（m1）2丄3

-S=——m+—m=——（m—1）+—

4244

•••当m=1时，S最大=—

10分

11分

12分

方法

S=S^OAC一S^OED一S^FAE一&PCD

1131341

=—x3x2—x（3—m）x（2—m）—x—mX———xmx1

2222232

32,3

=—一m+—m

以下同方法

4.（安徽省芜湖市）（本小题满分12分）如图，BD是OO的直径，OA丄OB,MOO的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点.

（1）求证：

PM=PN;

（2）若BD=4,PA=-AO,过B点作BC/MP交OO于C点，求BC的长•

10分

是劣弧上一点，过M点作

4•解：

”"

（1）证明：

连接OM1分

•/MP是OO的切线，•••OM丄MP:

•••/OMD+/DMP=90°

•/OA丄OB,「./OND+ZODM=90°

又•••/MNP=ZOND,ZODM=ZOMD

•ZDMP=ZMNP,•PM=PN4分

（2）解：

设BC交OM于点E,vBD=4,「.OA=OB=-BD=2

•-PA=3AO=3,二PO=5

•/BC//MP,OM丄MP,•OM丄BC,•BE=BC

vZBOM+ZMOP=90°,在Rt△OMP中，ZMPO+ZMOP

•ZBOM=ZMPO，又vZBEO=ZOMP=90°

•△OMPBEO,

得：

2=BE,•••BE=4,•••BC=812分

5255

5.（安徽省芜湖市）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABC0,其顶点为A（0,1）、B（-W3,1）、

C（-3（3,0）、O（0,0）.将此矩形沿着过E（―,1）、F（-空,0）的直线EF向右下方翻折，B、

C的对应点分别为B'、C'.

（1）求折痕所在直线EF的解析式；

（2）一抛物线经过B、E、B'三点，求此二次函数解析式；

（3）能否在直线EF上求一点P,使得APBC周长最小？

如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由.

BE】

「F/.

-5-4-3--2-1o

■2

L2*

5•解：

（1）由于折痕所在直线EF过E（-V3,1）、F（-上3,0）

•tan/EFO=..3，直线EF的倾斜角为60°

•直线EF的解析式为：

y-=tan60°x-（-3）]

化简得：

y=.3x+4.3分

（2）设矩形沿直线EF向右下方翻折后，B、C的对应点为B'（X1,y1）,C‘（X2,y2）过B、作b'A、丄AE交AE所在直线于A'点

TBE=BE=2.3,/BEF=/BEF=60°

•/BEa=60°,•A、E=73,BA=3

•-A与A'重合，B'在y轴上，••X1=0,y1=-2，即B、（0,—2）

【此时需说明B'（X1,屮）在y轴上】6分

设二次函数的解析式为：

y=ax2+bx+c

•••抛物线经过B（-3（3,1）、E（—73,1）、B'（0,-2）

27a-3、3b+c=1

3a-，3b+c=1

c=-2

a=—-

解得b=—'13

c=-2

•••该二次函数解析式为：

y=—lx2-4、3x-2

（3）能，可以在直线EF上找到P点，连接B'C交EF于P点，再连接BP

由于BP=BP，此时点P与C、B'在一条直线上，故BP+PC=BP+PC的和最小由于为BC定长所以满足△PBC周长最小.

10分

设直线BC的解析式为：

y=kx+b

则―2=b解得

0=-3..3k+b

k=勺

b=-2

••直线BC的解析式为：

又•••点P为直线BC与直线EF的交点

2J3o

y=-x-2

y=.3x+4

解得

18rr

x=——<3

y=——

12分

叫.3,

6.（安徽省合肥一中自主招生）已知:

其中甲到达N地后立即返回，图的函数图象.

（1）

•••点P的坐标为（

-叫）

甲、乙两车分别从相距300（km）的M、N两地同时出发相向而行，

1、图2分别是它们离各自出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间

14分

（2）

试求线段AB所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围;

当它们行驶到与各自出发地的距离相等时，用了

h,求乙车的速度;

（3）

在

（2）

图1

6•解:

设线段AB所对应的函数关系式为y=kx+b

300=3k+b

把（3,300）,（27,0）代入得27

40=—k+b

解得

k=-80

b=540

自变量x的取值范围是3

（或3

-代入y甲=—80X+540中得y甲=180

••乙车的速度为1890=40

（km/h）

12分

（3）由题意知有两次相遇

方法一:

①当0wxw3时，100x+40x=300,解得：

x=兰

16分

②当3vxw27时，（540—80x）+40x=300,解得：

x=6

20分

综上所述，当它们行驶了15小时或6小时时，两车相遇

方法二：

设经过X!

小时两车首次相遇

则40x1+100x1=300，解得：

X1=—5

16分

设经过X2小时两车第二次相遇

则80（X2—3）=40X2，解得:

X2=6

20分

7.（安徽省合肥一中自主招生）如图1,

这条直线既平分△ABC的面积，又平分厶

请你在图1中用尺规作图作出一条厶

（1）

（2）

（3）法.

在图

如图

7•解:

在厶ABC中，AB=BC,且BC工AC,在厶ABC上画一条直线，若ABC的周长，我们称这条线为△ABC的“等分积周线”.

ABC的“等分积周线”；

1中过点C能否画出一条“等分积周线”？

若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由；

2,若AB=BC=5cm,AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要说明确定的方

图1

（1）

图略，作线段AC的中垂线BD即可

•AD=BD5分

不能

如图1,若直线CD平分△ABC的面积

那么SaADC=S^DBC

•-AD•CE=BD•CE

（3）

（a）

（b）

（c）

•/AC丰BC,「.AD+AC丰BD+BC

•••过点C不能画出一条“等分积周线”

①若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求线段

②若直线不过顶点，可分以下三种情况:

直线与BC、AC分别交于E、F，如图2所示

过点E作EH丄AC于点H，过点B作BG丄AC于点G

易求得BG=4,AG=CG=3

设CF=x,贝UCE=8-x

由厶CEHCBG，可得EH=-（8—x）

根据面积相等，可得丄•x-4（8—x）=6

•-x=3（舍去，即为①）或x=5

•CF=5,CE=3，直线EF即为所求直线

直线与AB、AC分别交于M、N,如图3所示

由（a）可得AM=3,AN=5,直线MN即为所求直线

（仿照上面给分）

直线与AB、BC分别交于P、Q,如图4所示

过点A作AY丄BC于点Y,过点P作PX丄BC于点X

AY=24

BQ=8—x

由面积法可得

设BP=x,则

PX24

PX=x

据面积相等，可得丄•（8—x）=6

225

...x=8——>5（舍去）或

而当BP=8一时，BQ=

由相似，可得

814

=>5,舍去

图2

10分

12分

15分

17分

BXY

图4

19分

20分

•••此种情况不存在综上所述，符合条件的直线共有三条

（注：

若直接按与两边相交的情况分类，也相应给分）

8.（安徽省合肥一中自主招生）如图，在Rt△ABC中，/C=90°AC=3cm,BC=4cm,点P以一定的速

度沿AC边由A向C运动，点Q以1cm/s的速度沿CB边由C向B运动，设P、Q同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）.

（1）若点P以一cm/s的速度运动

1当PQ//AB时，求t的值；

2在①的条件下，试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由.

（2）

PQ为直径的圆能否与直线AB相切？

若能，请

若点P以1cm/s的速度运动，在整个运动过程中，以求出运动时间t;若不能，请说明理由.

（3）

备用图

（4）

解法3:

如图乙取PQ的中点M，作MH丄AB、MN丄BC,垂足分别为H、N,延长NM交

AB于点G,贝UMN=-PC=

（3—t）,NQ=

CQ=

•NB—4—-

由Rt△BGNsRt△BAC，得

GN=3—3t•

—3—

t—

丄（3-1）—-+it

228

又•••Rt△GMHsRt△ABC,

•MHGM

••—,

即

BCAB

解得：

MH=6+—

510

当PQ2=4MN2时，以PQ为直径的圆与直线AB相切

即（3—1）2+12=4（—+—）226分

510

解得：

t1=3,t2=――30分

9.（安徽省蚌埠二中自主招生）青海玉树发生7.1级强震后，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官

兵发扬了连续作战的作风。

刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令，一分队立即出发前往距营地30千米

的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0

一分队出发后得知，唯一

通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路。

已知一分

队的行进速度为b千米/时，二分队的行进速度为（4+a）千米/时.

（1）若二分队在营地不休息，要使二分队在最短时间内赶到A镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？

（2）若b=4千米/时，二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？

9.解:

（1）若二分队应在营地不休息，则

a=0,速度为4千米/时，行至塌方处需=2.5（小时）

所以要使二分队在最短时间内赶到

A镇，则有：

1°+K2.5,•••b>却（千米/时）

故一分队的行进速度至少为20千米/时3分

（2）若b=4千米/时，则一分队到塌方处并打通道路需要10+1=3.5（小时）

一分队赶到A镇共需30+1=&5（小时）

20千米与一分队同行，二分队和一分队可

10分

（I）若二分队在营地不休息，且在塌方处需停留，则后

同时赶到A镇;

（H）若二分队在营地休息，则a>0，二分队的行进速度为4+a>4千米/时

A镇，不符合题意，舍去;

①若二分队在塌方处需停留，则当一分队打通道路后，二分队将先赶到

11分

②若二分队在塌方处不停留，要使二分队和一分队同时赶到A镇，则有：

a+^^=8.5,即卩a2-4.5a-4=0

4.536.254.5.36.2546

解得a1=v0（舍去），a2=>>3（舍去）

22213分

综上所述，要使二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地不休息14分

10.（安徽省蚌埠二中自主招生）如图1、2是两个相似比为1：

2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3

放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.

（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4.求证：

AE2+BF2=EF2;

（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F,如图5,此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N,试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？

若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由.

10.解:

（1）如图4，由「于AD=BD，将△AED绕点D旋转180°得厶BE'd

则AE=BE；ED=E'D，连接E'F

•••/FBE'=/ABC+/ABE'=/ABC+/CAB=90°

•••在Rt△BE'f中有BE'2+BF2=E'f2又•••FD垂直平分EE；•••EF=E'f

•AE2+BF2=EF26分

（2）如图5,由于AC=BC,将厶AEC绕点C旋转90°得厶BE

则AE=BE,CE=CE'，连接E'f

•••/FBE'=/ABC+/CBE=/ABC+/CAB=90°

•••在Rt△BE'f中有BE'2+BF2=E'f2

•••/ECF=/ECB+/BCF=ZACE+/BCF

=90°-ZECF=90°-45°=45°=ZECF

CE=CE',CF=CF

•△CEF◎△CE'F,•••EF=E'F

12分

•AE2+BF2=EF2

（3）将厶ADF绕点A顺时针旋转90°得厶ABG，且FD=GB,AF=AG

因为△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，所以

CE+EF+CF=CD+CB=CF+FD+CE+BE

EF=FD+BE=GB+BE=GE

从而可得厶AEG^AAEF,•/EAG=/EAF

又•••/EAG=/EAB+/BAG,/BAG=/DAF

•••/EAF=/EAB+/DAF，而/EAB+/EAF+/DAF=90°

EAF=45°

由

（2）知BM2+DN2=MN2

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