17.设＝（1，1，0），＝（0，1，1），=（0，0，1）是R3的基，则=（1，2，3）在此基下的坐标为（1,1,2）.
18.设A为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A2的特征值为1,1,4.
19.二次型的矩阵A=.
20.若矩阵A与B=相似，则A的特征值为1,2,3.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.求行列式的值.
解：
=
.
22.解矩阵方程：
.
解：
令B=.
因为
.
由
23.求向量组=（1,1,2,3），=（－1,－1,1,1），=（1,3,3,5），=（4,－2,5,6）的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.
所以，
24.a取何值时，方程组有解？
并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.
解：
对方程组的增广矩阵施以初等行变换：
.
若方程组有解，则，故a=5.
当a=5时，继续施以初等行变换得：
，原方程组的同解方程组为：
，令，
得原方程组的一个特解：
与导出组同解的方程组为：
令得到导出组的基础解系：
，所以，方程组的全部解为：
25.已知,求A的特征值及特征向量，并判断A能否对角化，若能，求可逆矩阵P，使P–1AP=Λ（对角形矩阵）．
解：
矩阵A的特征多项式为：
所以，A的特征值为：
对于，求齐次线性方程组，
得基础解系:
从
而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为:
对于，求齐次线性方程组的基础解系,
得基础解系:
从而矩阵
A的对应于特征值的全部特征向量为:
因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量
所以，A相似于对角矩阵，且
26.用配方法将下列二次型化为标准形：
解：
=
=
=
令
得二次型的标准形为：
四、证明题（本大题共6分）
27.设向量，证明向量组是R3空间中的一个基.
证：
因为所以
所以向量组
线性代数（经管类）综合试题二
（课程代码4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.若三阶行列式=0,则k=（C）.
A．1B．0C．-1D．-2
2.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是（D）.
A．A可逆B．B可逆C．|A|=|B|D．AB=BA
3.设A是n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,则（A）.
A．B．
C．D．
4.矩阵的秩为2，则λ=（B）.
A．2B．1C．0D．
5.设3×4矩阵A的秩r（A）=1，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为（D）.
A．B．
C．D．
6.向量线性相关,则（C）.
A．k=-4B．k=4C．k=-3D．k=3
7.设u1,u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解,若是其导出组Ax=o的解,则有（B）.
A．c1+c2=1B．c1=c2C．c1+c2=0D．c1=2c2
8.设A为n（n≥2）阶方阵，且A2=E，则必有（B）.
A．A的行列式等于1 B．A的秩等于n
C．A的逆矩阵等于E D．A的特征值均为1
9.设三阶矩阵A的特征值为2,1,1，则A-1的特征值为（D）.
A．1,2B．2,1,1C．,1D．,1,1
10.二次型是（A）.
A．正定的B．半正定的C．负定的D．不定的
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.=____5______．
12.设A为三阶方阵,且|A|=4，则|2A|=___32_______．
13.设A=,B=,则ATB=__________．
14.设A=,则A-1=__________．
15.向量表示为向量组
的线性组合式为__________．
16.如果方程组有非零解,则k=___-1_______．
17.设向量与正交，则a=__2________．
18.已知实对称矩阵A=,写出矩阵A对应的二次型_．
19.已知矩阵A与对角矩阵Λ=相似，则A2=__E______．
20.设实二次型的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3，则其规范形为__________．
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算行列式的值.
原式=
=
22.设矩阵A=，B=，求矩阵A-1B.
所以，
23.设矩阵，求k的值，使A的秩r（A）分别等于1，2，3.
解：
对矩阵A施行初等变换：
当时，矩阵的秩
当
当
24.求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
解：
将所给列向量构成矩阵A，然后实施初等行变换：
所以，向量组的秩，向量组的一个极大无关组为：
且有
25.求线性方程组的基础解系，并用基础解系表示其通解.
解：
对方程组的系数矩阵（或增广矩阵）作初等行变换：
与原方程组同解的方程组为:
令
方程组的通解为：
26.已知矩阵，求正交矩阵P和对角矩阵Λ，使P-1AP=Λ.
解：
矩阵A的特征多项式为：
得矩阵A的所有特征值为：
对于求方程组的基础解系.
，得基础解系为
将此线性无关的特征向量正交化，得：
.
因为
将其单位化，得：
则P是正交矩阵，且
四、证明题（本大题共6分）
27.设向量组线性无关，证明：
向量组
也线性无关.
证：
令
整理得：
因为线性无关，所以
故.
线性代数（经管类）综合试题三
（课程代码4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.当（D）成立时，阶行列式的值为零.
A.行列式主对角线上的元素全为零
B.行列式中有个元素等于零
C.行列式至少有一个阶子式为零
D.行列式所有阶子式全为零
2.已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E，则下列结论必然成立的是（B）.
A.ACB=EB.BCA=EC.CBA=ED.BAC=E
3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D）.
A.（AB）-1=A-1B-1B.（A+B）-1=A-1+B-1
C.（AB）T=ATBTD.
4.下列矩阵不是初等矩阵的是（B）.
A.B.C.D.
5.设是4维向量组，则（
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