导数问题中的分类讨论.doc

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导数问题中分类讨论的方法

摘要：

近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而考生的在这一题中的得分率并不高。

主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。

而分类讨论在高考中处于重要的“地位”：

分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。

每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。

本人在几年的教学生涯中，对这类问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原因。

关键词：

单调区间，极值，分类，最值，取值范围

为了更好的解决导数中分类讨论的问题，笔者建议按照下列步骤来解决导数解答题

（1）求导

（2）令=0

（3）求出=0的根

（4）作出导数的图像或等价于导数的图像（一般是二次函数或一次函数的图像）

（5）由图像写出函数的单调区间，极值，或最值

规范了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：

方程=0的类型引起的讨论、根的存在引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间:

或定义域的端点的大小的讨论）下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐述

例1：

若函数（a≥0），求函数的单调区间。

解：

令=0，即：

（注意这里方程的类型需要讨论）

作出的图像，由图像可知

在（0,2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数

若

由，得

<0,>0

作出的图像，由图像可知

在

综上所述：

，在（0,2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数

在

例2：

（08全国高考）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R，讨论函数f（x）的单调区间

解：

令（注意这里根的存在需要讨论）

若，即，

则

若

由得，

上为增函数

在上为减函数

综上所述：

时，

上为增函数，在上为减函数

例3.（2010北京）已知函数（）=In（1+）-+（≥0）。

求（）的单调区间。

解：

令=0，即：

（这里需要对方程的类型讨论）

若k=0，则

在（-1,0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数

若k≠0,由得，

（这里需要对两个根的大小进行讨论）

若k=1，则＞０，在（-1,＋∞）上为增函数

若，则在或上为增函数

在上为减函数

若，则在或上为增函数

　　　　　在上为减函数

综上所述：

若k=0，在（-1,0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数

若，在或上为增函数

在上为减函数

若k=1，在（-1,＋∞）上为增函数

若，在或上为增函数

　　　　　在上为减函数

例4.（2009北京理改编）设函数，求函数的单调区间

解：

　令，即　（这里需要对方程的类型讨论）

若ｋ＝０，则，在Ｒ上为增函数

若k≠0则由得，（这里需要对的斜率讨论）

若k>0则在上为减函数，在上为增函数

若k<0，则在上为增函数，在上为减函数

综上所述：

若k=0，在Ｒ上为增函数

若k>0则在上为减函数，在上为增函数

若k<0，则在上为增函数，在上为减函数

例5：

（海南2011四校联考）

若对任意的范围

解：

令（对方程类型的讨论）

若p=0,则

若p≠0,由得

（对两根的大小，定义域的端点、给定区间的端点大小的讨论）

若,符合题意

若，不符合题意

若，符合题意

若，符合题意

若，符合题意

若，不符合题意

若，不符合题意

若，不符合题意

综上所述：

p的取值范围为

下面笔者就海南2010年高考的压轴题来说明本人提出的解题步骤和讨论方法具有一定的实用价值，当然解答的过程可能不够严谨，处于定性的范围，不足之处，望全体同仁多多指教。

例6：

（海南2010理）

设函数。

若当时，求的取值范围

令（此方程是个超越方程，故根的讨论转换成两个函数的交点的问题）

即

令，

易求得在A的切线的斜率为1

显然若有，即则有恒成立

即

所以，时，即

若有，则显然存在区间（0，x0）使得

时，有，即

即

综上所述：

总结：

总之规范解题步骤，弄清分类讨论的原因，相信导数问题中涉及到参数的分类讨论不会是个困难的问题.

湖北省黄石市第四中学王双喜

邮编435000

电话：

13597613287